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专题10 导数的应用一、考纲要求:1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)；3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；4.会利用导数解决某些简单的实际问题二、概念掌握及解题上的注意点：1在某区间内f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件2可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零3对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件4.用导数证明函数fx在（a,b）内的单调性的步骤一求：求f(x)；二定：确定f(x)在(a，b)内的符号；三结论：作出结论：f(x)0时为增函数；f(x)0时为减函数.5.研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.(1）讨论分以下四个方面二次项系数讨论，根的有无讨论，根的大小讨论，根在不在定义域内讨论.(2）讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分点.(3）讨论完必须写综述.6.利用导数研究函数极值问题的一般流程7已知函数极值点和极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值列方程组，利用待定系数法求解(2)验证：因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性三、高考题例分析例1（2018新课标）已知函数f（x）=x+alnx（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：a2当a0时，判别式=a24，当0a4时，0，即g（x）0，即f（x）0恒成立，此时函数f（x）在（0，+）上是减函数，当a2时，x，f（x），f（x）的变化如下表： x （0，） （，） （，+） f（x） 0+ 0 f（x） 递减 递增递减综上当a2时，f（x）在（0，+）上是减函数，当a2时，在（0，），和（，+）上是减函数，则（，）上是增函数设h（x）=2lnxx+，（0x1），其中h（1）=0，求导得h（x）=1=0，则h（x）在（0，1）上单调递减，h（x）h（1），即2lnxx+0，故2lnxx，则a2成立例2（2018新课标）已知函数f（x）=exax2（1）若a=1，证明：当x0时，f（x）1；（2）若f（x）在（0，+）只有一个零点，求a【解答】证明：（1）当a=1时，函数f（x）=exx2则f（x）=ex2x，令g（x）=ex2x，则g（x）=ex2，令g（x）=0，得x=ln2当（0，ln2）时，h（x）0，当（ln2，+）时，h（x）0，h（x）h（ln2）=eln22ln2=22ln20，f（x）在0，+）单调递增，f（x）f（0）=1，例3（2018新课标）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）2x（1）若a=0，证明：当1x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0；（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a【解答】（1）证明：当a=0时，f（x）=（2+x）ln（1+x）2x，（x1），可得x（1，0）时，f（x）0，x（0，+）时，f（x）0f（x）在（1，0）递减，在（0，+）递增，f（x）f（0）=0，f（x）=（2+x）ln（1+x）2x在（1，+）上单调递增，又f（0）=0当1x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0（2）解：由f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）2x，得f（x）=（1+2ax）ln（1+x）+2=，令h（x）=ax2x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），h（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）当a0，x0时，h（x）0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，故x=0不是f（x）的极大值点，不符合题意当a0时，h（x）=8a+4aln（x+1）+，显然h（x）单调递减，若a0，则h（0）=1+6a0，h（e1）=（2a1）（1e）0，h（x）=0在（0，+）上有唯一一个零点，设为x0，当0xx0时，h（x）0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即f（x）0，导数应用练习一、选择题1函数f(x)exx的单调递增区间是()A(，1B1，)C(，0D0，)D解析：f(x)exx，f(x)ex1，令f(x)0，得ex10，即x0，故f(x)的单调递增区间是0，)2已知函数f(x)x3ax4，则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A解析：f(x)x2a，当a0时，f(x)0恒成立，故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件3若幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)exf(x)的单调递减区间为() A(，0)B(，2)C(2，1)D(2,0)4已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如图2112所示，则该函数的图象是()图2112B解析：由yf(x)的图象知，yf(x)在1,1上为增函数，且在区间1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1上增长速度越来越慢5(2017安徽二模)已知f(x)，则()Af(2)f(e)f(3)Bf(3)f(e)f(2)Cf(3)f(2)f(e)Df(e)f(3)f(2)6下列函数中，既是奇函数又存在极值的是()Ayx3Byln(x)CyxexDyxD解析：由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数，A选项中，函数yx3单调递增(无极值)，而D选项中的函数既为奇函数又存在极值7(2016四川高考)已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a()A4B2C4D2D解析：由题意得f(x)3x212，令f(x)0得x2，当x2时，f(x)0；当2x2时，f(x)0，f(x)在(，2)上为增函数，在(2,2)上为减函数，在(2，)上为增函数f(x)在x2处取得极小值，a2.8函数f(x)x2ln x的最小值为() AB1C0D不存在A解析：f(x)x且x0.