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专题05 函数的对称性、周期性及其应用【热点聚焦与扩展】高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练.（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）（2）关于轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如的等式只需注意两点，一是等式两侧前面的符号相同，且括号内前面的符号相反；二是的取值保证为所给对称轴即可。例如：关于轴对称，或得到均可，只是在求函数值方面，一侧是更为方便（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称. 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的取相反数时，函数值相等，即，要与以下的命题区分：若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有 本结论也可通过图像变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.2、中心对称的等价描述：（1）关于中心对称（当时，恰好就是奇函数）（2）关于中心对称 在已知对称中心的情况下，构造形如的等式同样需注意两点，一是等式两侧和前面的符号均相反；二是的取值保证为所给对称中心即可。例如：关于中心对称，或得到均可，同样在求函数值方面，一侧是更为方便（3）是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称。 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即，要与以下的命题区分：若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有 本结论也可通过图像变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称。4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称 （4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同（二）函数的周期性1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数5、函数周期性的判定：（1）：可得为周期函数，其周期（2）的周期分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：所以有：，即周期注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期（3）的周期分析：（4）（为常数）的周期分析：，两式相减可得：（5）（为常数）的周期（6）双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设） 若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期分析：关于轴对称 关于轴对称 的周期为 若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期 若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质。（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减）（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴 （或对称中心），则 存在无数条对称轴，其通式为 证明：关于轴对称 函数的周期为 关于轴对称注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法.【经典例题】例1【2017山东，文14】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当 时,则f(919)= .【答案】【解析】【名师点睛】与函数奇偶性有关问题的解决方法已知函数的奇偶性,求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法：利用f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程求解应用奇偶性画图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性例2.对于函数，部分与的对应关系如表：数列满足： ，且对于任意，点都在函数的图象上，则的值为_.【答案】7564【名师点睛】周期数列是周期现象的应用，周期数列问题在高考中常出现这类试题综合性强一般会融汇数列，数论，函数等知识解题，方法灵活多变，具有较高的技巧性学生应进行相关的培训，才能在应付这些试题时有比较好的把握例3.【2018届山西省康杰中学高三上学期第一次月考】定义在R上的函数满足,且时, ,则=A. 1 B. C. D. 【答案】C【解析】，则时， ，即故选C.例4.定义在上的函数对任意，都有，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由及所求可联想到周期性，所以考虑，所以是周期为4的周期函数，故，而由已知可得，所以.