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第二课时直线与椭圆的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号直线与椭圆的位置关系1,2弦长问题3,4,7中点弦问题6最值问题8定值、定点问题11综合问题5,9,10,12【基础巩固】1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为(A)(A)相交(B)相切(C)相离(D)不确定解析:直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.故选A.2.若直线kx-y+3=0与椭圆+=1有两个公共点,则实数k的取值范围是(C)(A)(-,)(B)()(-)(C)(-,-)(,+)(D)(-,-)(-,)解析:由可得(4k2+1)x2+24kx+20=0,当=16(16k2-5)0,即k或kb0)的上顶点B和左焦点F,且被圆x2+y2=4截得的弦长为L,若L,则椭圆离心率e的取值范围是(B)(A)(0,)(B)(0,)(C)(0,)(D)(0,)解析:依题意,知b=2,kc=2.设圆心到直线l的距离为d,则L=2,解得d2.又因为d=,所以,解得k2.于是e2=,所以0e2,解得0b0)过点(0,1),其长轴长、焦距和短轴长三者的平方成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q,P,与椭圆分别交于点M,N,各点均不重合且满足=1,=2.(1)求椭圆的标准方程;(2)若1+2=-3,试证明直线l过定点并求此定点.解:(1)设椭圆的焦距为2c,由题意知b=1,且(2a)2+(2b)2=2(2c)2,又a2=b2+c2,所以a2=3.所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)由题意设P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2),设l方程为x=t(y-m),由=1知(x1,y1-m)=1(x0-x1,-y1),所以y1-m=-y11,由题意y10,所以1=-1.同理由=2知2=-1.因为1+2=-3,所以y1y2+m(y1+y2)=0,联立得(t2+3)y2-2mt2y+t2m2-3=0,由题意知=4m2t4-4(t2+3)(t2m2-3)0,且有y1+y2=,y1y2=,代入得t2m2-3+m2mt2=0,所以(mt)2=1,由题意mtb0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与C相交于A,B两点.若=3,则k=.解析:根据已知=,可得a2=c2,则b2=c2,故椭圆方程为+=1,即3x2+12y2-4c2=0.设直线的方程为x=my+c(m=),代入椭圆方程得(3m2+12)y2+6mcy-c2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则根据=3,得(c-x1,-y1)=3(x2-c,y2),由此得-y1=3y2,根据根与系数的关系得y1+y2=-,y1y2=-,把-y1=3y2代入得,y2=,=,故9m2=m2+4,故m2=,从而k2=2,k=.又k0,故k=.答案:
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