2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题 文（含解析）.doc

2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列集合中，是集合的真子集的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】, 真子集就是比A范围小的集合;故选D;2. 复数（为虚数单位）的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用乘法公式，分子、分母同时乘以，然后化简为的形式，为虚部.详解： ，所以虚部为1，故选A点睛：分式型复数化简，需要对分母利用平方差公式，分子分母同时乘一个式子，然后化简为一般形式，注意虚部不包含，包含符号.3. 在正项等比数列中，若，是方程的两根，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：为、的等比中项，则，由韦达定理，求出，从而求出，因为数列为正项数列，则取正数.详解：因为、为方程的两根，由韦达定理，为、的等比中项，则，解得，因为数列为正项数列，所以，故选C点睛：本题主要考察等比中项的公式，当结果为两个时，需要进行分析，防止多解，等比数列隔项符号相同.4. 若，且为第三象限角，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，且为第三象限角，所以本题选择A选项.5. 已知，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解：由题意可知：，即，即，即，综上可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确6. 已知圆上任意一点关于直线的对称点也在圆上，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：圆上任意一点关于某直线的对称点还在圆上，说明该直线必过圆心，根据圆心表达式求出圆心坐标，代入直线方程，即可求得m.详解：由题意知，直线必过圆心，由圆心表达式可得圆心坐标为，代入直线，解得.故选B.点睛：圆的一般方程中，圆心坐标为，圆的对称轴为过圆心的任意直线，可知直线过圆心.7. 设，是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（ ）A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：分别由面面平行的判定定理和面面平行的性质判断充分与必要性，即可得出结论.详解：若证面面平行，则需一个平面内两条相交直线均与另一平面平行，题目中只有一条直线，所以为不充分条件；若由面面平行证线面平行，利用面面平行的性质，如果两个面互相平行，其中一个面平行于另一个平面里的任意一条直线，所以为必要条件.故选A.点睛：本题考查线面、面面平行的性质与判定，需熟练掌握定理的题设与结论，必要时可以借助笔和纸进行模拟演示.8. 已知，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由左加右减，得出解析式，因为解析式为正弦函数，所以令，解出，对k进行赋值，得出对称轴.详解：由左加右减可得，解析式为正弦函数，则令，解得：，令，则 ，故选B.点睛：三角函数图像左右平移时，需注意要把x放到括号内加减，求三角函数的对称轴，则令等于正弦或余弦函数的对称轴公式，求出x解析式，即为对称轴方程.9. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.10. 函数的最大值与最小值分别为（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】D【解析】分析：将化为，令，可得关于t的二次函数，根据t的取值范围，求二次函数的最值即可.详解：利用同角三角函数关系化简， 设，则，根据二次函数性质当时，y取最大值2，当时，y取最小值.故选D.点睛：本题考查三角函数有关的最值问题，此类问题一般分为两类，一种是解析式化为的形式，用换元法求解；另一种是将解析式化为的形式，根据角的范围求解.11. 某市国庆节天假期的楼房认购量(单位：套)与成交量(单位：套)的折线图如图所示，小明同学根据折线图对这天的认购量与成交量作出如下判断：日成交量的中位数是;日成交量超过日平均成交量的有天；认购量与日期正相关；月日认购量的增量大于月日成交量的增量上述判断中错误的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：将数据按照大小顺序排列后，由于一共有7个数字，所以取第四个数字为中位数.日均成交量为成交量的平均数，正相关为统计图中的点从左下分布至右上.