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第一节函数及其图象类型一图形与坐标1.xx河南,9涉及考点:平行四边形的性质、尺规作图、角平分线的性质、勾股定理、点的坐标的求法如图,已知AOBC的顶点O(0,0),A(-1,2),点B在x轴的正半轴上.按以下步骤作图:以点O为圆心、适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;分别以点D,E为圆心、大于12DE的长为半径作弧,两弧在AOB内交于点F;作射线OF,交边AC于点G.则点G的坐标为()A.(5-1,2)B.(5,2)C.(3-5,2)D.(5-2,2)2.xx河南,9涉及考点:菱形的性质、勾股定理、平移的性质、点的坐标的求法我们知道:四边形具有不稳定性.如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上,AB的中点是坐标原点O.固定点A,B,把正方形沿箭头方向推,使点D落在y轴正半轴上的点D处,则点C的对应点C的坐标为()A.(3,1)B.(2,1)C.(1,3)D.(2,3)类型二坐标规律探究3.xx河南,8涉及考点:点的坐标规律如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆O1,O2,O3,组成一条平滑的曲线.点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒2 个单位长度,则第2 015秒时,点P的坐标是()A.(2 014,0)B.(2 015,-1)C.(2 015,1)D.(2 016,0)4.xx河南,10涉及考点:菱形的性质、动点问题中函数图象的分析如图(1),点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿ADB以1 cm/s的速度匀速运动到点B.图(2)是点F运动时,FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的图象,则a的值为()图(1)图(2)A.5B.2C.52D.255.xx河南,8涉及考点:勾股定理、动点问题中函数图象的识别如图,在RtABC中,C=90,AC=1 cm,BC=2 cm,点P从点A出发,以1 cm/s的速度沿折线ACCBBA运动,最终回到点A.设点P的运动时间为x(s),线段AP的长度为y(cm),则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是()ABCD6.xx河南,14涉及考点:动点问题中函数图象的分析如图(1),点P从ABC的顶点B出发,沿BCA匀速运动到点A.图(2)是点P运动时,线段BP的长度y随时间x变化的关系图象,其中M为曲线部分的最低点,则ABC的面积是.图(1)图(2)第二节一次函数的图象与性质1.xx河南,9涉及考点:一次函数的增减性写出一个y随x的增大而增大的一次函数的解析式:. 2.xx河南,7涉及考点:一次函数与一元一次不等式的关系如图,函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),则不等式2xax+4的解集为()A.x32B.x32D.x33.xx河南,11涉及考点:一次函数与反比例函数的图象与性质如图,直线y=kx与双曲线y=2x(x0)交于点A(1,a),则k=.4.xx河南,20涉及考点:一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、函数解析式的确定、函数与不等式的关系、根据图形面积关系确定点的坐标如图,一次函数y1=k1x+2与反比例函数y2=k2x的图象交于点A(4,m)和B(-8,-2),与y轴交于点C.(1)k1=,k2=.(2)根据函数图象可知,当y1y2时,x的取值范围是.(3)过点A作ADx轴于点D,点P是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线OP与线段AD交于点E,当S四边形ODACSODE=31时,求点P的坐标.第三节一次函数的实际应用类型一图象信息型1.xx河南,19涉及考点:一次函数图象的应用甲、乙两人同时从相距90 km的A地前往B地,甲乘汽车,乙骑摩托车,甲到达B地停留0.5 h后返回A地.如图是他们离A地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系图象.(1)求甲从B地返回A地的过程中,y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)若乙出发2 h后和甲相遇,求乙从A地到B地用了多长时间.2.xx河南,21涉及考点:一次函数图象的应用某游泳馆普通票售价20元/张,暑期为了促销,新推出两种优惠卡:金卡售价600元/张,每次凭卡不再收费;银卡售价150元/张,每次凭卡另收10元.