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专题27平面向量的应用本专题特别注意：1.平面向量的几何意义应用2. 平面向量与三角形的心3. 向量垂直的应用4.向量的数量积问题等综合问题 5. 向量夹角为锐角、钝角时注意问题6.向量数量积在解析几何中应用7.向量数量积在三角形中的应用。【学习目标】1会用向量方法解决某些简单的平面几何问题2会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题【方法总结】1.用向量解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.2.应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结构，选择使用向量的某些性质解决相应的问题，如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点共线问题等，总之，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性质直接使用，如果没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题.3.几点注意事项(1)在处理三点共线问题时，转化为两个向量共线解决，需说明两个向量有公共点，两直线不能平行，只能重合.(2)在解决夹角问题时，应注意向量的方向，向量的夹角与所求角可能相等，也可能互补.(3)证明垂直问题一般要经过向量的运算得到数量积ab0，尽量用坐标运算.【高考模拟】：一、单选题1在直角梯形中，同一平面内的两个动点满足，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题意，得点是以点为圆心，半径为1的圆上的一个动点，点是的中点，取的中点，连接，利用三点共线时取得最值，即可求解.当点在之间时，取最大值，从而的的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查了平面向量的运算，以及圆的最值问题，其中把，得点是以点为圆心，半径为1的圆上的一个动点，转化为圆的应用问题求解是解答的关键，着重考查了转化思想方法以及分析问题、解答问题的能力.2在中， 边上的中线的长为2，点是所在平面上的任意一点，则的最小值为（ ）A. 1 B. 2 C. -2 D. -1【答案】C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在原点处，点A在y轴上，则设点P的坐标为，则，故，当且仅当时等号成立所以的最小值为选C3设、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足， ， ，用、分别表示、的面积，则的最大值是（ ）A. B. 2 C. 4 D. 8【答案】B【解析】设， ， ， ， ， ， 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，即、分别表示、的面积，当且仅当时取等号的最大值是故选B点睛：本题考查球的内接多面体及基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解答本题的关键4已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是()A. 2 B. C. D. 1【答案】B【解析】分析：根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可.详解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则，设，则，则，当时，取得最小值.故选：B.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义5已知是内部一点，且，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由可知点O是的重心， ，所以，=，选A.【点睛】在中，给出，即已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点），重心分中线为比2:1，重心与三个项点连线三等分三角形面积。6已知是圆上的动点，且，若点的坐标是，则的最大值为A. B. C. D. 【答案】D【点睛】本题考查圆的标准方程、圆的性质、向量的模、两直线的垂直关系，涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化化归思想，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、综合程度高，属于较难题型. 首先由 可得 为圆的直径，再由圆的性质等价转化为 ，当 与过圆心 时最大，此时 为， ， 7设数列的各项都为正数且. 内的点均满足与的面积比为，若，则的值为( )A. 15 B. 17 C. 29 D. 31【答案】A【解析】由得 ，设以线段 作出平行四边形 ，如图，则， ， 则 即 则 构成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以 ，所以 故选A8若为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（ ）A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】由题则三角形为等腰三角形故本题答案选9已知在三角形中， ，边的长分别为方程的两个实数根，若斜边上有异于端点的两点，且，则的取值范围为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】有题可知.