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问题33求圆锥曲线离心率或离心率范围一、考情分析离心率的范围问题是高考的热点问题,各种题型均有涉及,因联系的知识点较多,且处理的思路和方法比较灵活,关键在于如何找到不等关系式,从而得到关于离心率的不等式,进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难,本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳.二、经验分享离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法2.要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a，c的齐次式，进而求解.(2)要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征2c的运用三、知识拓展1.在求椭圆离心率范围时常用的不等关系：，（P为椭圆上一点） 2.在双曲线中，四、题型分析(一) 借助平面几何图形中的不等关系 根据平面图形的关系,如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系,然后将这些量结合曲线的几何性质用进行表示,进而得到不等式,从而确定离心率的范围.【例1】已知两定点和,动点在直线上移动,椭圆以为焦点且经过点,则椭圆的离心率的最大值为（ ）A B C. D【答案】A【解析】关于直线的对称点为,连接交直线于点,则椭圆的长轴长的最小值为,所以椭圆的离心率的最大值为,故选A.【点评】求解本题的关键是利用对称性求距离的最小值【小试牛刀】已知椭圆与圆,若在椭圆上存在点P,使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直,则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB,则两切线形成的角最小,若椭圆上存在点P令切线互相垂直,则只需,即,解得,即,而,即. (二) 借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件,如已知某些量的范围,存在点或直线使方程成立,的范围等,进一步得到离心率的不等关系式,从而求解.【例2】 已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点,若设且则椭圆离心率的取值范围是 .【答案】【解析】左焦点为.连结可得四边形是矩形,所以.所以又所以. .又因为,.所以.即.因为所以.所以.故填.【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式,然后借助已知条件利用三角函数的图象求解离心率的范围.【小试牛刀】【百校联盟2018届TOP202018届高三三月联考】已知平行四边形内接于椭圆，且， 斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意， 关于原点对称，设， ， ，故选A. (三) 借助函数的值域求解范围根据题设条件,如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式,通过确定函数的定义域后,利用函数求值域的方法求解离心率的范围.【例3】已知椭圆与双曲线有相同的焦点,则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A B C D【答案】A【解析】椭圆,双曲线, 由条件有,则,由,有,即,而,.【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系,得到函数关系式,进而根据m的范围,借助反比例函数求解离心率的范围.【小试牛刀】已知二次曲线,则当时,该曲线的离心率的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】由当时,二次曲线为双曲线,双曲线即为,且,则,即有,故选C. (四) 根据椭圆或双曲线自身的性质求范围在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质,如椭圆中,P是椭圆上任意一点,则等.【例4】设为椭圆的左、右焦点,且,若椭圆上存在点使得,则椭圆的离心率的最小值为（ ）A B C D【答案】D【解析】设,由圆锥曲线的共同特征可得,所以,即,所以,又,解得,所以离心率的最小值为,故选D【点评】为椭圆上的一点是本题的关键条件,根据圆锥曲线的共同特征把转化成基本量,与的关系式,结合椭圆的范围,即可得到的不等式,从而求出其最小值【小试牛刀】【天津市南开区2019届高三上数学期末】已知双曲线的左、右焦点分别为、，点M在双曲线的左支上，且，则此双曲线离心率的最大值为ABC2D【答案】A【分析】先由双曲线的定义得到，再由点M在双曲线左支上，即可得出结果.【解析】由双曲线的定义可得，根据点M在双曲线的左支上，可得，双曲线离心率的最大值为，故选A四、迁移运用1【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟】两正数的等差中项为，等比中项为，且，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】因为两正数的等差中项为，等比中项为，所以，解得或，因为，所以，所以.