暑期普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑期使用,不限次数.设暑期游泳x次时,所需总费用为y元.(1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y与x之间的函数关系式;(2)在同一个坐标系中,若三种消费方式对应的函数图象如图所示,请求出点A,B,C的坐标;(3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式更合算.类型二文字信息型3.xx河南,21涉及考点:一次函数、二次函数、不等式的应用某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系.关于销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如下表:销售单价x/元8595105115日销售量y/个17512575m日销售利润w/元8751 8751 875875(注:日销售利润=日销售量(销售单价-成本单价)(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值.(2)根据以上信息,填空: 该产品的成本单价是元;当销售单价x=元时,日销售利润w最大,最大值是元.(3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本.预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3 750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元?4.xx河南,21涉及考点:一次方程(组)、一次函数、不等式的应用学校“百变魔方”社团准备购买A,B两种魔方.已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元,购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同.(1)求这两种魔方的单价;(2)结合社员们的需求,社团决定购买A,B两种魔方共100个(其中A种魔方不超过50个).某商店有两种优惠活动,如图所示.请根据以上信息,说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠.5.xx河南,19涉及考点:一次函数的应用暑假期间,小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游.出发前,汽车油箱内储油45升;当行驶150千米时,发现油箱剩余油量为30升.(1)已知油箱剩余油量y(升)是关于行驶路程x(千米)的一次函数,求y与x的函数关系式;(2)当油箱剩余油量少于3升时,汽车将自动报警.如果往返途中不加油,他们能否在汽车报警前回到家?请说明理由.6.xx河南,21涉及考点:一次方程(组)、一次函数、不等式的应用某文具商店销售功能相同的A,B两种品牌的计算器,购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元,购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元.(1)求这两种品牌计算器的单价;(2)学校开学前夕,该商店对这两种计算器开展了促销活动,具体办法如下:A品牌计算器按原价的八折销售,B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售.设购买x个A品牌的计算器需要y1元,购买x个B品牌的计算器需要y2元,分别求出y1,y2关于x的函数关系式;(3)小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器,若购买计算器的数量超过5个,购买哪种品牌的计算器更合算?请说明理由.第四节反比例函数1.xx河南,5涉及考点:|k|的几何意义如图,过反比例函数y=kx(x0)的图象上一点A作ABx轴于点B,连接AO,若SAOB=2,则k的值为()A.2B.3C.4D.52.xx河南,13涉及考点:反比例函数的图象与性质、三角形面积公式、|k|的几何意义如图,点A,B在反比例函数y=kx(k0,x0)的图象上,过点A,B作x轴的垂线,垂足分别为M,N,延长线段AB交x轴于点C,若OM=MN=NC,AOC的面积为6,则k的值为.3.xx河南,18涉及考点:反比例函数解析式的确定、|k|的几何意义如图,反比例函数y=kx(x0)的图象过格点(网格线的交点)P.