资源描述
第01节 集合的概念及其基本运算【考纲解读】命题角度考 纲 内 容5 年 统 计命 题 分 析 预 测1集合的表示、集合间的基本关系1了解集合的含义、元素与集合的属于关系2能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题3理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集4在具体情境中，了解全集与空集的含义2018课标II，22017课标III，11.分析预测从近五年的全国卷的考查情况来看,本讲是全国卷的必考内容,题目稳定,难度较低,主要考查集合的含义和基本运算,一般在试卷第1题或第2题的位置,分值5分.预计2019年高考命题方式和考查内容不会有太大变化.2.学科素养本讲主要以函数、方程、不等式等为载体,以集合的语言和符号为表现形式,考查考生的分类讨论思想和数学运算能力.2集合的基本运算1理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集2理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集3能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算2018课标I，2；III，12017课标I，1；II，22016课标I，III，1；II，22015课标，12014课标I，II，1【知识清单】1元素与集合（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性（2）集合与元素的关系：若a属于集合A，记作；若b不属于集合A，记作（3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法（4）常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或NZQR对点练习：【2018高考北京文8】设集合，则（ ）A对任意实数 B对任意实数C当且仅当时， D当且仅当时，【答案】D【名师点睛】本题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式2集合间的基本关系（1）子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，也说集合A是集合B的子集记为或（2）真子集：对于两个集合A与B，如果，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则称集合A是集合B的真子集记为（3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集（4）若一个集合含有n个元素，则子集个数为个，真子集个数为对点练习：【2018山东二模】若集合， 则下列结论中正确的是（ ）A B C D【答案】C【名师点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力3集合的运算（1）三种基本运算的概念及表示运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合ABx|xA且xB并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合ABx|xA或xB补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合UAx|xU且xA（2）三种运算的常见性质， ， ， ， ， 对点练习：【2018高考全国I文1】已知集合，则（ ）AB CD【考点】考查集合的基本运算【答案】A【解析】试题分析：利用集合的交集中元素的特征，结合题中所给的集合中的元素，求得集合中的元素，最后求得结果试题解析：根据集合交集中元素的特征，可以求得，故选A【名师点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，需要明确交集中元素的特征，从而求得结果【拓展、技巧与警示】集合运算是高考常考的，甚至必考的考点，属于基础题，也可以把其它知识渗透到集合中来，例如方程、不等式、向量、三角函数等，解决这类题目主要是直接法，或特值法集合问题主要要考虑元素的属性、运算等【考点深度剖析】 高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素二是考查抽象集合的关系判断以及运算【重点难点突破】考点1 集合的概念【1-1】【2018山西一模】已知单元素集合，则（ ）A0 B-4 C-4或1 D-4或0【答案】D【解析】由于只有一个元素，故判别式为零，即，故选D【1-2】【2018豫南九校期末考】已知集合，则集合中元素的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】D【解析】集合B中元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4个故选D【领悟技法】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集（2）看这些元素满足什么限制条件（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性【触类旁通】【变式一】【上海黄浦二模】已知集合，若，则非零实数的数值是_【答案】【解析】由题，若 则 此时B集合不符合元素互异性，故 若则符合题意；若则不符合题意故答案为2【变式二】【2018江西二模】设集合， ， ，则中的元素个数为（ ）A B C D【答案】C【解析】分析：由题意列表计算所有可能的值，然后结合集合元素的互异性确定集合M，最后确定其元素的个数即可详解：结合题意列表计算M中所有可能的值如下：2341234246836912观察可得：，据此可知中的元素个数为本题选择C选项【名师点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合元素的互异性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力考点2 集合间的基本关系【2-1】【2018福建莆田模拟】已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，再由，可求出实数的取值范围详解：集合，或，实数的取值范围是，故选D【名师点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的并集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇【2-2】【2018安徽江南十校二模】设集合，则下列关系正确的是（ ）A B C D【答案】C【名师点睛】集合问题中首要任务是确定集合的元素，对描述法表示的集合，其代表元的形式是什么很重要，这个代表元是实数，还是有序实数对（点）？是实数时，表示函数的定义域还是函数的值域？只有确定了代表元的意义，才能确定正确的求解方法，确定出集合本题还考查的集合间的关系，掌握补集运算与包含关系是解题关键【2-3】【2018豫南九校模拟】已知集合， ，则能使成立的实数的取值范围是_【答案】【解析】集合A=x|k+1x2k，B=x|1x3，AB=A，AB当A= 时，满足题意，此时k+12k，解得k1当A时，要使AB成立，则，解得： ，综上可得：实数k的取值范围【领悟技法】1判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系2已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn图帮助分析【触类旁通】【变式1】设集合，对任意实数x恒成立，且，则下列关系中成立的是()A B C D【答案】A【解析】，或【变式2】已知集合，集合，则()A B C D【答案】B【解析】，或，所以考点3 集合的基本运算本考点是高考的热点，主要有以下两个命题角度：命题角度一 集合的交、并、补运算【3-1】【2018河南郑州模拟】设集合，则的真子集的个数为（ ）A3 B4 C7 D8【答案】C【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，利用对数不等式的解法化简集合，根据交集的定义可得结果详解： ， ，其真子集个数为，故选C【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合命题角度二 利用集合的运算求参数值或取值范围【3-2】【2017课标II】设集合，若，则（ ）A B C D【答案】C【解析】由得，即是方程的根，所以，故选C【3-3】已知集合， ，且，若，则实数的取值范围是()A B C D【答案】D【解析】由于，所以，又因为B，所以有解得，故选D【领悟技法】1集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用2涉及集合（交、并、补）运算，不要遗忘了空集这个特殊的集合空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3有些集合是可以化简的，如果先化简再研究 其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决【触类旁通】【变式一】【2018河南洛阳三模】设集合，则的子集个数为（ ）A4 B8 C16 D32【答案】C【解析】分析：求出集合A，B，得到，可求的子集个数详解：， 的子集个数为 故选C【名师点睛】本题考查集合的运算以及子集的个数，属基础题【变式2】【2018福建三明一中二模】设全集，集合，则（ ）A B C D【答案】A【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合【易混易错】易错典例1：设集合，若，则的取值范围为_易错分析：忽视端点正确解析：由得，由得，又当时，满足，时，也满足，温馨提示：利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意易错典例2：设集合，若，则实数的取值范围是_易错分析：遗忘空集正确解析：由，所以当时，满足，此时不等式无解，所以，当即时，由可知，综上可知实数的取值范围是温馨提示：在中容易忽视集合这一情况，预防出现错误的方法是要注意分类讨论【学科素养提升之思想方法篇】化抽象为具体数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，使问题化难为易、化抽象为具体数形结合思想在集合中的应用具体体现在以下三个方面：（1）利用Venn图，直观地判断集合的包含或相等关系（2）利用Venn图，求解有限集合的交、并、补运算（3）借助数轴，分析无限集合的包含或相等关系或求解集合的交、并、补运算结果及所含参变量的取值范围问题【典例】已知集合，集合，且，则_，_【答案】1【解析】由题意，知，结合数轴（如图），得
展开阅读全文