建立如图所示的坐标系，有点.设，则.所以.因为点到边的距离，所以的面积为定值.所以，故，故选C.10如图，正方形中， 、分别是、的中点，若，则（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：取向量作为一组基底，则有，所以又，所以，即.11已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点.设平面内曲线上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线，则原来曲线的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A12若四边形满足则该四边形一定是（ ）A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 直角梯形【答案】A【解析】分析：首先由得到四边形为平行四边形，再由得到四边形为菱形.详解：因为，所以，所以四边形为平行四边形；又因为，所以，所以所以平行四边形为菱形.点睛：本题考查平面向量的应用等知识，意在考查学生的理解、分析能力.13平面上有四个互异点A、B、C、D，已知（，则ABC的形状是 A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 无法确定【答案】C点睛：根据向量条件判断三角形的性质问题，一般都是转化为垂直，相等，角平分线等信息，进而判断形状，当三角形中涉及的向量较多时，可以都统一用一组基底表示，简化运算.14已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的（ ）A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心【答案】D【解析】、分别表示向量、方向上的单位向量，+的方向与BAC的角平分线重合，又可得到 =（+）向量的方向与BAC的角平分线重合，一定通过ABC的内心故选：D15已知是平面内一点，且，则一定是的（ ）A. 垂心 B. 外心 C. 重心 D. 内心【答案】B【解析】若，则， ，则O是ABC的外心.本题选择B选项.16已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足， ，则的最大值是A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：如图可得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则设由已知，得，又，它表示圆上的点与点的距离的平方的， ，故选B.【考点】向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点的坐标，同时动点的轨迹是圆，则，因此可用圆的性质得出最值因此本题又考查了数形结合的数学思想17如图，矩形中，是对角线上一点，过点的直线分别交的延长线，,于.若，则的最小值是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：,设,则，又,所以，因此，当且仅当时取等号，选C.考点：向量表示，基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.18平面向量的集合到的映射由确定，其中为常向量若映射满足对任意、恒成立，则的坐标可能是A B C D【答案】考点：向量的运算【方法点睛】本题考查了向量的运算和任意性的问题，属于中档题型，如果给了一个抽象的式子，并且是对任意实数都成立时，那么就要考虑赋值法了，有时令其中一个变量为特殊值，或是本题，令，这样就达到减少变量的目的了，代入条件后就是一道向量运算的问题了，当然向量的数量积运算也要过关.19已知是所在平面上一点，满足，则点 ()A. 在过点与垂直的直线上 B. 在的平分线所在直线上C. 在过点边的中线所在直线上 D. 以上都不对【答案】A【解析】由得， ， 故选A.点睛：（1）向量的加法运算，有两个运算法则，一个是三角形法则，一个是平行四边形法则，三角形法则是要求首尾相接，起点指向终点即可；平行四边形法则要求两向量共起点；（2）向量的减法运算要求，共起点，连终点，箭头指被减.20在中，角所对的边分别为，为的外心，为边上的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】D是BC的中点，即，=（）=+=6，又=（）（）=（）=（b216），6=（b216），解得b=2，sinC+sinA4sinB=0，c+a4b=0，a=4bc=4，由余弦定理得cosA=故选C点睛：本题主要考查的是数量积的运算以及四心中的外心，处理外心问题经常会与数量积的几何意义投影结合到一起，外心在边上的射影点恰好是中点，利用这个性质很多问题都可以迎刃而解.21若向量，则下列说法中错误的是（ ）A B向量与向量的夹角为 CD对同一平面内的任意向量，都存在一对实数，使得【答案】D【解析】试题分析：，A正确；，B正确；，C正确；因此D错误，故选D考点：向量的垂直，向量的共线，平面向量基本定理22设为平行四边形对角线的交点， 为平行四边形所在平面内任意一点，则等于()A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由题可知， 考点：平面向量的加法23已知与不共线,若点满足,点的轨迹是（ ）A直线 B圆 C抛物线 D以上都不对【答案】A【解析】试题分析：不妨设是两个相互垂直的单位向量，设，由，得，消去参数得，故轨迹为直线.