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习题课 离散型随机变量的方差与标准差学习目标1.进一步理解离散型随机变量的方差的概念.2.熟练应用公式及性质求随机变量的方差.3.体会均值和方差在决策中的应用1方差、标准差的定义及方差的性质(1)方差及标准差的定义：设离散型随机变量X的概率分布为Xx1x2xixnPp1p2pipn方差V(X)(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn.(其中E(X)标准差为_(2)方差的性质：V(aXb)_.2两个常见分布的方差(1)两点分布：若X01分布，则V(X)_；(2)二项分布：若XB(n，p)，则V(X)_.类型一二项分布的方差问题例1一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是.(1)求这位司机遇到红灯数的均值与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30 s，求司机总共等待时间的均值与方差反思与感悟解决此类问题的第一步是判断随机变量服从什么分布，第二步代入相应的公式求解若它服从两点分布，则方差为p(1p)；若它服从二项发布，则方差为np(1p)跟踪训练1在某地举办的射击比赛中，规定每位射手射击10次，每次一发记分的规则为：击中目标一次得3分；未击中目标得0分；并且凡参赛的射手一律另加2分已知射手小李击中目标的概率为0.8，求小李在比赛中得分的均值与方差类型二均值、方差在决策中的应用例2某投资公司在2017年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率为和；项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由反思与感悟离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定跟踪训练2已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a，0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.记甲射中的环数为，乙射中的环数为.(1)求，的概率分布；(2)求，的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术1设一随机试验的结果只有A和，且P(A)m，令随机变量则的方差V()_.2已知随机变量XY8，若XB(10,0.6)，则E(Y)，V(Y)分别是_3已知随机变量的概率分布为01xPp若E()，则V()的值为_4有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X，Y，已知E(X)E(Y)，V(X)V(Y)，则自动包装机_的质量较好(填“甲”或“乙”)1已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数yaXb的均值和方差，可直接用X的均值，方差的性质求解，即E(aXb)aE(X)b，V(aXb)a2V(X)2若能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布，则可直接用它们的均值、方差公式计算3作为统计量，均值和方差本身无优劣，用均值和方差进行决策，一定要结合实际问题，只有理解了实际问题的本质，才能作出正确的决策答案精析知识梳理1(1)(2)a2V(X)2(1)p(1p)(2)np(1p)题型探究例1解(1)易知司机遇上红灯次数服从二项分布，且B(6，)，故E()62，V()6(1).(2)由已知30，故E()30E()60，V()900V()1 200.跟踪训练1解用表示小李击中目标的次数，表示他的得分，则由题意知B(10,0.8)，32.因为E()100.88，V()100.80.21.6，所以E()E(32)3E()238226，V()V(32)32V()91.614.4.例2解若按项目一投资，设获利X1万元，则X1的概率分布如下表：X1300150PE(X1)300(150)200.V(X1)(300200)2(150200)235 000，若按项目二投资，设获利X2万元，则X2的概率分布如下表：X25003000PE(X2)500(300)0200.V(X2)(500200)2(300200)2(0200)2140 000，E(X1)E(X2)，V(X1)V(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥综上所述，建议该投资公司选择项目一投资跟踪训练2解(1)依据题意知，0.53aa0.11，解得a0.1.乙射中10,9,8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，乙射中7环的概率为1(0.30.30.2)0.2.，的概率分布分别为10987P0.50.30.10.110987P0.30.30.20.2(2)结合(1)中，的概率分布，可得E()100.590.380.170.19.2，E()100.390.380.270.28.7，V()(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96，V()(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21.E()E()，说明甲平均射中的环数比乙高又V()V()，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定甲的射击技术好当堂训练1m(1m)2.2,2.43.4.乙
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