2019届高三数学4月上旬质量检测试卷 文(含解析).doc

2019届高三数学4月上旬质量检测试卷 文(含解析)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足，则复数z的虚部为A. B. C. 3D. 【答案】D【解析】【分析】首先在等式两边同除i，再进行化简，即可求得z的虚部.【详解】，复数的虚部为-3，故选D.【点睛】本题考查复数的概念和运算，属于简单题.2.设A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求解出A,B两个集合，根据交集定义求解出结果.【详解】因为A=x|y=3-x=x|3-x0=x|x3B=x4x-x20=x|x2-4x0=x|0x4所以AB=x|0x3本题正确选项：B【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.3.已知向量a =(2,1), b =(-1,k)，若aa+b则k等于 （ ）A. 5B. 3C. 2D. -3【答案】D【解析】【分析】先根据向量的加减运算求出a+b 的坐标，然后根据a(a+b) 求出k的值。【详解】a=(2,1),b=(1,k)a+b=(1,1+k) a(a+b)=2+1+k=k+3=0,k=3 故选D.【点睛】本题考查向量的数乘和加减运算，向量垂直的坐标运算，是基础的计算题。4.命题存在实数x0，使lnx0x021的否定是A. 对任意的实数x，都有lnxx21B. 对任意的实数x，都有lnxx21C. 不存在实数x0，使lnx0x021D. 存在实数x0，使lnx0x021【答案】B【解析】【分析】利用特称命题的否定是全称命题的关系确定选项.【详解】特称命题的否定是全称命题，将特称量词改变后还要对结论否定，故选B.【点睛】本题考查特称命题的否定是全称命题，属于基础题.5.设等差数列an的前n项和为Sn，若a4+S5=2,S7=14，则公差d=A. 4B. 2C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】由a4+S5=2，S7=14，立方程组a1+3d+5a1+10d=2，7a1+21d=14，解方程组可得公差.【详解】解一：因为a4+S5=2且S7=14，所以6a1+13d=27a1+21d=14，解得a1=-4d=2. 解二：S7=7a47a4=2，S5=5a3，a4+5a3=2a3=0，d=a4-a3=2.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，考查计算能力，属于基础题.6.已知三个村庄A，B，C构成一个三角形，且AB=5千米，BC=12千米，AC=13千米为了方便市民生活，现在ABC内任取一点M建一大型生活超市，则M到A，B，C的距离都不小于2千米的概率为A. 25B. 35C. 115D. 15【答案】C【解析】【分析】根据条件作出对应的图象，求出对应的面积，根据几何概型的概率公式进行计算即可【详解】解：在ABC中，AB5，BC12，AC13，则ABC为直角三角形，且B为直角。则ABC的面积S12512=30，若在三角形ABC内任取一点，则该点到三个定点A，B，C的距离不小于2，则该点位于阴影部分，则三个小扇形的圆心角转化为180，半径为2，则对应的面积之和为S222=2，则阴影部分的面积S302 ，则对应的概率PS阴影SABC30-2301-15 ，故选：C【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键7.与函数f(x)=ln(|x|)x2sinx(x(2,0)(0,2)的部分图象最符合的是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，筛选选项，再判断函数值的正负变化情况可解.【详解】因为函数f(-x)=ln(|x|)x2sin(-x)=-f(x)，所以函数为奇函数，其图象关于原点成中心对称，所以排除选项A，D，又当x(0,1)时，f(x)0,b0)的右焦点为F，P为双曲线C右支上一点，若三角形PFO为等边三角形，则双曲线C的离心率为A. 3+1B. 132C. 5D. 2【答案】A【解析】【分析】由PFO为正三角形得P点坐标(c2,32c)，代入双曲线方程得a,b,c的关系式，化为关于离心率e的方程求解.【详解】因为三角形PFO为等边三角形，则P(c2,3c2)，代入双曲线方程可得c24a2-3c24b2=1，又因为e=ca，b2=c2-a2，所以e24-3e24(e2-1)=1(e1)，解得e=3+1.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，利用离心率公式e=ca,再结合e1进行求解，考查运算求解能力.10.