2019-2020学年高二数学下学期4月月考试题(含解析).doc

2019-2020学年高二数学下学期4月月考试题(含解析)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，,故选A.2.设复数满足，则=（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算法则，求出z，求z模即可.【详解】因为，所以，所以，选A.【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及复数模的概念，属于容易题.3.对于独立性检验，下列说法正确的是（ ）A. K23.841时，有95%的把握说事件A与B无关B. K26.635时，有99%的把握说事件A与B有关C. K23.841时，有95%的把握说事件A与B有关D. K26.635时，有99%的把握说事件A与B无关【答案】B【解析】【分析】根据独立性检验中卡方的概念知，选B.【详解】根据独立性检验中卡方的概念知,K26.635时，有99%的把握说事件A与B有关选B.【点睛】本题主要考查了独立性检验中卡方的概念，属于中档题.4.等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn，若SnTn=2n3n+1，则a3b3的值为（ ）A. 35 B. 47 C. 58 D. 1219【答案】C【解析】【分析】根据等差数列中a3b3=5a35b3=S5T5,可求出结果.【详解】因为等差数列中S2n1=(2n1)an，所以a3b3=5a35b3=S5T5，a3b3=1016=58，故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列前n项和，属于中档题.5.设函数f(x)是定义在上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，若数列an是等差数列，且a30，则直线y=-ax+z在y轴上的截距取得最小值时，取得最小值，此时当直线y=-ax与直线2x-y-9=0平行时满足题意，此时-a=2，解得a=-2；若-a0，则直线y=-ax+z在y轴上的截距取得最小值时，取得最小值，此时当直线y=-ax与直线x+y-3=0平行时满足题意，此时-a=-1，解得a=1.综上可知，a=-2或a=1，故选B.【点睛】本题主要考查了线性规划中可行域及最优解问题，以及分类讨论思想，属于中档题.8.已知a=In22,b=In33,c=In，则a,b,c的大小关系为（ ）A. abc B. cba C. acb D. bca【答案】C【解析】【分析】构造函数y=lnxx，求导f(x)=1lnxx2,当0x0，当xe,f(x)0，所以函数在(0,e)上增函数在(e,+)上减函数，所以cb，ab即可得出结论.【详解】因为f(x)=lnxx，f(x)=1lnxx2,当0x0，当xe,f(x)0，所以函数在(0,e)上增函数在(e,+)上减函数，所以cb，a0，所以函数fx为单调递增函数，因为f5a-2+f3a20，即f3a2-f5a-2=f2-5a，所以3a22-5a3a2+5a-20，解得-2a13，故选D.【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的奇偶性和函数的单调性，转化为不等式3a2+5a-20是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性把不等式转化为fgxfhx的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式（组），此时要注意gx与hx的取值应在外层函数的定义域内是试题的易错点.11.已知椭圆y25+x2=1与抛物线x2=ay有相同的焦点为F,O原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且AF=4，则PA+PO的最小值为（ ）A. 213 B. 42 C. 313 D. 46【答案】A【解析】【分析】易知抛物线方程为x2=8y，利用抛物线定义确定出A点坐标，求出A关于准线的对称点B，则PA+PO=PB+PO，利用三点共线即可求出最值.【详解】由题意，椭圆y25+x2=1,c2=5-1=4，即c=2，则椭圆的焦点为0,2，不妨取焦点F0,2,抛物线x2=ay=4a4y，抛物线的焦点坐标为0,a4，Q椭圆y25+x2=1与抛物线x2=ay有相同的焦点F，a4=2，即a=8，则抛物线方程为x2=8y，准线方程为y=-2，AF=4，由抛物线的定义得：A到准线的距离为4,y+2=4，即A点的纵坐标y=2，又点A在抛物线上，x=4，不妨取点A坐标A4,2，A关于准线的对称点的坐标为B4,-6，则PA+PO=PB+POOB，即O,P,B三点共线时，有最小值，最小值为OB=42+-62=16+36=52=213，故选A.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，抛物线的标准方程，抛物线的定义及利用三点共线求两线段和的最小值，属于难题.12.已知函数fx=kx1exe2，与函数gx=1ex2，若fx与gx的图象上分别存在点M,N，使得MN关于直线y=x对称，则实数k的取值范围是（ ）A. 1e,e B. 2e,2e C. 2e,2e D. 3e,3e【答案】B【解析】【分析】求出g(x)的反函数h(x)，则方程h(x)= f(x)在1e,e2上有解，即可求出k的取值范围.【详解】由题设问题可化为函数y=gx的反函数y=-2lnx的图像与fx=kx在区间1e,e2上有解的问题.