故选D2【江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考】设双曲线的右焦点为，过且斜率为1的直线与的右支相交不同的两点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】要使直线与双曲线的右支相交不同的两点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线即 ，所以 ，所以 ，故选A3【江西省高安中学2019届高三上学期期中】如图，点在以为焦点的双曲线上，过作轴的垂线，垂足为，若四边形为菱形，则该双曲线的离心率为（ ）A B2 C D【答案】C【解析】解：由题意得：四边形的边长为2c, 连接,由对称性可知, |=|=2c,则三角形为等边三角形.过点P作PHx轴于点H, 则=60，|=2c,在直角三角形中, |=, |=,则P(2c,), 连接, 则|=.由双曲线的定义知,2a=|-|=-2c=,所以双曲线的离心率为e=，故选C.4【宁夏银川一中2019届高三第一次模拟】双曲线和直线，若过的左焦点和点的直线与平行，则双曲线的离心率为 （ ）A B C D【答案】A【解析】过的左焦点和点的直线可写为：，即与平行 又 本题正确选项：5【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第五次模拟】如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）A B C D【答案】A【解析】设，则，根据双曲线的定义，得，即，解之得：；因为，所以三角形是以为直角的直角三角形，所以，因此；在三角形中，可得，因此，该双曲线的离心率为.故选A6【广东省韶关市2019届高三1月调研】设点为双曲线和圆的一个交点，若，其中为双曲线的两焦点，则双曲线的离心率为（ ）A2 B C D【答案】B【解析】圆是以原点为圆心，以为半径的圆，则，从而有，|M|c，c，由双曲线的定义得，得离心率为，故选：B.7【广东省华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考】设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线其中上存在点P，使线段的垂直平分线经过点，则椭圆离心率的取值范围是A B C D【答案】C【解析】由题意得 ， ，设点，则由中点公式可得线段的中点 ，线段的斜率与的斜率之积等于，即，或舍去，又椭圆的离心率 ，故，故选：C8【陕西省西安市西北工业大学附属中学2019届第一次适应性训练】设，是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若，且的最小内角为，则C的离心率为A B C D【答案】C【解析】解：因为、是双曲线的两个焦点，是双曲线上一点，且满足，不妨设是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知所以，,为最小边,的最小内角，根据余弦定理，即，所以故选：C9【北京市丰台区2019届高三上学期期末】已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为A2 B C D【答案】D【解析】易知抛物线的焦点（2，0），准线x=-2，即椭圆的c=2，因为抛物线的准线恰好过椭圆的焦点，即相交的线段为椭圆的通径；即通径为 ，又因为c=2解得a=4所以离心率 故选D.10【四川省绵阳市2019上学期期末】若双曲线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】由得的渐近线方程为，由得的渐近线方程为，因为双曲线与双曲线有公共点，所以只需，即，即，即，解得.故选C11【河北省武邑中学2019届高三下学期第一次质检】已知直线与双曲线 的斜率为正的渐近线交于点，曲线的左、右焦点分别为，若，则双曲线的离心率为（ ）A4或BCD【答案】D【解析】由渐近线方程与直线求出点A的坐标为,过A点作轴于点B，则 由已知可得 当时，则故舍去，综上故选D12【贵州省贵阳市普通中学2019届高三年级第一学期期末】已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是ABCD【答案】D【解析】双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，是钝角三角形，是钝角，即有，为左焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，即，由，可得，解得或，舍去，则双曲线的离心率的范围是故选：D13【山东省临沂市2019届高三2月教学质量检测】点A、B分别为椭圆的左、右顶点，F为右焦点，C为短轴上不同于原点O的一点，D为OC的中点，直线AD与BC交于点M，且MFAB，则该椭圆的离心率为A B C D【答案】B【解析】由题意如图：MFAB，且OCAB，MFOC，同理MFOD，得到：=,2（ac）c+a，a3c，e故选：B14【吉林省长春市2019届高三质量监测（二)】已知双曲线的左、右焦点分别为，过且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和轴相交于，两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）A B C2 D【答案】B【解析】由题意，取双曲线的一条渐近线，即，则过右焦点与渐近线垂直的直线方程为，即，又由焦点到渐近线的距离为，又由，所以，即，又由原点到的距离为，在直角中，由射影定理得，即，又由，整理得，所以，故选B.15【2019年四川省达州市一诊】已知椭圆的左右焦点分别为、，抛物线与椭圆C在第一象限的交点为P，若，则椭圆C的离心率为A B或C D或【答案】D【解析】作抛物线的准线l，则直线l过点，过点P作PE垂直于直线l，垂足为点E，由抛物线的定义知，易知，轴，则，设，则，由椭圆定义可知，在中，由余弦定理可得，整理得，解得或当时，；当时，离心率为综上所述，椭圆C的离心率为或故选：D16【山西省吕梁市2019届高三上学期第一次模拟】已知椭圆：，过左焦点作斜率为1的直线与交于，两点，若线段的中垂线与轴交于（为椭圆的半焦距），则椭圆的离心率为（ ）A B C D【答案】B【解析】设，则中点.