认购量与成交量的增量均是第七天与第六天数据之差.详解：将成交量数据按大小顺序排列，中位数为26，所以错；平均成交量为，超过44.1的只有一天，所以错；由图中可以看出，数据点并不是从左下分布至右上，所以错；10月7日认购量增量为，成交量增量为，所以对.故选C.点睛：本题主要考察统计知识，需熟练掌握样本数据特征的计算以及变量的相关性的概念.12. 已知，为双曲线的左，右焦点，点为双曲线右支上一点，直线与圆相切，且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设与圆相切于点，则因为，所以为等腰三角形，设的中点为，由 为的中点，所以，又因为在直角中，所以又， 故由得，故本题选C点睛：在圆锥曲线中涉及到焦点弦问题，通常要灵活应用圆锥的定义得到等量关系，本题中由几何关系得到，由双曲线定义有，列方程即可求离心率的值.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 向量，若，则_【答案】【解析】分析：向量垂直即向量的乘积为0，根据向量乘法的坐标运算列式，即可解出m.详解：由可得，解得.点睛：本题考查向量的垂直关系以及向量的坐标运算，熟练掌握计算公式.14. 在集合中随机取一个元素，在集合中随机取一个元素，得到点，则事件“点在直线上”的概率为_【答案】【解析】分析：列出两集合中各取一个元素，两两结合的所有情况，再分别代入直线，求出点在直线上的情况，利用古典概型公式计算.详解：两集合中各取一个元素，两两结合的所有情况为：、，共6种情况，其中在直线上的为、，共2种情况，所以概率为.点睛：本题考查古典概型的计算以及点在直线上的判定方法，注意数据的抽取方式以及情况总数.15. 若椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率之积为，则_【答案】【解析】分析：根据椭圆离心率公式表示出椭圆离心率e，等轴双曲线的离心率为，列出乘积为1的式子，即可求出.详解：椭圆离心率等轴双曲线离心率为，则根据乘积为1列式为：，解得，因为，所以取.点睛：本题考查离心率公式，等轴双曲线的概念以及之间点的关系.根据题意列式即可，需要熟练掌握双曲线有关概念，如共轭双曲线、等轴双曲线等.16. 已知，函数若对任意，恒成立，则的取值范围是_【答案】【解析】分析：分段求不等式，将定义域分为、两部分，在两部分内分别化简不等式，化简为的形式，小于等于0恒成立，即在相应区间内最大值小于等于0.根据二次函数性质求解，最后两区间内的范围取交集.详解：当时，即恒成立，所以在区间内最大值小于等于0，根据二次函数性质，当时或时取最大值，即，解得；当时，即恒成立，所以在区间内最大值小于等于0，根据二次函数性质，当时取最大值，即，解得，取交集得.点睛：分段函数类不等式要分段求解，恒成立为最大值小于等于0，恒成立，为最小值大于等于0.同时需要注意区分恒成立与存在性问题的区别.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列满足，前项和.（）求的通项公式；（）设等比数列满足，求的前项和.【答案】（）.（）.【解析】分析：（）已知数列为等差数列，且知与的值，设首项与公差，代入解方程即可；（）求出、即、，设首项与公比，列式解出.代入前n项和公式即可.详解：（）设的公差为，则由已知条件得，化简得，解得，故的通项公式，即.（）由（1）得，.设的公比为，则，从而，故的前项和.点睛：本题综合考察等差等比数列的通项公式与前n项和公式，需要熟练掌握，代入公式，解得首项与公差公比即可.18. 在中，角，所对的边分别是，已知且.（）求角的大小；（）若，延长至，使，且，求的面积.【答案】（）.（）.【解析】试题分析：()由题意结合正弦定理和大边对大角可得；()结合题意首先求得，然后利用面积公式可得的面积是.试题解析：（）由正弦定理，得：，又，.（）设，则，在中，由余弦定理得，求得，即，在中，由正弦定理得，的面积 .19. 市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士”的绿色环保活动小组对年月年月(一月)内空气质量指数进行监测，如表是在这一年随机抽取的天的统计结果：指数空气质量优良轻微污染轻微污染中度污染中重度污染重度污染天数413183091115（）若市某企业每天由空气污染造成的经济损失(单位：元)与空气质量指数(记为)的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失元的概率；（）若本次抽取的样本数据有天是在供暖季节，其中有天为重度污染，完成列联表，并判断是否有的把握认为市本xx空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考.0.150.100.050.0100.0050.0012.0722.7063.8416.6357.87910.828参考公式：.