(1)求反比例函数的解析式;(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法),要求每个矩形均需满足下列两个条件:四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点O,点P;矩形的面积等于k的值.4.xx河南,13涉及考点:反比例函数的增减性已知点A(1,m),B(2,n)在反比例函数y=-2x的图象上,则m与n的大小关系为.5.xx河南,12涉及考点:反比例函数的增减性、函数值的取值范围点A(2,1)在反比例函数y=kx的图象上,当1x0)的图象交于点A(m,3)和B(3,1).(1)填空:一次函数的解析式为,反比例函数的解析式为;(2)点P是线段AB上一点,过点P作PDx轴于点D,连接OP,若POD的面积为S,求S的取值范围.7.xx河南,20涉及考点:矩形的性质、反比例函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、函数解析式的确定如图,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上,点B的坐标为(2,3).双曲线y=kx(x0)经过BC的中点D,且与AB交于点E,连接DE.(1)求k的值及点E的坐标;(2)若点F是OC边上一点,且FBCDEB,求直线FB的解析式.第五节二次函数的图象与性质1.xx河南,8涉及考点:二次函数图象的增减性在二次函数y=-x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是()A.x1C.x-12.xx河南,13涉及考点:二次函数的图象的对称性及顶点坐标已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是.3.xx河南,12涉及考点:二次函数图象的增减性已知点A(4,y1),B(2,y2),C(-2,y3)都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是.4.xx河南,12涉及考点:二次函数的图象的对称性已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于A,B两点,若点A的坐标为(-2,0),抛物线的对称轴为直线 x=2,则线段AB的长为.5.xx河南,21涉及考点:二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系某班“数学兴趣小组”对函数y=x2-2|x|的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整.(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下:x-3-52-2-1012523y354m-10-10543其中,m=.(2)根据上表数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分.(3)观察函数图象,写出两条函数的性质.(4)进一步探究函数图象发现:函数图象与x轴有个交点,所以对应的方程x2-2|x|=0有个实数根;方程x2-2|x|=2有个实数根;关于x的方程x2-2|x|=a有4个实数根时,a的取值范围是.6.xx河南,5涉及考点:二次函数图象的平移在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-4先向右平移2个单位,再向上平移2个单位,得到的抛物线的解析式是 ()A.y=(x+2)2+2B.y=(x-2)2-2C.y=(x-2)2+2D.y=(x+2)2-27.xx河南,14涉及考点:二次函数图象的平移、阴影部分面积的计算如图,抛物线的顶点为P(-2,2),与y轴交于点A(0,3).若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P(2,-2),点A的对应点为A,则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为.第六节二次函数的应用1.xx河南,23涉及考点:二次函数解析式的确定、由平行四边形存在性确定点的坐标、根据角的倍数关系确定点的坐标如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x-5经过点B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)过点A的直线交直线BC于点M.当AMBC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合)作直线AM的平行线,交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标. 备用图2.xx河南,23涉及考点:二次函数解析式的确定、由相似三角形的性质确定点的坐标、新定义问题如图,直线y=-23x+c与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线y=-43x2+bx+c经过点A,B.(1)求点B的坐标和抛物线的解析式;(2)M(m,0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N.