2018-2019学年高中数学 第四章 导数应用 4.2.2 最大值、最小值问题（一）作业 北师大版选修1 -1.doc

4.2.2 最大值、最小值问题（一）基础达标1.函数f(x)x33x(|x|1)()A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值D既无最大值，也无最小值解析：选D.1x1，f(x)3x233(x21)0，f(x)在(1，1)上单调递减，故f(x)在(1，1)上无最值2.已知函数f(x)x22x3在a，2上的最大值为，则a等于()A B.C D.或解析：选C.f(x)2x2，令f(x)0得x1.当a1时，最大值为f(1)4，不合题意当1a2时，f(x)在a，2上单调递减，最大值为f(a)a22a3，解得a或a(舍去)3.函数f(x)在x2，4上最小值为()A0 B.C. D.解析：选C.f(x)，当x2，4时，f(x)0，即函数f(x)在x2，4上是单调递减函数，故当x4时，函数f(x)有最小值.4.当函数f(x)x2cos x在区间上取得最大值时，x()A0 B.C. D.解析：选B.f(x)12(sin x)，令f(x)0，解得sin x.0x，x.当0x时，f(x)0，函数是增加的；当x时，f(x)0，函数是减少的，当x时，函数取得极大值，也是最大值5.已知函数f(x)的图像过点(0，5)，它的导数f(x)4x34x，则当f(x)取得极大值5时，x的值应为()A1 B0C1 D1解析：选B.f(x)4x34x，f(x)x42x2c.f(x)过点(0，5)，f(x)x42x25.又f(x)0得x0或x1，所以1x0或x1时，f(x)0；x1或0x1时，f(x)0.x0时取得极大值5.6.函数y的最大值为_解析：函数的定义域为(0，)，y，令y0，得xe，当xe时，y0；当0xe时，y0，所以xe是函数的极大值点，也是最大值点，故ymax.答案：7.函数f(x)2x36x2a(a为常数)在2，2上的最大值为5，那么此函数在2，2上的最小值为_解析：f(x)6x212x6x(x2)由f(x)0得x0或2.f(0)a，f(2)a8，f(2)a40.a5.此函数在2，2上的最小值是54035.答案：35已知函数f(x)(x22x)ex，下列说法中正确的有_f(x)在R上有两个极值点；f(x)在x处取得最大值；f(x)在x处取得最小值；f(x)在x处取得极小值；函数f(x)在R上有三个不同的零点解析：f(x)ex(x22)，令f(x)0，得x.当x0；当x时，f(x)时，f(x)0.故函数在x处取得极小值，在x处取得极大值，又f()(22)e0，f()(22)e时，f(x)0，f(x)在(，)上单调递增；当0x时，f(x)0，f(x)在1，)上单调递增，故f(x)minf(1)1；当a0时，令f(x)0得x1(舍去)，x2.若1即01即a2，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(1，)(，)f(x)0f(x)极小值故在x时，f(x)取极小值也是最小值，所以f(x)minfln .综上所述：当a2时，f(x)minf(1)1；当a2时，f(x)minfln .能力提升1.设直线xt与函数f(x)x2，g(x)ln x的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为()A1 B.C. D.解析：选D.|MN|的最小值，即函数h(x)x2ln x的最小值，h(x)2x，显然x是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t.2.若函数f(x)(a0)在1，)上的最大值为，则a的值为_解析：f(x).令f(x)0，解得x或x(舍去)当x时，f(x)0；当0x0；当a1时，f(x)f()max，1，不合题意当0a0，当a0时，f(x)，不合题意当a0，x(0，)时，f(x)0，x(0，)时，f(x)0，从而f(x)在(0，)内单调递增，又f(x)在0，上的图像是连续不断的，故f(x)在0，上的最大值为f()，即a，解得a1.综上所述，f(x)xsin x.4设a0，函数f(x).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)求函数f(x)在区间a，2a上的最小值解：(1)函数f(x)的定义域是(0，)，f(x)a，由于a0，令f(x)a0，得0xe；令f(x)ae.故函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减(2)当02ae，即0a时，由(1)知，函数f(x)在a，2a上单调递增，所以f(x)minf(a)ln a；当ae时，由(1)知，函数f(x)在a，2a上单调递减，所以f(x)minf(2a)ln 2a；当ae时，需比较f(a)与f(2a)的大小由于f(a)f(2a)ln aln 2a(ln aln 2)，所以若a2，则f(a)f(2a)，此时f(x)minf(a)ln a；若2af(2a)，此时f(x)minf(2a)ln 2a.综上所述，当02时，f(x)minln 2a.