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2019-2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(205)一、填空题(每小题8分,共64分)1.设函数当 时,函数取得最大值。2.= 。3.已知则的最小值为 。4.在三棱柱中,正方形的边长为4,平面平面,AB=3,BC=5.若在线段上有一点D,使得,则的值为 。5.复数满足,且的最大值和最小值之和为,则 .6.已知所有的正整数均在个集合中,满足当为素数时,属于两个不同的集合,则当的最小值为 。7.已知椭圆C过点M(1,2),两个焦点为坐标原点,平行于OM的直线与椭圆C交于A、B两点,则面积的最大值为 。8.已知正整数满足且则满足题意的六元数组()有 组。二、解答题(共56分)9.(16分)已知数列满足,。证明:(1);(2)若。10.(20分)设函数满足。证明:存在当且仅当,。11.(20分)将整数1,2,3,xx2填入一个xxxx的方格表中,每格填一个数,且任意两格中所填的数不同,现将任意两格的中心连出一个向量,方向均是依所填的数从小到大。若方格表中每行每列所填各数之和相等,求所连出的全部向量之和。一、(40分)在四边形ABCD中,E为CD上一点,使得分别为AD、BC、BD、AC上的点,且满足.联结MQ。PN分别与AE、BE交于点U、V。若UE=VE,试判断四边形ABCD的形状。二、(40分)已知函数满足,求。三、(50分)记表示不超过实数的最大整数,设互不相同的个奇素数满足是模的非二次剩余,且,其中,证明:四、(50分)一个人上台阶可以一次上1级台阶,也可以一次上3级台阶,或者一次上4级台阶。若这个人上级台阶总共有种走法,证明:为平方数。
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