点M在线段OA上运动,若以B,P,N为顶点的三角形与APM相似,求点M的坐标;点M在x轴上自由运动,若M,P,N三个点中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外),则称M,P,N三点为“共谐点”.请直接写出使得M,P,N三点成为“共谐点”的m的值.备用图3.xx河南,23涉及考点:二次函数解析式的确定、等腰直角三角形的性质、由角相等确定点的坐标如图(1),直线y=-43x+n交x轴于点A,交y轴于点C(0,4),抛物线y=23x2+bx+c经过点A,交y轴于点B(0,-2).点P为抛物线上一个动点,过点P作x轴的垂线PD,过点B作BDPD于点D,连接PB,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式;(2)当BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长;(3)如图(2),将BDP绕点B逆时针旋转,得到BDP,且旋转角PBP=OAC,当点P的对应点P落在坐标轴上时,请直接写出点P的坐标.图(1)图(2)备用图4.xx河南,23涉及考点:二次函数解析式的确定、线段差为定值的判断、新定义问题、三角形周长最小时确定点的坐标如图,边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上点A,C间的一个动点(含端点),过点P作PFBC于点F.点D,E的坐标分别为(0,6),(-4,0),连接PD,PE,DE.(1)请直接写出抛物线的解析式;(2)小明探究点P的位置发现:当点P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定值.进而猜想:对于任意一点P,PD与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确,并说明理由;(3)小明进一步探究得出结论:若将“使PDE的面积为整数”的点P记作“好点”,则存在多个“好点”,且使PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数,并求出PDE周长最小时“好点”的坐标.备用图5.xx河南,23涉及考点:二次函数解析式的确定、根据线段的倍数关系确定未知数的值、根据对称的性质确定点的坐标如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,直线y=-34x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点,过点P作PFx轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式;(2)若PE=5EF,求m的值;(3)若点E是点E关于直线PC的对称点,是否存在点P,使点E落在y轴上?若存在,请直接写出相应的点P的坐标;若不存在,请说明理由.6.xx河南,23涉及考点:二次函数解析式的确定、由平行四边形的存在性确定未知数的值、由特殊角确定点的坐标如图,抛物线y=-x2+bx+c与直线y=12x+2交于C,D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为(3,72).点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PEx轴于点E,交CD于点F.(1)求抛物线的解析式.(2)若点P的横坐标为m,当m为何值时,以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形?请说明理由.(3)若存在点P,使PCF=45,请直接写出相应的点P的坐标.参考答案1.A设AC与y轴交于点P,四边形AOBC是平行四边形,ACOB,AGO=GOB.由题意可知,AOG=GOB,AGO=AOG,AG=AO.A(-1,2),OA=12+22=5,AG=5,PG=AG-AP=5-1,G(5-1,2).2.D由题意得,AB=AD=DC=BC=2.点O是AB的中点,且是原点,AO=1,AOD=90.在RtAOD中,由勾股定理可得,OD=AD2-AO2=22-12=3,点D的坐标为(0,3).DC=2,点C可看作是点D向右平移2个单位长度得到的.根据平移规律可得,点C的坐标为(2,3).故选D.3.B第1秒时点P的坐标为(1,1),第2秒时点P的坐标为(2,0),第3秒时点P的坐标为(3,-1),第4秒时点P的坐标为(4,0),第5秒时点P的坐标为(5,1)则点P的横坐标依次为1,2,3,4,n;点P的纵坐标依次为1,0,-1,0,且4秒循环一次.2 0154=5033,则第2 015秒时,点P的坐标是(2 015,-1).4.C如图,过点A作AHBD于点H.观察题图中y与x的函数关系的图象可得,当x=a时,y=a,当x=a+5时,y=0,AD=a cm,BD=a+5-a=5(cm),AH=2aBD=2a5(cm).