令f(x)0，得x1.令f(x)0，得0x1.f(x)在x1处取得极小值也是最小值，f(1)ln 1.9已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A(1,2)B(，3)(6，)C(3,6)D(，1)(2，)B解析：f(x)3x22ax(a6)，由已知可得f(x)0有两个不相等的实根，4a243(a6)0，即a23a180，a6或a3.10(2018山东省实验中学诊断)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)xf(x)0，则()A3f(1)f(3)B3f(1)f(3)C3f(1)f(3)Df(1)f(3)B解析：由于f(x)xf(x)，则0恒成立，因此在R上是单调递减函数，即3f(1)f(3)11函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf，cf(3)，则()AabcBcbaCcabDbca12(2017安徽江淮十校第三次联考)设函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是()A1a2Ba4Ca2D0a3A解析：易知函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)x，由f(x)x0，解得0x3.因为函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，所以解得1a2，选A二、填空题13若函数f(x)x3x22ax在上存在单调递增区间，则a的取值范围是_. 14若函数f(x)2x33mx26x在区间(2，)上为增函数，则实数m的取值范围为_. 解析：f(x)6x26mx6，当x(2，)时，f(x)0恒成立，即x2mx10恒成立，mx恒成立令g(x)x，g(x)1，当x2时，g(x)0，即g(x)在(2，)上单调递增，m2.15.设函数f(x)则f(x)的最大值为_2解析：当x0时，f(x)2x0；当x0时，f(x)3x233(x1)(x1)，当x1时，f(x)0，f(x)是增函数，当1x0时，f(x)0，f(x)是减函数，f(x)f(1)2，f(x)的最大值为2.16.已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是_. (，2)三、解答题17已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间解(1)对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx，得f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，则f(x)，令f(x)0，解得x1或x5.因x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x(5，)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数所以f(x)的单调减区间为(0,5)，单调增区间为(5，)18已知函数f(x)x3ax2b(a，bR)(1)要使f(x)在(0,2)上单调递增，试求a的取值范围；(2)当a0时，若函数满足f(x)max1，f(x)min3，试求yf(x)的解析式解(1)f(x)3x22ax.依题意f(x)0在(0,2)上恒成立，即2ax3x2.x0，2a3x，2a6，a3，即a的取值范围是3，)f(x)x33x21.19.已知函数f(x)exaxa(aR且a0)(1)若f(0)2，求实数a的值，并求此时f(x)在2,1上的最小值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围解(1)由f(0)1a2，得a1.易知f(x)在2,0)上单调递减，在(0,1上单调递增，所以当x0时，f(x)在2,1上取得最小值2.(2)f(x)exa，由于ex0.当a0时，f(x)0，f(x)是增函数，当x1时，f(x)exa(x1)0.当x0时，取x，则f1aa0.所以函数f(x)存在零点，不满足题意当a0时，f(x)exa，令f(x)0，得xln(a)在(，ln(a)上，f(x)0，f(x)单调递减，在(ln(a)，)上，f(x)0，f(x)单调递增，所以当xln(a)时，f(x)取最小值函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得e2a0.综上所述，所求实数a的取值范围是e2a0.20设函数f(x)ln(xa)x2. (1)若当x1时，f(x)取得极值，求a的值，并求f(x)的单调区间；(2)若f(x)存在极值，求a的取值范围解(1)f(x)2x，依题意，有f(1)0，故a.从而f(x)，且f(x)的定义域为，当x1时，f(x)0；当1x时，f(x)0；当x时，f(x)0.f(x)在区间，上单调递增，在上单调递减21已知函数f(x)x2aln x.(1)当a2时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)若函数g(x)f(x)在1，)上单调，求实数a的取值范围解(1)由题意知，函数的定义域为(0，)，当a2时，f(x)2x，由f(x)0得0x1，故f(x)的单调递减区间是(0,1)(2)由题意得g(x)2x，函数g(x)在1，)上是单调函数若g(x)为1，)上的单调增函数，则g(x)0在1，)上恒成立，即a2x2在1，)上恒成立，设(x)2x2，(x)在1，)上单调递减，(x)max(1)0，a0.若g(x)为1，)上的单调减函数，则g(x)0在1，)上恒成立，不可能实数a的取值范围为0，)22已知函数f(x)exmx，其中m为常数(1)若对任意xR有f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)当m1时，判断f(x)在0,2m上零点的个数，并说明理由(2)f(x)在0,2m上有两个零点，理由如下：当m1时，f(m)1m0.f(0)em0，f(0)f(m)0，且f(x)在(0，m)上单调递减f(x)在(0，m)上有一个零点又f(2m)em2m，令g(m)em2m，则g(m)em2，当m1时，g(m)em20，g(m)在(1，)上单调递增g(m)g(1)e20，即f(2m)0.f(m)f(2m)0，f(x)在(m,2m)上有一个零点故f(x)在0,2m上有两个零点
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