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3.4.3应用举例学习目标1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型知识链接1数学模型是什么？建立数学模型的方法是什么？答简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述数学模型的方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法2上述的数学模型建立的一般程序是什么？答解决问题的一般程序是：1审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型；3求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4还原：把数学结论还原为实际问题的解答预习导引1三角函数的周期性yAsin(x) (0)的周期是T；yAcos(x) (0)的周期是T；yAtan(x) (0)的周期是T.2函数yAsin(x)k (A0，0)的性质(1)ymaxAk，yminAk.(2)A，k.(3)可由确定，其中周期T可观察图象获得(4)由x10，x2，x3，x4，x52中的一个确定的值3三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测等方面都发挥着十分重要的作用.要点一三角函数图象的应用例1作出函数y|cosx|，xR的图象，判断它的奇偶性并写出其周期和单调区间解y|cosx|作出函数ycosx的图象后，将x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，如图由图可知，y|cosx|是偶函数，T，单调递增区间为(kZ)，单调递减区间为(kZ)规律方法翻折法作函数图象(1)要得到y|f(x)|的图象，只需将yf(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，即“下翻上”(2)要得到yf(|x|)的图象，只需将yf(x)的图象在y轴右边的部分沿y轴翻折到左边，即“右翻左”，同时保留右边的部分跟踪演练1作出函数ysin|x|的图象并判断其奇偶性解sin(x)sinx，ysin|x|其图象如下图由图知，ysin|x|是偶函数要点二应用函数模型解题例2已知电流I与时间t的关系为IAsin(t)(1)如图所示的是IAsin(t)(0，|)在一个周期内的图象，根据图中数据求IAsin(t)的解析式；(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流IAsin(t)都能取得最大值和最小值，那么的最小正整数值是多少？解(1)由图知A300，设t1，t2，则周期T2(t2t1)2.150.又当t时，I0，即sin0，而|0)，300942，又N*，故所求最小正整数943.规律方法例题中的函数模型已经给出，观察图象和利用待定系数法可以求出解析式中的未知参数，从而确定函数解析式此类问题解题关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径跟踪演练2弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t(s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)由下面的函数关系式表示：h3sin.(1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间；(3)经过多长时间小球往返振动一次？(4)每秒内小球能往返振动多少次？解(1)令t0，得h3sin，所以开始振动的位置为平衡位置上方cm处(2)由题意知，当h3时，t，即3s时第一次升到最高点；当h3时，t，即s时第一次下降到最低点(3)T3.14，即每经过约3.14秒小球往返振动一次(4)f0.318，即每秒内小球往返振动约0.318次要点三构建函数模型解题例3某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0t24，单位：小时)而周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：t(时)03691215182124y(米)1.01.41.00.61.01.40.90.51.0(1)试在图中描出所给点；(2)观察图，从yatb，yAsin(t)b，yAcos(t)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间解(1)描出所给点如图所示：(2)由(1)知选择yAsin(t)b较合适令A0，0，|0，0，|0，0，|)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为()Af(x)2sin7(1x12，xN)Bf(x)9sin(1x12，xN)Cf(x)2sinx7(1x12，xN)Df(x)2sin7(1x12，xN)答案A解析令x3，可排除D，令x7，可排除B，由A2，可排除C.或由题意，可得A2，b7，周期T2(73)8，.于是f(x)2sin7，再代入点(3,9)，结合的范围可求得.5函数y2sin的最小正周期在内，则正整数m的值是_答案26,27,28解析T，又，8m1，排除B；当x2时，y2，排除D.9已知某种交流电电流I(A)随时间t(秒)的变化规律可以用函数I5sin表示，t0，)，则这种交流电电流在0.5秒内往复运行_次答案25解析周期T(秒)，从而频率为每秒50次，0.5秒往复运行25次10电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数IAsin(t)的图象如图所示，则t秒时的电流强度为_答案0解析根据图象得A10，由，I10sin.当t秒时，I10sin60.11某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d_，其中t0,60答案10sin解析将解析式可写为dAsin(t)的形式，由题意易知A10，当t0时，d0，得0；当t30时，d10，可得，所以d10sin.12如图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？解(1)如图所示建立直角坐标系，设角是以Ox为始边，OP0为终边的角OP每秒钟内所转过的角为.则OP在时间t(s)内所转过的角为t.由题意可知水轮逆时针转动，得z4sin2.当t0时，z0，得sin，即.故所求的函数关系式为z4sin2.(2)令z4sin26，得sin1，令t，得t4，故点P第一次到达最高点大约需要4s.三、探究与创新13已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0t24，单位：小时)的函数，记作：yf(t)，下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，yf(t)的曲线可近似地看成是函数yAcostb.(1)根据以上数据，求函数yAcostb的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？解(1)由表中数据知周期T12，由t0，y1.5，得Ab1.5.由t3，y1.0，得b1.0.A0.5，b1，ycost1.(2)由题知，当y1时才可对冲浪者开放cost11，cost0，2kt2k，kZ即12k3t12k3，kZ.0t24，故可令中k分别为0,1,2，得0t3或9t15或21t24.在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午3：00.
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