在RtADH中,AD2=AH2+DH2,a2=45a2+54,解得a=52(负值已舍去).5.A当点P在AC上运动时,y=AP=x(0x1),图象为一条线段;当点P在CB上运动时,y=AC2+PC2=12+(x-1)2=x2-2x+2(1x3),此时函数图象不是线段;当点P在AB上运动时,y=-x+3+5,图象为一条线段.综上,选A.6.12由题意可得,BP的长度变化的图象分为线段和曲线两部分,分别对应点P的运动区间:BC段和CA段.由线段部分的最大值为5,可得点P运动到点C时,BP=5,即BC=5.由曲线最低点的函数值为4和“垂线段最短”,可得当BPAC时,BP=4.由曲线的末端对应的函数值为5,可得点P运动到点A时,BP=5,即AB=5,则AB=BC,即ABC是等腰三角形.当BPAC时,由勾股定理可得,AP=AB2-BP2=52-42=3,则AC=2AP=6,故SABC=12ACBP=1264=12.第二节一次函数的图象与性质1.答案不唯一,如y=x(只要满足y=kx+b,k0即可).2.A把点A(m,3)代入y=2x中,得m=32,由图象可知,当2xax+4时,x32 ,故选A.3.2将点A的坐标代入反比例函数y=2x中,可得a=21,即a=2.将点A(1,2)代入一次函数y=kx中,可得1k=2,即k=2.4.(1)1216(2)-8x4(3)由(1)知,y1=12x+2,y2=16x,当x=4,y1=4;当x=0,y1=2,即m=4,点A的坐标是(4,4),点C的坐标是(0,2),CO=2,AD=OD=4,S梯形ODAC=CO+AD2OD=2+424=12.S梯形ODACSODE=31,SODE=13S梯形ODAC=1312=4,即12ODDE=4,DE=2,点E的坐标为(4,2).又点E在直线OP上,直线OP的解析式是y=12x.由y=12x,y=16x,得x1=42,y1=22,x2=-42,y2=-22.(舍去)故直线OP与y2=16x的图象在第一象限内的交点P的坐标为(42,22).第三节一次函数的实际应用1.(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,根据题意得3k+b=0,1.5k+b=90,解得k=-60,b=180.故甲从B地返回A地的过程中,y与x之间的函数关系式为y=-60x+180(1.5x3).(2)当x=2时,y=(-60)2+180=60,乙骑摩托车的速度为602=30(km/h),乙从A地到B地用时为9030=3(h).2.(1)银卡:y=10x+150;普通票:y=20x.(2)把x=0代入y=10x+150,得y=150,点A的坐标为(0,150).由y=20x,y=10x+150,解得x=15,y=300,点B的坐标为(15,300).把y=600代入y=10x+150,得x=45.点C的坐标为(45,600).(3)当0x15时,选择购买普通票更合算;(注:若写成0x15,也正确)当x=15时,选择购买银卡、普通票的总费用相同,均比金卡合算;当15x45时,选择购买金卡更合算.3.(1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b,由题意得85k+b=175,95k+b=125,解得k=-5,b=600.故y关于x的函数解析式为y=-5x+600.当x=115时,m=-5115+600=25.(2)801002 000(3)设该产品的成本单价为a元,由题意得(-590+600)(90-a)3 750,解得a65.答:该产品的成本单价应不超过65元.4.答案一:(1)设A,B两种魔方的单价分别为x元,y元.根据题意,得2x+6y=130,3x=4y,解得x=20,y=15,即A,B两种魔方的单价分别为20元,15元.(2)设购买A种魔方m个,按活动一和活动二购买所需费用分别为w1元,w2元.依题意,得w1=200.8m+150.4(100-m)=10m+600.w2=20m+15(100-m-m)=-10m+1 500.当w1w2时,10m+600-10m+1 500,解得m45;当w1=w2时,10m+600=-10m+1 500,解得m=45;当w1w2时,10m+600-10m+1 500,解得m45.故当45m50时,活动二更实惠;当m=45时,活动一、二同样实惠;当0m45(或0m0,w1随m的增大而增大,当m=50时,w1最大,此时w1=15.650+520=1 300,当0m50时,0w11 300,当0m50(或0m3,故他们能在汽车报警前回到家.6.(1)设A品牌计算器的单价为x元,B品牌计算器的单价为y元.则有2x+3y=156,3x+y=122,解得x=30,y=32,即A,B两种品牌计算器的单价分别为30元、32元.(2)根据题意得y1=0.830x,即y1=24x.当0x5时,y2=32x;当x5时,y2=325+32(x-5)0.7,即y2=22.4x+48.