例5【高考题】定义在上的函数满足，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C，而.【名师点睛】（1）本题的思路依然是将无解析式的自变量通过函数性质向含解析式的自变量靠拢，而数较大，所以考虑判断函数周期性。（2）如何快速将较大自变量缩至已知范围中？可利用带余除法除以周期，观察余数。则被除数的函数值与余数的函数值相同，而商即为被除数利用周期缩了多少次达到余数。例如本题中，从而（3）本题推导过程中也有其用处，其含义是间隔为3的自变量函数值互为相反数，相比周期，它的间隔更小，所以适用于利用周期缩小自变量范围后，进行“微调”从而将自变量放置已知区间内.例6.已知是定义在上的函数，满足，当时，则函数的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B例7.已知定义域为的函数满足，且函数在区间上单调递增，如果，且，则的值（ ）A. 可正可负 B. 恒大于0 C. 可能为0 D. 恒小于0【答案】D【解析】思路一：题目中给了单调区间，与自变量不等关系，所求为函数值的关系，从而想到单调性，而可得，因为，所以，进而将装入了中，所以由可得，下一步需要转化，由可得关于中心对称，所以有.代入 可得，从而思路二：本题运用数形结合更便于求解.先从分析出关于中心对称，令代入到可得。中心对称的函数对称区间单调性相同，从而可作出草图.而，即的中点位于的左侧，所以比距离更远，结合图象便可分析出恒小于0.【名师点睛】（1）本题是单调性与对称性的一个结合，入手点在于发现条件的自变量关系，与所求函数值关系，而连接它们大小关系的“桥梁”是函数的单调性，所以需要将自变量装入同一单调区间内。而对称性起到一个将函数值等价转化的作用，进而与所求产生联系.（2）数形结合的关键点有三个：第一个是中心对称图像的特点，不仅仅是单调性相同，而且是呈“对称”的关系，从而在图像上才能看出的符号；第二个是，进而可知；第三个是，既然是数形结合，则题中条件也要尽可能转为图像特点，而表现出中点的位置，从而能够判断出距离中心对称点的远近.例8.已知定义域为的函数在上有和两个零点，且与 都是偶函数，则在上的零点个数至少有（ ）个A. B. C. D. 【答案】C解：为偶函数 关于轴对称为周期函数，且 将划分为 关于轴对称 在中只含有四个零点而共组所以 在中，含有零点共两个所以一共有806个零点.【名师点睛】（1）周期函数处理零点个数时，可以考虑先统计一个周期的零点个数，再看所求区间包含几个周期，相乘即可.如果有不满一个周期的区间可单独统计.（2）在为周期函数分段时有一个细节：“一开一闭”，分段的要求时“不重不漏”，所以在给周期函数分段时，一端为闭区间，另一端为开区间，不仅达到分段要求，而且每段之间保持队型，结构整齐，便于分析.（3）当一个周期内含有对称轴（或对称中心）时，零点的统计不能仅限于已知条件，而要看是否由于对称产生新的零点。其方法一是可以通过特殊值的代入，二是可以通过图像，将零点和对称轴标在数轴上，看是否有由对称生成的零点（这个方法更直观，不易丢解）.例9【2018届安徽省六安市第一中学高三上学期第五次月考】设函数是定义在上的偶函数，且，当时， ，若在区间内关于的方程有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，函数图象的对称轴为，即，在区间内方程有且只有4个不同的根，函数和的图象在区间内仅有4个不同的公共点结合图象可得只需满足 ，解得实数的取值范围是【名师点睛】已知函数零点个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法（1）直接法：通过解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的值（或范围）；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域的问题，并结合题意加以解决；（3）数形结合法：先对函数解析式变形，化为两个函数的形式，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，然后根据两个图象的位置关系得到关于参数的不等式（组），求得解集后可得范围，解题时要注意一些特殊点的相对位置例10【2018届吉林省梅河口市第五中学高三4月月考】如果的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”.给出下列命题：函数具有“性质”；若奇函数具有“性质”，且，则；若函数具有“性质”，图象关于点成中心对称，且在上单调递减，则在上单调递减，在上单调递增；若不恒为零的函数同时具有“性质”和“性质”，且函数对，都有 成立，则函数是周期函数.其中正确的是_（写出所有正确命题的编号）【答案】【解析】 函数具有“性质”；故正确；奇函数具有“性质”，且， 是周期为4的函数， 故不正确；图象关于点成中心对称，且在上单调递减，图象也关于点成中心对称，且在上上单调递减，根据偶函数的对称得出：在上单调递增；故正确；若不恒为零的函数同时具有“性质”和“性质” ，为偶函数，且周期为3，故正确故答案为：【精选精练】1【2018届河北省石家庄高三教学质量检测（二）】已知定义在上的奇函数满足，且当时，则( )A. B. 18 C. D. 2【答案】C2【2018届江西省南昌市高三第一轮训练】已知定义在上的奇函数满足，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】,说明函数 的周期为6， ，则，由函数为 定义在上的奇函数，则又，则，则，选B.3【2018届广东省茂名市高三上学期第一次综合测试】定义在R上函数的图象关于直线x=2对称，且函数是偶函数. 