即方程kx=-2lnx在区间1e,e2上有解，由此可得-4kx2，即-4xk2x，所以-2ek2e.【点睛】本题主要考查了互为反函数的概念，以及方程有解求参数的取值范围，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在等比数列an中，已知a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2，则a8+a9+a10=_.【答案】128【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，可求出公比，利用a1+a2+a3与a8+a9+a10的关系求解.【详解】由a1+a2+a3=1，即a2+a3+a4=a1+a2+a3q，q=2，所以a8+a9+a10=a1+a2+a3q7=27=128【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，通项公式，属于中档题.14.设正实数x，y满足4x+y=xy，则x+y的最小值是 【答案】9【解析】试题分析：4x+y=xy4y+1x=1，所以x+y=(x+y)(4y+1x)=5+4xy+yx5+24xyyx=9，当且仅当4xy=yx时，取最小值9.考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15.对于三次函数fx=ax3+bx2+cx+da0，给出定义：设fx是y=fx的导数，fx是fx的导数，若方程fx=0有实数解x0，则称点x0,fx0为函数y=fx的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数gx=13x312x2+3x512，则g12018+g22018+g20172018=_.【答案】2017【解析】【分析】由题意可得gx=2x-1，所以对称中心为12,1，利用中心对称可求出结果.【详解】由题可得：gx=2x-1，所以对称中心为12,1，设gx上任意一点Px1,y1，因为关于12,1对称，所以P关于其对称的对称点为Px2,y2在gx上，且x2=1-x1,y2=2-y1，所以g(x1+1)g(x1+1)=y1-2，故g12018+g22018+g20172018=2017【点睛】本题主要考查了函数的对称中心及其对称中心的性质，属于中档题.解题时，自变量和为对称中心横坐标的2倍等于1时，则对应函数值和为对称中心纵坐标和的2倍等于2，这是此类问题的解题关键.16.给出下列命题：设x表示不超过x的最大整数，则log21+log22+log23+log2127+log2128=649；定义：若任意xA，总有axAA，就称集合A为的“闭集”，已知A1,2,3,4,5,6且A为6的“闭集”，则这样的集合A共有7个；已知函数fx为奇函数，gx=fx+2在区间0,+上有最大值5，那么gx在,0上有最小值3.其中正确的命题序号是_【答案】【解析】对于，如果2km2k+1，则klog2mk+1，也就是log2m=k，所以log21+log22+log23+log24+log2128=0+12+222+626+7，进一步计算可以得到该和为2+8+24+64+160+384+7=649，故正确；对于，我们把1,2,3,4,5,6分成四组：1,5,2,4,3,6，由题设可知6不是“闭集”中的元素，其余三组元素中的每组元素必定在“闭集”中同时出现或同时不出现，故所求的“闭集”的个数为231=7，故正确；对于，因为gx在0,+上的最大值为5，故fx在0,+上的最大值为3，所以fx在,0上的最小值为3，gx在,0上的最小值为1，故错综上，填点睛：（1）根据x=k可以得到kxk+1，因此klog2mk+1 2km2k+1，这样的m共有2k，它们的和为k2k，依据这个规律可以写出和并计算该和（2）根据闭集的要求，1,5,2,4,3中每组元素都是同时出现在闭集中或者同时不出现在闭集中，故可以根据子集的个数公式来计算（3）注意把非奇非偶函数转化为奇函数或偶函数来讨论三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知b2+c2a2=accosC+c2cosA（）求角A的大小；（）若ABC的面积SABC=2534，且a=5，求sinB+sinC【答案】（）A=3。（）3。【解析】试题分析：（）由余弦定理把已知条件化为2bccosA=accosC+c2cosA，再由正弦定理化为角的关系，最后由两角和与差的正弦公式及诱导公式可求得cosA=12，从而得A角；（）由三角形面积公式求得bc=25，再由余弦定理可求得b2+c2=50，从而得b+c=10，再由正弦定理得sinB+sinC=(b+c)sinAa，计算可得结论.试题解析：（）因为b2+c2-a2=accosC+c2cosA，所以由2bccosA=accosC+c2cosA，即2bcosA=acosC+ccosA，由正弦定理得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosA=sin(A+C)，sin(A+C)=sin(-B)=sinB，2sinBcosA=sinB，即sinB(2cosA-1)=0，0B，sinB0，cosA=12，0Ab0)的短轴长为23，离心率e=12（1）求椭圆C的标准方程；（2）若F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线与椭圆C交于不同的两点A、B，求F1AB的面积的最大值.【答案】（1）x24+y23=1；（2）3.