(说明:若把“0x5”写为“x5”,亦可)(3)当购买数量超过5个时,y2=22.4x+48.当y1y2时,24x22.4x+48,所以xy2时,24x22.4x+48,所以x30,即当购买数量超过30个时,购买B品牌的计算器更合算.第四节反比例函数1.C根据题意,点A在第一象限,设点A的坐标为(x,y),则x0,y0,SAOB=12OBAB=12xy=2,xy=4,k=xy=4.故选C.2.4连接AN.OM=MN=NC,SAOM=SAMN=SANC=13SAOC=2.k0,k=2SAOM=4.3.(1)点P(2,2)在反比例函数y=kx(x0)的图象上,k2=2,即k=4,故反比例函数的解析式为y=4x.(2)答案不唯一,正确画出两个矩形即可.4.mn分别把A(1,m)和B(2,n)代入反比例函数y=-2x中,可得m=-2,n=-1.-2-1,mn.5.12y2由点A(2,1)在反比例函数y=kx的图象上,可知1=k2,所以y=2x,该函数图象位于第一、三象限,且在每一象限内,y随x的增大而减小.当x=1时,y=2;当x=4时,y=12.故当1x4时,y的取值范围是12y2.6.(1)y=-x+4y=3x(2)点A(m,3)在y=3x的图象上,3m=3,m=1,A(1,3).点P在线段AB上,设点P(n,-n+4),且1n3,S=12ODPD=12n(-n+4)=-12(n-2)2+2.-120,且1n3,当n=2时,S最大值=2;当n=1或3时,S最小值=32.故S的取值范围是32S2.7.(1)在矩形OABC中,点B的坐标为(2,3),BC边中点D的坐标为(1,3).又双曲线y=kx经过点D(1,3),3=k1,即k=3.点E在AB上,点E的横坐标为2.又双曲线y=3x经过点E,点E的纵坐标为32,点E的坐标为(2,32).(2)由(1)得BD=1,BE=32,CB=2.FBCDEB,BDCF=BECB,即1CF=322,CF=43,OF=53,即点F的坐标为(0,53).设直线FB的解析式为y=k1x+b,而直线FB经过B(2,3),F(0,53),3=2k1+b,53=b,解得k1=23,b=53,直线FB的解析式为y=23x+53.第五节二次函数的图象与性质1.A对于二次函数y=-x2+2x+1,-10,抛物线开口向下.抛物线的对称轴为直线x=-22(-1)=1,由二次函数图象的性质可知,当xy1y2抛物线的开口向上,离对称轴距离越近的点所对应的函数值越小.|-2-2|4-2|2-2|,y3y1y2.4.8根据抛物线的对称性可知点A、点B关于直线x=2对称,又由A(-2,0)可知点B的坐标为(6,0),故线段AB的长为6-(-2)=8.5.(1)0(2)(正确补全图象即可).(3)(可从函数的最值、增减性、图象的对称性等方面阐述.答案不唯一,合理即可).(4)332-1a06.B直接运用“左加右减,上加下减”的平移规律,可知抛物线向右平移2个单位后,抛物线的解析式为y=(x-2)2 -4,再向上平移2个单位后,抛物线的解析式为y=(x-2)2-2,故选B.7.12如图,过点P作PBx轴于点B,P(-2,2),OB=PB=2,POB=45,PO=22.设直线PP的函数解析式为y=kx+b,将(-2,2),(2,-2)代入上式,得-2k+b=2,2k+b=-2,解得k=-1,b=0,直线PP为y=-x,PP经过原点O.过点P作PCx轴于点C,P(2,-2),PC=CO=2,PO=22,PP=42,AA=42.分别过点A,A作ADPP于点D,AEPP于点E,则S矩形ADEA=S阴影.A(0,3),AO=3.在RtADO中,AOD=AOB-POB=45,AD=AOsinAOD=322=322,S矩形ADEA=ADAA=32242=12,即S阴影=12.第六节二次函数的应用1.(1)直线y=x-5交x轴于点B,交y轴于点C,B(5,0),C(0,-5).抛物线y=ax2+6x+c过点B,C,0=25a+30+c,-5=c,解得a=-1,c=-5,故抛物线的解析式为y=-x2+6x-5.(2)OB=OC=5,BOC=90,ABC=45.抛物线y=-x2+6x-5交x轴于A,B两点,A(1,0),AB=4.AMBC,AM=22.PQAM,PQBC.若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,则PQ=AM=22.过点P作x轴的垂线,交直线BC于点D,则PDQ=45,PD=2PQ=4.设P(m,-m2+6m-5),则D(m,m-5).分两种情况讨论如下.(i)当点P在直线BC上方时,PD=-m2+6m-5-(m-5)=-m2+5m=4,解得m1=1(不合题意,舍去),m2=4.(ii)当点P在直线BC下方时,PD=m-5-(-m2+6m-5)=m2-5m=4,解得m3=5+412,m4=5-412.综上所述,点P的横坐标为4,5+412或5-412.点M的坐标为(136,-176)或(236,-76).2.(1)直线y=-23x+c与x轴交于点A(3,0),-233+c=0,c=2,B(0,2).