直线的方程为，与椭圆联立得，所以.可得.所以，因为，即，所以，故选B.17【浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届高三第一次联考】已知，是椭圆与的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且满足，则该椭圆的离心率是 A B C D【答案】B【解析】由题意可得：，可得，,可得，可得故选B18【山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟】已知椭圆的左右焦点分别为，为坐标原点，为椭圆上一点，且，直线交轴于点，若，则该椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】结合题意，可知，故，结合，可知故，设，所以，所以，故选D。19【江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考】已知点O为双曲线C的对称中心，直线交于点O且相互垂直，与C交于点，与C交于点，若使得成立的直线有且只有一对，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】设双曲线方程为；所以渐近线方程为因为直线交于点O且相互垂直，与双曲线C交于点，与C交于点，且使得成立的直线有且只有一对，所以可得，所以，即，所以.故选D20【湖南省郴州市2018届高三第二次教学质量检测】设椭圆 ()的一个焦点点为椭圆内一点,若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】记椭圆的左焦点为，则 ，即， ， ，即，即 ，椭圆的离心率的取值范围是，故选A.21【广东省珠海一中等六校2018届高三第三次联考】已知点为双曲线的右焦点，直线y=kx(k0)与交于两点，若,设,且，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】在，OF=c，故选D22【广东省六校2018届高三下学期第三次联考】已知点为双曲线的右焦点，直线y=kx(k0)与交于，两点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围是A. B. 2,3+1 C. D. 【答案】D【解析】如图，设双曲线的左焦点为F鈥?/，连由于四边形F鈥?/NFM为矩形，故在中，由双曲线的定义可得，即双曲线的离心率的取值范围是选D23【浙江省镇海中学2018届高三上学期期末】已知点P在以为左右焦点的椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)上，椭圆内一点Q在的延长线上，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（ ）A. (15,53) B. C. D. (2626,22)【答案】C【解析】满足QF1QP，点Q与点F2重合时，sinF1PQ=，不妨设|PF1|=13，则|PF2|=12可得：e=因此e当点Q在最下端时，F1QF2最大，此时F1QF2Q可得点Q在椭圆的内部，当b=c，e=，因此综上可得：故选C24【福建省宁德市2018届高三上学期期末】已知、分别是椭圆： 的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 、分别是椭圆： 的左、右焦点，若椭圆上存在点， ， ， ，当点为右顶点时，可取等号，故选D.25.F1、F2是椭圆1(ab0)的左、右焦点,若椭圆上存在点P,使F1PF290,则椭圆的离心率的取值范围是_【答案】e1【解析】设P(x0,y0)为椭圆上一点,则1. (cx0,y0),(cx0,y0),若F1PF290,则xyc20.xb2(1)c2,x.0xa2,01.b2c2,a22c2,e1.26.已知P是椭圆和双曲线的一个交点,是椭圆和双曲线的公共焦点,分别为椭圆和双曲线的离心率,则的最大值为 【答案】【解析】根据椭圆和双曲线的定义得：,设,由余弦定理得,化简得,变形得,所以27.在平面直角坐标系中,已知点及直线,曲线是满足下列两个条件的动点的轨迹：其中是到直线的距离；(1) 求曲线的方程;(2) 若存在直线与曲线、椭圆均相切于同一点,求椭圆离心率的取值范围.【解析】（1）, 由得：,即 将代入得：,解得： 所以曲线的方程为： （2）(解法一)由题意,直线与曲线相切,设切点为, 则直线的方程为,即 将代入椭圆 的方程,并整理得：由题意,直线与椭圆相切于点,则,即 又 即 联解得： 由及得故, 得又故所以椭圆离心率的取值范围是 28.椭圆1(ab0)与直线xy1交于P、Q两点,且OPOQ,其中O为坐标原点(1)求的值；(2)若椭圆的离心率e满足e,求椭圆长轴的取值范围【解析】(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由OPOQx1x2y1y20,y11x1,y21x2,代入上式,得2x1x2(x1x2)10.又将y1x代入1(a2b2)x22a2xa2(1b2)0.0,x1x2,x1x2,代入化简得2.(2)e21,1 .又由(1)知b2, a2a.长轴是2a,
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