已知函数f(x)=2sin(x+)(02)，且f(0)=1，若函数f(x)的图象关于x=49对称，则的取值可以是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】先由f(0)=1求出，利用正弦函数的性质得49+=2+k，取整数k，确定选项.【详解】f(x)=2sin(x+)，由f(0)=1，得sin=12.又01，给出下列命题，其中正确命题的个数为当0a1时，存在不相等的两个实数x1和x2，使f(x1)=f(x2)；当a0时，f(x)有3个零点A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】C【解析】【分析】0a1，分别求x1与x1的函数值的范围，判断是否有交集；令f(x)=0，x1时lnx+2a=0有一解；x1时利用一元二次方程根的分别条件判断方程x2+2ax+1=0，即x22ax1=0在(.1是否有两解.【详解】记g(x)=-x2+2ax+1=-(x-a)2+1+a2，x1.当a1时，对称轴x=a1时，对称轴x=a1，知函数g(x)在(-,1)单调递增，t(x)=lnx+2a在区间(1,+)单调递增.从而f(x)在(-,+)单调递增（如图二），所以选项错误；对于，当a0时，对称轴x=a0，g(1)=t(1)=2a0，a3=8，S3=a1+a2+a3，a1+a2+8=14，即得a1+a1q=6，a1(1+q)=68q2(1+q)=6，化简得：3q2-4q-4=0，q=2或q=-23（舍），a1=2，an=22n-1=2n(nN*).（2）数列bn为等差数列，理由如下：由（1）知an=2n，bn=log2an=log22n=n，bn+1=n+1，bn+1-bn=1，b1=1.bn是以为1为首项，1为公差的等差数列.（3）由（2）可知bn=n，cn=1bnbn+1=1n(n+1)=1n-1n+1，Tn=c1+c2+c3+.+cn=(1-12)+(12-13)+(13-14)+.+(1n-1n+1)=1-1n+1=nn+1.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和，考查运算求解能力，属于中档题.18.为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度，现通过网络问卷随机调查了年龄在20周岁至80周岁的100人，他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数如下表：(1)根据上述统计数据填下面的22列联表，并判断是否有95的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异；(2)现从年龄在70，80内的5名被调查人中任选两人去参加座谈会，求选出两人中恰有一人支持新农村建设的概率参考数据：参考公式：K2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d【答案】（1）22列联表见解析，无95的把握（2）35【解析】【分析】（1）根据频数分布填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）5人中，支持新农村建设的为2人，不支持的为3人，两人中恰有一人支持的情况数目，除以基本事件总数，可得答案【详解】解：（1）根据频数分布，填写22列联表如下：年龄低于50岁的人数年龄不低于50岁的人数合计支持402060不支持202040合计6040100计算观测值K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d2.7781时，f(x)0；(2)若关于x的不等式lnxx1是增函数可证.（2）设h(x)=lnxxa(x1)，对h(x)求导h(x)=1lnxx2a，对a讨论，判断h(x)单调性，何时对x1都有h(x)1时，f(x)0.f(x)在x(1,+)为增函数，f(x)f(1)=0，得证.（2）设h(x)=lnxx-a(x-1)，x(1,+)，则h(x)=1-lnxx2-a=1-lnx-ax2x2，当a1时，1-ax20，h(x)0，h(x)在x(1,+)为减函数，h(x)h(1)=0恒成立，即不等式lnxx0，故不合题意；当0a1-1x对任意x(1,+)恒成立；h(x)=lnxx-a(x-1)1-1xx-a(x-1)=x-1x2-a(x-1)=x-1x2(1-ax2)，当x(1,1a)时，h(x)0，故不合题意；综上：a1.【点睛】本题考查导数在函数中的综合应用，恒成立问题的求解，考查分类讨论、逻辑推理及计算能力，属于难题.21.已知椭圆O:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆O上运动，若PAB面积的最大值为23，椭圆O的离心率为12(1)求椭圆O的标准方程；(2)过B点作圆E：x2+(y2)2=r2,(0r2)的两条切线，分别与椭圆O交于两点C，D(异于点B)，当r变化时，直线CD是否恒过某定点?