2019-2020学年高中数学上学期第6周 空间向量及其加减运算教学设计.doc

2019-2020学年高中数学上学期第6周 空间向量及其加减运算教学设计教学内容分析：本小节类比平面向量引入了空间向量的概念、表示、相同或相等关系、加减运算及其运算律等内容。学情分析：学生已学习平面向量，具有一定的知识基础和学习经验教学目标 、知识与技能：）理解空间向量的概念，掌握其表示方法；）会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；）能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题、过程与方法：通过类别的的学习方法学习空间向量的线性运算、情感、态度与价值观：通过在掌握知识的同时，体验发现数学的乐趣，从而激发学生学习的积极性教学重点与难点重点：空间向量的有关概念及线性运算法则难点：空间向量的有关概念及线性运算法则教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。教学方法： 分析法，讨论法，归纳法教学过程：一.复习引入1、平面向量的有关概念：在必修四第二章平面向量中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？既有大小又有方向的量叫向量向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a、b等表示；用有向线段的起点与终点字母：数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下长度相等且方向相同的向量叫相等向量.2、平面向量的加减法则及运算律：1）向量的加法：2）向量的减法：3）向量加法的运算律加法交换律：abba加法结合律：(ab)ca（bc）二、新课探究：1、空间向量的有关概念：1)、定义：把空间中具有大小和方向的量叫做向量2）、空间向量的模长：向量的大小叫做向量的长度或模3）、零向量：4)、单位向量：5）、相反向量：6）、相等向量：（以上知识点由学生类比平面向量的知识点共同完成）2、空间向量的加减法：向量在空间中是可以平移的空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示因此我们说空间任意两个向量是共面的=a+b，（指向被减向量），3、空间向量加法与数乘向量有如下运算律：加法交换律：a + b = b + a；加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（课件验证）空间向量加法的运算律要注意以下几点：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立4、例题赏析：例1：已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广2：在如图所示的平行六面体中，求证：三、课堂小结：师生共同回忆本节的学习内容1)、空间向量的有关概念 2)、空间向量的加减法则及运算律；四、作业布置：优化探究 五、板书设计:空间向量的定义：空间向量的加减法则：空间向量的运算律：例1：例:2：课后反思： 3.1.2 空间向量的数乘运算教学内容分析：本小节类比平面向量的数乘运算引入空间向量的数乘运算以及数乘运算的分配律和结合律，进而分别给出空间向量共线和共面的定义，并进一步研究了空间向量共线和共面的问题。学情分析：学生在掌握了空间向量加法运算的基础上，学习空间向量的数乘运算应无困难教学目标 、知识与技能：）了解共线向量的概念、向量与平面平行的意义，掌握他们的表示方法；）会用以上知识解决立体几何中有关的简单问题、过程与方法：通过空间向量平行、共面的得出过程，体会由特殊到一般，由低维到高维的思维过程、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，培养学生的理性思维能力教学重点与难点重点：空间向量共线和共面的条件难点：对定理条件的理解与应用教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。教学方法： 分析法，讨论法，归纳法教学过程：一.复习引入1、空间向量的加减法及运算律：2、平面向量的数乘运算：平面内,实数与向量的乘积仍然是一个向量.当时,与向量的方向相同;当时,与向量的方向相反;当时,是零向量.（以上由学生思考完成）二、新课探究：（一）、空间向量的数乘运算及运算律：1、空间向量的数乘运算：与平面向量一样,实数与空间向量的乘积仍然是一个向量.当时,与向量的方向相同;当时,与向量的方向相反;当时,是零向量.2、空间向量的数乘运算律：加分配律： 结合律：例题赏析：例1：已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： ； （二）、共线向量及其定理：1共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：平行于，记作：注意：1）、共线向量的方向相同或相反；2）、O与任何向量a都是共线向量；3）、共线向量不具有传递性思考：对空间任意两个向量与,如果,那么与有什么关系?反过来呢?2共线向量定理：对空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使（唯一）推论：如果为经过已知点，且平行于已知向量的直线，那么对任一点，点在直线上的充要条件是存在实数，满足等式，其中向量叫做直线的方向向量。