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课堂达标(十三) 变化率与导数、导数的计算A基础巩固练1函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为()A2(x2a2)B2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)解析f(x)(xa)2(x2a)2(xa)3(x2a2)答案C2(2018衡水调研)曲线y1在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2解析y1，y，y|x12，曲线在点(1，1)处的切线斜率为2，所求切线方程为y12(x1)，即y2x1.答案A3(2018郑州质检)已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)等于()A1B0 C2D4解析由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，f(3).g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由题图可知f(3)1，g(3)130.答案B4(2018福建省四校第一次联考)函数f(x)x34x5的图象在x1处的切线在x轴上的截距为( )A10B5 C1D解析f(x)x34x5，f(x)3x24，f(1)7，即切线的斜率为7，又f(1)10，故切点坐标(1,10)，切线的方程为：y107(x1)，当y0时，x，切线在x轴上的截距为，故选D.答案D5(2018广东深圳4月调研)过直线yx1上的点P作圆C：(x1)2(y6)22的两条切线l1、l2，当直线l1，l2关于直线yx1对称时，|PC|( )A3B2 C1D2解析由题设可知当CPl：yx1时，两条切线l1，l2关于直线l：yx1对称，此时|CP|即为点(1,6)到直线l：yx1的距离，即d2，应选答案B.答案B6(2018杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a等于()A1或 B1或C或 D或7解析设过点(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，所以切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x，又(1,0)在切线上，则x00或x0，当x00时，由y0与yax2x9相切可得a，当x0时，由yx与yax2x9相切可得a1，所以选A.答案A7(2018山东省枣庄十六中4月模拟试卷)已知函数f(x)sin xcos x，f(x)是f(x)的导函数若f(x)2f(x)，则_.解析根据题意，函数f(x)sin xcos x，则f(x)cos xsin x，又由f(x)2f(x)，即sin xcos x2(cos xsin x)，变形可得cos x3sin x，即tan x，又由tan x，则；答案8已知f1(x)sin xcos x，记f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn(x)fn1(x)(nN*，n2)，则f1f2f2 017_.解析f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)(cos xsin x)sin xcos x，f4(x)cos xsin x，f5(x)sin xcos x，以此类推，可得出fn(x)fn4(x)，又f1(x)f2(x)f3(x)f4(x)0，f1f2f2 017504f11答案19若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_解析由题意得yln xx1ln x，直线2xy10的斜率为2.设P(m，n)，则1ln m2，解得me，所以neln ee，即点P的坐标为(e，e)答案(e，e)10已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程解(1)f(x)3x28x5，f(2)1，又f(2)2，曲线在点(2，f(2)处的切线方程为y2x2，即xy40.(2)设曲线与经过点A(2，2)的切线相切于点P(x0，x4x5x04)，f(x0)3x8x05，切线方程为y(2)(3x8x05)(x2)，又切线过点P(x0，x4x5x04)，x4x5x02(3x8x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02或1，经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40，或y20.B能力提升练1(2018安徽蚌埠二模)已知函数f(x)x，曲线yf(x)上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是()A(e2，) B(e2,0)C. D.解析曲线yf(x)上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，f(x)a(x1)ex0有两个不同的解，即得a(1x)ex有两个不同的解，设y(1x)ex，则y(x2)ex，x2，y0，x2，y0x2时，函数取得极小值e2，0ae2.答案D2(2016四川卷)设直线l1，l2分别是函数f(x)图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是()A(0,1) B(0,2)C(0，) D(1，)解析设P1(x1，ln x1)，P2(x2，ln x2)(不妨设x11,0x21)，则由导数的几何意义易得切线l1，l2的斜率分别为k1，k2.由已知得k1k21.x1x21，x2.切线l1的方程为yln x1(xx1)，切线l2的方程为yln x2(xx2)，即yln x1x1.分别令x0得A(0，1ln x1)，B(0,1ln x1)又l1与l2的交点为P.x11，SPAB|yAyB|xP|1，0SPAB1，故选A.答案A3(2018北京市朝阳区二模)设P为曲线C1上动点，Q为曲线C2上动点，则称|PQ|的最小值为曲线C1，C2之间的距离，记作d(C1，C2)若C1x2y22，C2：(x3)2(y3)22，则d(C1，C2)_；若C3ex2y0，C4ln xln 2y，则d(C3，C4)_.解析C1(0,0)，r1，C2(3,3)，r2，d(C1，C2)3；C3：ex2y0，C4：ln xln 2y互为反函数，先求出曲线ex2y0上的点到直线yx的最小距离设与直线yx平行且与曲线ex2y0相切的切点P(x0，y0)yex，ex01，解得x0ln 2，y01.得到切点P(ln 2,1)，到直线yx的距离d，丨PQ丨的最小值为2d(1ln 2)，故答案为，(1ln 2)答案；(1ln 2)4(2018湖南衡阳第三次联考)设函数f(x)，D是由x轴和曲线yf(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则zx2y22x2y在D上的最小值为_解析当x0时，f(x)，则f(1)1所以曲线yf(x)及该曲线在点(1,0)处的切线为yx1, 区域D可作图如下则根据线性规划的目标点的选取zx2y22x2y(x1)2(y1)22，将其转化为可行域D内取一点(x，y)与定点(1，1)之间距离的平方与2的差的最小值，有可行域可知，定点(1，1)到直线y2x1的距离为，所以可行域D内取一点(x，y)与定点(1，1)之间距离的平方与2的差的最小值2.答案5设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值解(1)方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0，得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为S|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.C尖子生专练(2018河北唐山一中月考)已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12和直线m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是曲线yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由解(1)由已知得f(x)3ax26x6a，f(1)0，3a66a0，a2.(2)存在由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线yg(x)的切线，则设切点为(x0,3x6x012)g(x0)6x06，切线方程为y(3x6x012)(6x06)(xx0)，将(0,9)代入切线方程，解得x01.当x01时，切线方程为y9；当x01时，切线方程为y12x9.由(1)知f(x)2x33x212x11，由f(x)0得6x26x120，解得x1或x2.在x1处，yf(x)的切线方程为y18；在x2处，yf(x)的切线方程为y9，yf(x)与yg(x)的公切线是y9.由f(x)12得6x26x1212，解得x0或x1.在x0处，yf(x)的切线方程为y12x11；在x1处，yf(x)的切线方程为y12x10；yf(x)与yg(x)的公切线不是y12x9.综上所述，yf(x)与yg(x)的公切线是y9，此时k0.
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