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第3章 概率章末检测(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1.下列说法正确的是_(填序号).抛掷一枚骰子10次，其中数字6向上的出现了5次，那么抛掷一枚骰子数字6向上的概率约为0.5；某地在30天内下雨15天，那么某地每天下雨的概率约为0.5；进行10 000次抛掷硬币试验，出现5 021次正面向上，那么抛掷一枚硬币正面向上的概率约为0.5；某人买了2张体育彩票，其中1张体育彩票中奖，那么购买1张体育彩票中奖的概率约为0.5.解析本题容易将频率与概率混为一谈，事实上，只有进行了大量重复试验，其余三个都是事件的频率.答案2.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：分组1.5,3.5)3.5,5.5)5.5,7.5)7.5,9.5)9.5,11.5频数614162010根据样本的频率分布估计数据落在5.5,9.5)内的概率约是_.解析根据数据分组，数据落在5.5,9.5)内的频率为，用频率估计概率，所以数据落在5.5,9.5)内的概率约是.答案3.某小组有三名女生两名男生，现从这个小组中任意选出一名当组长，则其中一名女生小丽当选为组长的概率是_.解析共有事件5个，小丽当选为组长的事件有1个，即概率P.答案4.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是_.解析基本事件有(甲、乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共有3个，甲被选中的事件有(甲、乙)，(甲，丙)，共2个，故P.答案5.已知一个袋中装有5个大小相同的黑球和红球，从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是，则从中任意摸出2个球，得到都是黑球的概率为_.解析由题意可知袋中装有黑球2个，从袋中5个球任意摸出2个球，共有10种，两次取出的球都是黑球的事件有1种，故P.答案6.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是_.解析从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，共有6种选法.红色和紫色的花不在同一花坛的有4种选法，根据古典概型的概率计算公式，所求的概率为.答案7.将一颗质地均匀的骰子(各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是_.解析基本事件共有36个如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，其中满足点数之和小于10的有30个，故所求概率为P.答案8.已知一枚骰子的两面刻有数字1，两面刻有数字2，另两面刻有数字3，现将骰子连续抛掷3次，则三次的点数和为3的倍数的概率为_.解析将骰子连续抛掷3次的基本事件总数为33327种，其中三次的点数和为3的倍数(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)共9种，故所求的概率为.答案9.从一副混合后的扑克牌(52张，除去大小王)中随机抽取1张，记事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则P(AB)_(用分数表示).解析由题意，易知事件A、B互斥，且P(A)，P(B)，所以P(AB)P(A)P(B).答案10.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A、B、C、D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，给出下列说法：AB与C是互斥事件，也是对立事件；BC与D是互斥事件，也是对立事件；AC与BD是互斥事件，但不是对立事件；A与BCD是互斥事件，也是对立事件.其中正确的说法是_.(填序号)解析根据互斥事件、对立事件的概念进行辨析.由题意P(AB)P(C)P(A)P(B)P(C)0.20.20.30.71，所以AB与C不是对立事件，不正确；同理，不正确；对于，易知AC与BD是互斥事件，且P(AC)P(A)P(C)0.20.30.5，同理P(BD)0.5，且P(AC)P(BD)0.50.51，所以AC与BD也是对立事件，因此不正确；对于，A与BCD是互斥事件，且P(BCD)P(B)P(C)P(D)0.20.30.30.8，P(A)P(BCD)0.20.81，所以A与BCD也是对立事件，因此正确；综上所述，正确的说法只有.答案11.某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2xy1上的概率为_.解析落在2xy1上的点有(1，1)，(2，3)，(3，5)共3个，故所求的概率为P.答案12.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为_.解析20组随机数中，恰有两次命中的有5组，因此该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P.答案13.把一个体积为27 cm3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm3的27个小正方体.现从中任取一块，则至少有一面涂有红漆的概率为_.解析锯成27个小正方体后，只有中间的一小块没有红漆，其余26小块都有红漆，所以这一块至少有一面涂有红漆的概率为.答案14.在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目.若选到女同学的概率为，则这班参加聚会的同学的人数为_.解析设女同学有x人，则该班到会的共有(2x6)人，所以，得x12，故该班参加聚会的同学有18人.答案18二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分14分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率.解(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取两道题的基本事件为1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,3，2,4，2,5，2,6，3,4，3,5，3,6，4,5，4,6，5,6，共15个，且这些基本事件的出现是等可能的，用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6个，所以P(A).(2)基本事件同(1)，用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有1,5，1,6，2,5，2,6，3,5，3,6，4,5，4,6，共8个，所以P(B).16.(本小题满分14分)甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则乙胜.你认为此游戏是否公平，说明你的理由.解(1)甲乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4表示)为(2,3)、(2,4)、(2,4)、(3,2)，(3,4)，(3,4)，(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4，2)、(4，3)、(4，4)，共12种不同情况.(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是4,4.因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为.(3)由甲抽到的牌比乙大的有(3,2)、(4,2)、(4,3)、(4，2)、(4，3)共5种，即甲胜的概率P1，乙获胜的概率P2.又，则此游戏不公平.17.(本小题满分14分)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.解(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：501，1503，1002.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2.(2)从6件样品中抽取2件商品的基本事件数为15，每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件数为314，所以P(D).故这2件商品来自相同地区的概率为.18.(本小题满分16分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个.已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“ab2”，求事件A的概率.解(1)由题意可知，解得n2.(2)不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事件A包含的基本事件为(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个.P(A).19.(本小题满分16分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.解(1)将标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E.从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种.由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种.所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.(2)将标号为0的绿色卡片记为F.从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种.由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种.所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.20.(本小题满分16分)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数012345频数605030302010(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值.解(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2，由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为0.55，故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4，由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为0.3，故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
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