【答案】（）.（）非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100有的把握认为市本xx空气重度污染与供暖有关【解析】分析：（）根据经济损失求出t的范围，根据t的范围，求出相应的天数，与总天数作比即可求出概率；（）根据重度污染天数与供暖天数等求出各值，填入列联表，根据公式计算，与所对应的的k值3.841对比，若大，则有把握，否则没有.详解：（）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失元”为事件.由，得，频数为，.（）根据以上数据得到如表：非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100的观测值所以有的把握认为市本xx空气重度污染与供暖有关点睛：本题第一问考察古典概型，根据公式计算即可，第二问考察数据的综合分析，需要利用各类数据的和差填表，注意求时要保留三位小数，且由于问题为能否有的把握，所以要与0.05所对应的值3.841对比.20. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，和均为等边三角形，且平面平面，点为中点.（）求证：平面；（）若的面积为,求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】分析：（）证明线面平行，需在平面内构造一条线平行于已知直线，将直线沿平移，点至点处，则点应移至中点处，故取中点，连接、.若证，则需证明、平行且相等，、需要以作为中间量.（）根据两个等边三角形和面面垂直，假设一边长为x，表示的面积，解出x，求出三棱锥底面的面积.因为为中点，所以三棱锥底面上的高为到底面距离的一半. 详解：（1）取的中点，连接，；取的中点,连接，因为是正三角形，所以.因为，所以四边形为矩形，从而，.因为为的中位线,所以，即，所以四边形是平行四边形，从而，又面，所以面.（2）取的中点，连接，则.过点作交于.因为，面面，面面所以面.又因为面，所以.又因为，面，.所以面，又因为面，所以.由于为中点,易知.设，则的面积为，解得，从而，.点睛：证明平行有三种方式，分别为平行四边形、中位线和相似，一般通过平移直线的方作辅助线，求三棱锥体积时，要注意改变底面，选择底面与高容易求的形式，同时注意可以将高转化为其他线段去求.21. 如图所示，在直角坐标系中，点到抛物线的准线的距离为.点是上的定点，是上的两动点，且线段的中点在直线上.（）求曲线的方程及的值；（）记，求的最大值.【答案】（），.（）.【解析】分析：（）由抛物线准线方程及P到准线的距离，可求得，进而求得抛物线方程，将点M的坐标代入抛物线 ，即可求得t.（）求直线OM方程，点Q在直线OM上，根据直线方程表示点Q坐标，消去参数n，利用点差法表示出直线AB斜率，进而求出直线方程，将直线AB方程与抛物线方程联立，用弦长公式求弦长，从而将d表示为关于m的函数，根据m范围求最值.详解：（1）的准线为，抛物线的方程为.又点在曲线上，.（2）由（1）知，点，从而，即点，依题意，直线的斜率存在，且不为，设直线的斜率为.且，由得，故，所以直线的方程为，即.由消去，整理得，所以，.从而.，当且仅当，即时，上式等号成立，又满足.的最大值为.点睛：圆锥曲线的最值问题，一般是利用参数，表示最值，通过函数值域求最值，或者设未知量构造基本不等式求最值，要注意等号成立的条件.22. 已知函数.（）若曲线上点处的切线过点，求函数的单调减区间；（）若函数在上无零点，求的最小值【答案】（）见解析；（）.【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，求得，解得的值，从而求出函数的单调减区间；（2）根据题意，把函数为零点转化为恒成立，令，根据函数的单调性求出的最小值即可试题解析：（1）因为,所以, 所以又,所以,得,由,得,所以函数的单调减区间为（2）因为当时，,所以在区间内恒成立不可能所以要使函数在区间内无零点，只要对任意的恒成立，即对恒成立，令,则再令,则,所以在区间内为减函数，所以, 所以于是在区间内为增函数，所以,所以要使恒成立，只要综上，若函数在区间内无零点，则实数的最小值为考点：利用导数研究曲线上某点的切线方程；利用研究函数的单调性与最值【方法点晴】本题主要考查了导数的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究曲线上某点的切线方程、利用研究函数的单调性与最值，以及恒成立问题的求解等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与构造思想的应用，本题的解答中根据题设条件，构造新函数转化为利用新函数的单调性与最值是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题