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3.2.1几类不同增长的函数模型【选题明细表】 知识点、方法题号指数函数、对数函数、幂函数模型的比较1,2,5图象信息迁移问题3,8应用函数模型解决问题4,6,71.下面对函数f(x)=lox,g(x)=()x与h(x)=在区间(0,+)上的递减情况说法正确的是(C)(A)f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越慢(B)f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越快(C)f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越慢(D)f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越快解析:观察函数f(x)=lox,g(x)=()x与h(x)=在区间(0,+)上的图象(如图)可知:函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间(1,+)上,递减较慢,且越来越慢;同样,函数g(x)的图象在区间(0,+)上,递减较慢,且递减速度越来越慢;函数h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间(1,+)上,递减较慢,且越来越慢.故选C.2.(2018烟台高一期末)在某实验中,测得变量x和变量y之间对应数据,如表.x0.500.992.013.98y-1.010.010.982.00则x,y最合适的函数是(D)(A)y=2x (B)y=x2-1(C)y=2x-2 (D)y=log2x解析:根据x=0.50,y=-1.01,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选D.3.一高为h0、满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示,其底部碰了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时,水的体积为V,则函数V=f(h)的大致图象可能是(B)解析:水深h越大,水的体积V就越大,当水深为h0时,体积为V0.所以排除A,C.当h0,h0时,可将水“流出”设想成“流入”,每当h增加1个h时,根据鱼缸形状可知,函数V的变化,开始其增量越来越大,经过中截面后增量越来越小,故V关于h的函数图象是先凹后凸,故选B.4.据报道,青海湖水在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2000年的湖水量为m,从2000年起,过x年后湖水量y与x的函数关系是(A)(A)y=0.m (B)y=(1-0.)m(C)y=0.950xm(D)y=(1-0.150x)m解析:设湖水量每年为上年的q%,则(q%)50=0.9,所以q%=0.,所以x年后湖水量y=m(q%)x=m0.故选A.5.以下是三个变量y1,y2,y3随变量x变化的函数值表:x12345678y1248163264128256y21491625364964y3011.58522.3222.5852.8073其中,关于x呈指数函数变化的函数是.解析:从表格可以看出三个变量y1,y2,y3都随x的增大而变大,但增长速度不同,其中y1的增长速度最快,画出它的散点图(图略)知变量y1关于x呈指数函数变化.答案:y16.某工厂生产A,B两种成本不同的产品,由于市场发生变化,A产品连续两次提价20%,B产品连续两次降价20%,结果都以23.04元出售.若此时厂家同时出售A,B产品各一件,则相对于没有调价时的盈亏情况是(D)(A)不亏不赚 (B)赚5.92元(C)赚28.96元(D)亏5.92元解析:设A,B两产品的原价分别为a元,b元,则a=16,b=36,16+36-23.042=5.92,所以比原价亏5.92元,故选D.7.某汽车制造商在2017年初公告:公司计划2017年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如表所示:年份201420152016产量8(万)18(万)30(万)如果我们分别将2014,2015,2016,2017定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型:二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a0),指数函数模型g(x)=abx+c(a0,b0,b1),哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系?解:建立年产量y与年份x的函数,可知函数图象必过点(1,8),(2,18),(3,30).构造二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a0),将点坐标代入,可得解得a=1,b=7,c=0,则f(x)=x2+7x,故f(4)=44,与计划误差为1.构造指数函数模型g(x)=abx+c(a0,b0,b1),将点坐标代入,可得解得a=,b=,c=-42,则g(x)=()x-42,故g(4)=()4-42=44.4,与计划误差为1.4.由可得,二次函数模型f(x)=x2+7x能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系.8.据气象中心观察和预测:发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l交梯形OABC于另一点D,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km).(1)当t=4时,求s的值;(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来;(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.解:(1)由图象知,点A的坐标为(10,30),故直线OA的解析式为v=3t,当t=4时,D点坐标为(4,12),所以OT=4,TD=12,所以s=412=24(km).(2)当0t10时,此时OT=t,TD=3t,所以s=t3t=t2,当10t20时,此时OT=t,AD=t-10,TD=30,所以s=1030+30(t-10)=30t-150;当20t35时,因为B,C的坐标分别为(20,30),(35,0),所以直线BC的解析式为v=-2t+70,此时D点坐标为(t,-2t+70),所以TC=35-t,TD=-2t+70,所以s=(10+35)30-(35-t)(-2t+70)=-(35-t)2+675,所以s=(3)法一由(2)知,当10t20时,30t-1503020-150=450.当20t35时,令-(35-t)2+675=650得t=40(舍去)或t=30.故当沙尘暴发生30 h后它将侵袭到N城.法二因为当t=20时,s=3020-150=450(km),当t=35时,s=-(35-35)2+675=675(km),而450650675,所以N城会受到侵袭,且侵袭时间t应在20 h至35 h之间,由-(35-t)2+675=650,解得t=30或t=40(不合题意,舍去).所以在沙尘暴发生后30 h它将侵袭到N城.【教师备用】 在固定电压差(电压为常数)的前提下,当电流通过圆柱形的电线时,其电流强度I与电线半径r的三次方成正比,若已知电流通过半径为4毫米的电线时,电流强度为320安,则电流通过半径为3毫米的电线时,电流强度为(D)(A)60安(B)240安(C)75安(D)135安解析:由已知,设比例常数为k,则I=kr3.由题意,当r=4时,I=320,故有320=k43,解得k=5,所以I=5r3.故当r=3时,I=533=135(安),故选D.【教师备用】 在某种金属材料的耐高温实验中,温度y()随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示:现给出下列说法:前5 min温度增加越来越快;前5 min温度增加越来越慢;5 min后温度保持匀速增加;5 min后温度保持不变.其中说法正确的是(C)(A)(B)(C)(D)解析:前5 min温度y随x增加而增加,增长速度越来越慢;5 min后,温度y随x的变化曲线是直线,即温度匀速增加.故正确.故选C.【教师备用】 如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲,乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息:(1)骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h;(2)骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;(3)骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者;(4)骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样.其中正确信息的序号是.解析:看时间轴易知(1)正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此(2)正确;两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故(3)正确,(4)错误.答案:(1)(2)(3)【教师备用】 画出函数f(x)=与函数g(x)=x2-2的图象,并比较两者在0,+)上的大小关系.解:函数f(x)与g(x)的图象如下.根据图象易得:当0xg(x);当x=4时,f(x)=g(x);当x4时,f(x)g(x).【教师备用】 某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是(D)解析:设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意可得ax=a(1+0.104)y,故y=log1.104x(x1).函数为对数函数,所以函数y=f(x)的图象大致为D中图象.故选D.【教师备用】 某地发生地震后,地震专家对该地区发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表:强度(J)1.610193.210194.510196.41019震级(里氏)5.05.25.35.4注:地震强度是指地震时释放的能量.地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y=alg x+b(其中a,b为常数).利用散点图可知a的值等于.(取lg 2=0.3进行计算)解析:由模拟函数及散点图得两式相减得a(lg 3.2-lg 1.6)=0.2,alg 2=0.2,a=.答案:
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