若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.【答案】（1）x24+y23=1（2）直线CD恒过定点(14,0).【解析】【分析】（1）根据已知条件列方程组122ab=23ca=12a2=b2+c2，解方程组可得.（2）设过B的切线方程y=k(x2)，由d=r，利用韦达定理得两切线PC、PD的斜率k1、k2关系，把直线y=k1(x2)、y=k2(x2)代入椭圆方程求出C、D点坐标，利用两点式建立CD方程，化简方程可得.【详解】（1）由题可知当点P在椭圆O的上顶点时，SPAB最大，此时SPAB=122ab=ab=23，所以ab=23ca=12a2-b2=c2a=2,b=3,c=1，所以椭圆O的标准方程为：x24+y23=1.（2）设过点B(2,0)与圆E相切的直线方程为：y=k(x-2)，即：kx-y-2k=0，因为直线与圆E：x2+(y-2)2=r2相切，所以d=|-2-2k|k2+1=r，即得(4-r2)k2+8k+4-r2=0.设两切线的斜率分别为k1,k2(k1k2)，则k1k2=1，设C(x1,y1)，D(x2,y2)，由y=k1(x-2)x24+y23=1(3+4k12)x2-16k12x+16k12-12=0，2x1=16k12-123+4k12，即x1=8k12-63+4k12，y1=-12k13+4k12；同理：x2=8k22-63+4k22=8-6k124+3k12，y2=-12k23+4k22=-12k14+3k12；KCD=y2-y1x2-x1=-12k14+3k12-12k13+4k128-6k124+3k12-8k12-63+4k12=k14(k12+1)，所以直线CD的方程为：y+12k13+4k12=k14(k12+1)(x-8k12-63+4k12).整理得：y=k14(k12+1)x-7k12(k12+1)=k14(k12+1)(x-14)，所以直线CD恒过定点(14,0).【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、直线与椭圆的交点，直线过定点问题的关键是把含待定未知数的直线方程表示出来，考查了推理能力与字母运算能力，属于难题22.在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x24+y23=1以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为sin(4)=2(1)求曲线C的参数方程和直线的直角坐标方程；(2)若直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，P为曲线C上的动点，求PAB面积的最大值【答案】（1）x=2cosy=3sin（为参数），xy2=0（2）7+2【解析】【分析】（1）根据椭圆参数方程形式和极坐标与直角坐标互化原则即可得到结果；（2）可求出AB=22，所以求解PAB面积最大值只需求出点P到直线距离的最大值；通过假设P2cos,3sin，利用点到直线距离公式得到d=7sin+22，从而得到当sin=1时，d最大，从而进一步求得所求最值.【详解】（1）由x24+y23=1，得C的参数方程为x=2cosy=3sin（为参数）由sin4=22sincos=2，得直线的直角坐标方程为xy2=0（2）在xy2=0中分别令y=0和x=0可得：A2,0，B0,2AB=22设曲线C上点P2cos,3sin，则P到距离：d=2cos3sin22=3sin2cos+22=737sin27cos+22=7sin+22，其中：cos=37，sin=27当sin=1，dmax=7+22所以PAB面积的最大值为12227+22=7+2【点睛】本题考查椭圆参数方程、极坐标化直角坐标以及椭圆上的点到直线距离的最值问题求解，求解此类最值问题的关键是利用参数表示出椭圆上点的坐标，将问题转化为三角关系式的化简，利用三角函数的范围来进行求解.23.设不等式|2x1|+|x+2|4的解集为M(1)求集合M；(2)已知a,bM，求证：|ab|(1ab)【答案】（1）x|1x1（2）见解析【解析】【分析】（1）通过零点分段的方式进行讨论，求得不等式的解集；（2）将问题转变为证明ab21ab20，由1a1，1b1可得a21，b21，从而证得所需的结论.【详解】（1）原不等式等价于x122x1+x+24或2x1212x+x+24或x212xx24解得：12x1或1x12所以原不等式的解集为x1x1（2）由（1）知，当a,bM时，1a1，1b1所以a21，b21从而ab21ab2=a2+b2a2b21=a211b20可得ab1ab【点睛】本题考查绝对值不等式的求解及证明.解绝对值不等式的常用方法为采用零点分段的方式去绝对值符号；证明绝对值不等式常采用平方的方法将问题进行转化.