抛物线y=-43x2+bx+c过点A(3,0),-4332+3b+2=0,b=103,故抛物线的解析式为y=-43x2+103x+2.(2)MNx轴,M(m,0),N(m,-43m2+103m+2).由(1)可知,直线AB的解析式为y=-23x+2,OA=3,OB=2.在APM和BPN中,APM=BPN,AMP=90,若要使BPN与APM相似,则有NBP=90或BNP=90.(i)当NBP=90时,过点N作NCy轴于点C,则NBC+BNC=90,NC=m,BC=-43m2+103m+2-2=-43m2+103m.NBP=90,NBC+ABO=90,ABO=BNC,RtNCBRtBOA,NCOB=CBOA,m2=-43m2+103m3,解得m=0(舍去)或m=118,M(118,0).(ii)当BNP=90时,BNNM,点N的纵坐标为2,-43m2+103m+2=2,解得m=0(舍去)或m=52,M(52,0).综上所述,点M的坐标为(118,0)或(52,0).m的值为-1,-14或12.3.(1)由直线y=-43x+n过点C(0,4),得n=4,直线AC的解析式为y=-43x+4.当y=0时,0=-43x+4,解得x=3,A(3,0).抛物线y=23x2+bx+c经过点A(3,0),B(0,-2),0=2332+3b+c,-2=c,b=-43,c=-2,抛物线的解析式为y=23x2-43x-2.(2)点P的横坐标为m,P(m,23m2-43m-2),D(m,-2).若BDP为等腰直角三角形,则PD=BD.当点P在直线BD上方时,PD=23m2-43m.(i)若点P在y轴左侧,则m0,BD=m,23m2-43m=m,m3=0(舍去),m4=72.当点P在直线BD下方时,m0,BD=m,PD=-23m2+43m,-23m2+43m=m,m5=0(舍去),m6=12.综上所述,m=72或12.即当BDP为等腰直角三角形时,PD的长为72或12.(3)满足条件的点P的坐标为(-5,45+43),(5,-45+43)或(258,1132).4.(1)抛物线的解析式为y=-18x2+8.(2)正确.理由如下:设P(m,-18m2+8),则PF=8-(-18m2+8)=18m2.过点P作PMy轴于点M,则PD2=PM2+DM2=(-m)2+6-(-18m2+8)2=164m4+12m2+4=(18m2+2)2,PD=18m2+2,PD-PF=18m2+2-18m2=2,猜想正确.(3)“好点”共有11个.在点P运动时,DE的长度不变,PE与PD的和最小时,PDE的周长最小.PD-PF=2,PD=PF+2,PE+PD=PE+PF+2.当P,E,F三点共线时,PE+PF最小,此时点P,E的横坐标都为-4.将x=-4代入y=-18x2+8,得y=6,当点P的坐标为(-4,6)时,PDE的周长最小,且PDE的面积为12|-4|6=12,点P恰为“好点”,PDE的周长最小时“好点”的坐标为(-4,6).5.(1)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,0=-(-1)2-b+c,0=-52+5b+c,解得b=4,c=5.抛物线的解析式为y=-x2+4x+5.(2)点P的横坐标为m,P(m,-m2+4m+5),E(m,-34m+3),F(m,0).点P在x轴上方,要使PE=5EF,点P应在y轴右侧,0m5,PE=-m2+4m+5-(-34m+3)=-m2+194m+2.分两种情况讨论:当点E在点F上方时,EF=-34m+3.PE=5EF,-m2+194m+2=5(-34m+3),即2m2-17m+26=0,解得m1=2,m2=132(舍去).当点E在点F下方时,EF=34m-3.PE=5EF,-m2+194m+2=5(34m-3).即m2-m-17=0,解得m3=1+692,m4=1-692(舍去),m为2或1+692.(3)点P的坐标为(-12,114),(4,5)或(3-11,211-3).6.(1)直线y=12x+2经过点C,点C的坐标为(0,2).抛物线y=-x2+bx+c经过点C(0,2)和D(3,72),2=c,72=-32+3b+c,解得c=2,b=72,抛物线的解析式为y=-x2+72x+2.(2)P点的横坐标为m,P(m,-m2+72m+2),F(m,12m+2).PFCO,当PF=CO时,以O,C,P,F为顶点的四边形为平行四边形.当0m3时,PF=-m2+72m+2-(12m+2)=-m2+3m,-m2+3m=2,解得m1=1,m2=2.即当m=1或2时,四边形OCPF是平行四边形.当m3时,PF=(12m+2)-(-m2+72m+2)=m2-3m.m2-3m=2,解得m1=3+172,m2=3-172(舍去).即当m=3+172时,四边形OCFP是平行四边形.综上,m为1,2或3+172时,以O,C,P,F为顶点的四边形为平行四边形.(3)点P的坐标为(12,72),(236,1318).
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