在上取，则式可化为或当时，点是线段的中点，此时和都叫空间直线的向量参数方程，是线段的中点公式（三）、共面向量及其定理：1、共面向量概念：已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的思考：对于空间任意两个不共线的向量a，b，如果p=xa+yb，那么向量p与向量a,b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a,b有什么位置关系时，p=xa+yb2、共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使3、共面向量定理推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有上面式叫做平面的向量表达式【练习】：对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式 （其中）的四点是否共面？解：，点与点共面例2已知，从平面外一点引向量，（1）求证：四点共面；（2）平面平面解：（1）四边形是平行四边形，共面；（2），又，所以，平面平面三、课堂小结：师生共同回忆本节的学习内容1)、共线向量概念、定理、推论；2)、共面向量概念、定理、推论；四、作业布置：优化探究 五、板书设计:空间向量的数乘运算共线向量的定义：共线向量定理：共线向量定理推论：共面向量的定义：共面向量定理：共面向量定理推论：例:2：课后反思： 3.1.3 空间向量的数量积运算教学内容分析： 本课是在平面向量的夹角和向量长度概念的基础上，引入空间向量的夹角、长度的概念和方法，介绍了空间向量的数量积的概念和计算方法、运算律，并举例说明用向量解决立体几何中直线和平面垂直、直线和直线垂直、两点间的距离或线段长度等问题的基本方法学情分析： 学生已学习平面向量的数量积，具有一定的知识基础和学习方法教学目标 、知识与技能： 1）、掌握空间向量的数量积概念，性质和计算方法及运算规律； 2）、掌握空间向量夹角的概念及表示方法； 3）、利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题、过程与方法：经历概念的形成过程，解题的思维过程，体验数形结合思想的指导作用；、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，体验创造的激情，培养学生发现、提出、解决问题的能力教学重点与难点重点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。教学方法： 分析法，讨论法，归纳法教学过程：一.复习引入复习：空间向量基本定理及其推论；二、新课探究：1空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：；2向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：；3向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影；可以证明的长度4空间向量数量积的性质： （1）（2）（3）5空间向量数量积运算律：（1）（2）（交换律）（3）（分配律）思考：空间向量的数量积是否满足结合律？6、例题赏析：空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系, 证两直线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量的数量积为零例1已知:如图,分别是平面的垂线、斜线，是在平面内的射影，且，求证：例2、用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面的交点为，且求证：例3： 如图，已知线段AB在平面内，线段AC，线段BDAB，线段DD1，DBD1=300，如果AB=a，AC=BD=b，求C、D之间的距离。例4已知在平行六面体中，AB=4, AD=3，AA1=5, BAD=900，BAA1=DAA1=600，求：对角线AC1的长。例5.已知线段AB、BD在平面内，BDAB，线段AC,，如果，求C、D之间的距离.三、课堂小结：师生共同回忆本节的学习内容1)、空间向量的夹角的概念；2)、空间向量数量积的概念；3）、空间向量数量积的性质；四、作业布置：校内作业本 五、板书设计:空间向量的夹角空间向量数量积的定义：空间向量数量积的性质：空间向量数量积的运算律：例1：例2：例3：例4：例5：课后反思： 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学内容分析： 本节首先介绍了空间向量的正交分解，接下来，类比平面向量基本定理，给出空间向量基本定理，在此基础上，通过空间向量的单位正交分解，完成了从单位正交分解到空间直角坐标系的转换，最后举例说明用空间三个不共面向量表示给定向量的方法学情分析： 学生已学习平面向量的正交分解，能准确表示平面向量，具有一定的知识基础和学习方法教学目标 、知识与技能： 1）、掌握空间向量基本定理； 2）、掌握空间向量的正交分解；、过程与方法：经历用向量解决某些问题，体会向量是一种处理几何问题的工具；、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，体验创造的激情，培养学生发现、提出、解决问题的能力教学重点与难点重点：空间数量积的正交分解及空间向量基本定理难点：理解空间向量基本定理教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。教学方法： 分析法，讨论法，归纳法教学过程：一.复习引入1共线向量定理：对空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使推论：如果为经过已知点，且平行于已知向量的直线，那么对任一点，点在直线上的充要条件是存在实数，满足等式，其中向量叫做直线的方向向量2、共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使共面向量定理推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有上面式叫做平面的向量表达式3、平面向量基本定理：4、平面向量的正交分解：其中，二、新课探究：1. 