若当x0,1时，则函数在区间2018,2018上零点的个数为( )A. 2017 B. 2018 C. 4034 D. 4036【答案】D，故，函数是周期为2的偶函数又当x0,1时， ，画出与图象如下图所示，由图象可知在每个周期内两函数的图象有两个交点，所以函数在区间2018,2018上零点的个数为20182=4036选D【名师点睛】函数零点的应用是高考考查的热点，主要考查利用零点的个数或存在情况求参数的取值范围，难度较大解题时常用的方法有以下几种： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形得到两个函数，并在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，然后利用数形结合求解4【2018届河北省武邑中学高三上学期第五次调研】函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时， ，若有三个零点，则实数的取值集合是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为函数是定义在上的奇函数，且当时， ，故当时， ，所以函数的部分图象如图所示， 有三个零点，即函数和函数的图象有三个交点，当直线与函数的图象在上相切时，即有2周期为4，所以实数的取值集合是.故选C.【名师点睛】本题考查函数的零点、函数的对称轴和周期性；本题的易错点是利用函数为偶函数正确得到函数的对称性，要注意判定奇偶性的自变量是，由为偶函数得到，而不是.5【2018届贵州省遵义市高三上学期第二次联考】设是定义在上的偶函数， ，都有，且当时， ，若函数（）在区间内恰有三个不同零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由可得函数的图象关于对称，即函数（）在区间内恰有三个不同零点，函数和的图象在区间内有三个不同的公共点作出函数的图象如图所示当时，函数为增函数，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则需满足在点A处的函数值小于2，在点B处的函数值大于2，即，解得； 当时，函数为减函数，【名师点睛】对于已知函数零点个数（或方程根的个数）求参数的取值或范围时，一般转化为两函数的图象的公共点的个数的问题，利用数形结合的方法求解（1）若分离参数后得到（为参数）的形式，则作出函数的图象后，根据直线和函数的图象的相对位置得到参数的取值范围（2）若不能分离参数，则可由条件化为的形式，在同一坐标系内画出函数和函数的图象，根据两图象的相对位置关系得到参数的取值范围6【2018届四川省成都市第七中学高三上学期一诊】定义在上的奇函数满足是偶函数，且当时， 则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】是定义在上的奇函数， ， 函数是定义在上的偶函数， ， ，可得，则的周期是， ，故选C.7【2018届山东省曲阜市高三上学期期中】已知函数的定义域为的奇函数，当时， ，且， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B8【2018届山东省枣庄市第三中学高三一调模拟】已知定义在上的函数满足条件：对任意的，都有；对任意的且，都有；函数的图象关于轴对称，则下列结论正确的是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】对任意的xR,都有f(x+4)=f(x)；函数是4为周期的周期函数，函数f(x+2)的关于y轴对称函数函数f(x)的关于x=2对称，对任意的,且,都有.此时函数在0,2上为增函数，则函数在2,4上为减函数，则f(7)=f(3)，f(6.5)=f(2,5)，f(4.5)=f(0.5)=f(3.5)，则f(3.5)f(3)f(2.5)，即f(4.5)f(7)f(6.5)，故选：C.9.【2018届江西省重点中学盟校高三第一次联考】定义在上的偶函数满足，且在上单调递减，设, ， ， 则, , 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C10【2018届贵州省贵阳市第一中学高三12月月考】已知是定义在上的奇函数，满足，当时， ，则函数在区间上所有零点之和为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由已知是定义在R上的奇函数，所以，又，所以的周期是2，且得是其中一条对称轴，又当时， ，于是图象如图所示，【名师点睛】本题主要考查函数的零点问题，根据条件判断函数的周期性，对称性，以及利用方程和函数之间的关系进行转化是解决本题的关键 11【2018届山西省吕梁市高三上学期第一次模】函数在单调递增，且关于对称，若，则的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数图像是由图像向左平移个单位后得到，故关于轴对称，且在上递减.故等价于，解得.12【2018届重庆市高三4月调研测试（二诊）】已知定义在上的奇函数满足，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A，又，选A【名师点睛】函数的奇偶性、对称性和周期性是函数的三个重要性质，这三个性质具有紧密的联系，即已知其中的两个则可推出第三个性质，考查时常将这三个性质结合在一起，并结合函数的图象、零点等问题，这类问题的难度较大、具有一定的综合性.
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