【解析】试题分析：（1）根据题意列出待定系数的方程组，即可求得方程；（2）把F1AB分解为和，所以其面积为SF1AB=12|F1F2|y1y2|=|y1y2|，设出直线的方程为x=my+1，整理方程组表示出y1+y2,y1y2，代入上式即可求得SF1AB=12m2+13m2+4，可换元t=m2+1，则t1，则SF1AB=12t3t2+1=4t+13t，研究求单调性即可求得其最大值.试题解析：（1）由题意可得2b=23ca=12a2=b2+c22分解得a=2,b=33分故椭圆的标准方程为x24+y23=1 4分（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)，SF1AB=12|F1F2|y1y2|=|y1y2|6分由题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为x=my+1，由x=my+1x24+y23=1得(3m2+4)y2+6my9=0，所以，y1+y2=6m3m2+4,y1y2=93m2+48分又因直线与椭圆C交于不同的两点，故0，即(6m)2+36(3m2+4)0,mR则SF1AB=12|F1F2|y1y2|=|y1y2|=(y1+y2)24y1y2=12m2+13m2+410分令t=m2+1，则t1，则SF1AB=12m2+13m2+4=12t3t2+1=4t+13t，令f(t)=t+13t，由函数的性质可知，函数f(t)在33,+)上是单调递增函数，即当t1时，f(t)在1,+)上单调递增，因此有f(t)f(1)=43，所以SF1AB3，即当t=1，即m=0时，SF1AB最大，最大值为3 12分考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系.【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查了待定系数法和函数、不等式的思想，属于中档题.求解椭圆的标准方程时应注意；本题第（2）问解答的关键是根据把F1AB的特征，把它分解为和，这样其面积SF1AB=12|F1F2|y1y2|=|y1y2|，大大简化了运算过程，提高了解题的准确率，最后通过换元，利用的导数研究其单调性，求得其最大值.21.已知函数fx=exax2（是自然对数的底数，aR）.（1）求函数fx的单调递增区间；（2）若k为整数，a=1，且当x0时，kxx+1fx0时，fx的增区间为Ina,+；（2）2.【解析】试题分析：（1）求单调增区间，只要解不等式f(x)0，它的解集区间就是所求增区间；（2）不等式kxx+1f(x)1恒成立，不等式具体化为(kx)(ex1)0，因此又可转化为kx+1ex1+x，这样k小于x+1ex1+x的最小值，因此下面只要求g(x)=x+1ex1+x的最小值.g(x)=ex(exx2)(ex1)2，接着要讨论h(x)=exx2的零点，由于h(x)在(0,+)上单调递增，且h(1)0，因此h(x)在(0,+)上有唯一零点，即在上存在唯一的零点，设其为，则g()=0,(1,2)，可证得g()为最小值，g()=+1(2,3)，从而整数k的最大值为2.试题解析：（1）.若，则恒成立，所以，在区间上单调递增.2分若，当时，在上单调递增.综上，当时，的增区间为；当时，的增区间为. 4分（2）由于，所以，kxx+1f(x)1(kx)(ex1)0，故(kx)(ex1)x+1k0)，则函数在上单调递增，而所以h(x)在上存在唯一的零点，故在上存在唯一的零点. 8分设此零点为，则.当时，；当时，；所以，在上的最小值为g().由可得10分所以，由于式等价于.故整数k的最大值为2. 12分考点：导数与单调性，不等式恒成立，函数的零点.视频22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为y=4sinax=4cosa+2（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为=6R.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设直线与曲线C相交于A,B两点，求AB的值.【答案】（1）2-4cos-12=0（2）AB=215【解析】【分析】（1）将参数方程化为普通方程，再将普通方程代为极坐标方程.（2）将=6代入得2-23-12=0，设A,B两点的极坐标方程分别为1,6,2,6，则1,2是方程2-23-12=0的两根，利用AB=1-2求解即可.【详解】（1）将方程x=4cosa+2y=4sina消去参数得x2+y2-4x-12=0，曲线C的普通方程为x2+y2-4x-12=0，将x2+y2=2,x=cos代入上式可得2-4cos=12，曲线C的极坐标方程为：2-4cos=12.（2）设A,B两点的极坐标方程分别为1,6,2,6，由2-4cos=16=6消去得2-23-12=0，根据题意可得1,2是方程2-23-12=0的两根，1+2=23,12=-12，AB=1-2=1+22-412=215.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与普通方程的互化，极坐标的几何意义，属于中档题.23.设函数fx=log25x+1x2的定义域为D.（1）求集合D；（2）设a,bD，证明a+b3+ab3.【答案】（1）D=x2x3（2）见解析【解析】【分析】（1）分段去绝对值解不等式即可；（2）将不等式平方因式分解即可证得.【详解】（1）解：，当时，解得，当时，恒成立，当时，解得，综上定义域.（2）证明，原不等式由得，原不等式得证.【点睛】含绝对值不等式的解法由两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论的思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向.