类比：由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量，均可分解为不共线的两个向量和，使. 如果时，这种分解就是平面向量的正交分解. 如果取为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量，则存在一对实数x、y，使得，即得到平面向量的坐标表示.推广到空间向量，结论会如何呢？(1)空间向量的正交分解：对空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、，使. 如果两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解. (2)空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得. 把叫做空间的一个基底（base），都叫做基向量. 2. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用i,j,k表示单位三个基向量的长度都为1；正交三个基向量互相垂直选取空间一点O和一个单位正交基底i,j,k，以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条坐标轴：x轴、y轴、z轴，得到空间直角坐标系O-xyz，3. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使aijk4、例题赏析：QBOACPNM例4：已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量，表示向量,.（学生独立思考，然后讲解，板演解题过程）练习：1、在四边形OABC中，G，H分别是ABC，OBC的重心，设试用abc表示向量2、已知向量a，b，c是空间的一个基底求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底3、在空间坐标系o-xyz中， (分别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)则的坐标为 ，点B的坐标为 。4、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投影的坐标分别为 ，关于原点的对称点为 ，关于轴的对称点为 ，三、课堂小结：师生共同回忆本节的学习内容1)、空间向量的正交分解；2)、空间向量基本定理；3）、空间向量直角坐标系；四、作业布置：校内作业本五、板书设计:空间向量的正交分解空间向量基本定理：空间向量直角坐标系：例4：练习：课后反思： 3.1.5 空间向量运算的坐标表示教学内容分析： 本节主要内容是：空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示，平行向量、垂直向量坐标之间的关系，向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间的距离公式学情分析： 学生能进行平面向量的坐标运算，加法、减法、数量积，空间向量具有类似的运算法则教学目标 、知识与技能：1）、掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题；2）、熟练运用空间向量的坐标运算规律；、过程与方法：经历用向量解决某些问题，体会向量是一种处理几何问题的工具；、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，体验创造的激情，培养学生发现、提出、解决问题的能力教学重点与难点重点：空间向量运算坐标表示的应用难点：空间向量运算坐标表示的应用教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。教学方法： 分析法，讨论法，归纳法教学过程：一.复习引入1. 向量的直角坐标运算法则：设a，b，则ab；ab；a；ab二、新课探究：1、向量的直角坐标运算法则：设a，b，则ab；ab；a；ab2、 向量的模：设a，b，求这两个向量的模.a，b这两个式子我们称为向量的长度公式这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度3、 夹角公式推导：ab|a|b|cosa,bcosa,b由此可以得出：cosa,b这个公式成为两个向量的夹角公式利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：当cosa、b1时，a与b同向；当cosa、b1时，a与b反向；当cosa、b0时，ab4、 两点间距离共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点，则，其中表示A与B两点间的距离5、共线与垂直：，6、课堂练习：1.求下列两点间的距离：（1）、 （2）、2.求下列两个向量的夹角的余弦：(1)、 （2）、3、在RtABC中，BAC=900，A(2，1，1),B(1，1，2),C(x,0,1)，则x= 4已知A(3，3，1)、B(1，0，5)，求：线段AB的中点坐标和长度；7、例题赏析：例1：如图, 在正方体,中，求与所成的角的余弦值.例2如图，正方体中，分别是，中点，求证：例3：如图，正方体中，E,F是BB1，CD的中点，求证：D1F平面ADE（学生总结解题的方法）思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。三、课堂小结：师生共同回忆本节的学习内容1)、空间向量运算法则及几个公式；2)、解题的思路；4、 作业布置：校内作业本5、 五、板书设计:空间向量的运算法则空间向量的几个公式：课堂练习：例1：例2：例3：课后反思：