考点：向量运算、圆锥曲线定义24已知圆，点是直线上的动点，若在圆上总存在两个不同的点，使，则的取值范围是A B C D【答案】A【解析】试题分析：如图，；与互相垂直平分；圆心到直线的距离；又；，代入得：；解得；的取值范围是故选：A考点：平面向量的基本定理及其意义.【思路点晴】考查向量加法的平行四边形法则，圆心和弦中点的连线垂直于弦，以及两点间的距离公式，一元二次不等式的解法，属中档题；根据条件可画出图形，根据图形便可看出的中点在圆内，从而可得到圆心到直线的距离小于半径即，这样联立，转化为关于的一元二次不等式，即可得出的取值范围25点在所在平面内，且分别满足，,则点依次是的（ ）A. 重心，外心，内心 B. 重心，外心，垂心 C. 外心，重心，垂心 D. 外心，垂心，内心【答案】B【解析】分析：由三角形五心的性质即可判断出答案详解：因为,取AB的中点D，,C，O，D三点共线，即O为ABC的中线CD上的点，且0C=20DO为ABC的重心因为，所以PA=PB=PC,故P为外心.因为，同理可得：MABC,MCAB，所以为垂心.故选B.点睛：本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题26如图，在空间四边形中，分别是的中点，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：考点：向量加法的三角形法则二、填空题27已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，若的延长线交轴的正半轴于点，交抛物线的准线于点，且，则=_【答案】3【解析】分析：画出图形后结合抛物线的定义和三角形的相似求解即可详解：画出图形如下图所示由题意得抛物线的焦点，准线为设抛物线的准线与y轴的交点为，过M作准线的垂线，垂足为，交x轴于点由题意得，又，即为的中点，又，即，解得点睛：解答与抛物线有关的综合问题时，可利用抛物线的定义、标准方程、几何性质，并结合图形，利用形的直观性和数形结合，构建关于待求量的方程(组)或不等式(组)，然后再逐步求解可得结果28已知在直角梯形中，若点在线段上，则的取值范围为_【答案】【解析】分析：建立平面直角坐标系，把问题代数化，利用二次函数的图象与性质求范围即可.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则,设，则，故，则，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，故答案为：点睛：处理平面向量问题常用手段有：（1）建立平面坐标系，转化为代数问题；（2）利用平面向量的几何意义即几何法处理问题；（3）利用基底思想处理问题.29已知腰长为2的等腰直角中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值为_【答案】【解析】如图建立平面直角坐标系，,，当sin时，得到最小值为故答案为：30设双曲线C： 的左焦点为，过的左焦点作x轴的垂线交双曲线C于M，N两点，其中M位于第二象限，B（0，b），若是锐角，则双曲线C的离心率的取值范围是_.【答案】【解析】由题意得，是锐角，整理得故双曲线C的离心率的取值范围是答案： 点睛：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围31已知|=|=2， 与的夹角为60，则+在方向上的投影为 _ 【答案】3【解析】|=|=2， 与的夹角为60+在方向上的投影为，故答案为332设， ， ，且，则在上的投影的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析：设在上的投影为.当时；当时，故当时， 取最小值为，即， ；当时， ， ；综上可得.考点：平面向量数量积的运算.【易错点睛】由条件可得的值，可得在上的投影为，分类讨论，求得的范围，要得的取值范围.本题的考点是向量在几何中的应用，综合考查了向量的线性运算，向量的数量积的运算及数量积公式，熟练掌握向量的相关公式是关键，是中档题.33在中， ， ，则的最小值为_ ， 又若，则_.【答案】 34已知为的外心，且.若，则_；若，则的最大值为_【答案】 【解析】若，则为边的中点, ,即,故填; 设的三边长分别为a,b,c,因为为的外心，且,所以,即,化简得: ,解得: , 则,故填.35如图，在直角梯形中，若分别是线段和上的动点，则的取值范围是 _【答案】【解析】以AB为x轴，BC为y轴建立直角坐标系，则A(-3,0),C(0,2),设F(0,m)，E(n，2)故=2m-3n-4，由图可知：，所以2m-3n-4点睛：对于向量问题，最容易解答的办法就是将问题的点转化为坐标求解写表达式，然后再根据题意范围求解结果36已知单位向量满足，向量使得，则的最小值为_，的最大值为_【答案】 【解析】分析：建立平面直角坐标系，利用数形结合将问题转化为数的运算来处理详解：设，建立如图所示的平面直角坐标系，则点A,B的坐标分别为设，则，整理得，点C的轨迹是以为圆心，半径为的圆表示圆上的点到原点的距离，的最小值为又，表示圆上的点的横坐标，结合图形可得的最大值为故答案为，点睛：数量积的运算有两种方式，一是用定义运算，二是用坐标运算向量的坐标运算实质上就是数的运算，同时借助数形结合使运算变得简单、直观形象，这点要通过建立平面直角坐标系来实现37已知椭圆，为其左、右焦点,为椭圆上除长轴端点外的任一点，为内一点，满足,的内心为，且有（其中为实数），则椭圆的离心率=_【答案】【解析】分析：由题意得为的重心，设，由重心坐标公式可得的纵坐标，由可得内心的纵坐标与相同，然后利用的面积等于被内心分割而成的三个小三角形的面积之和建立的等式，从而可得离心率详解：设，G为的重心，G点坐标为，轴，I的纵坐标为在中，又I为的内心，I的纵坐标即为内切圆半径由于I把分为三个底分别为的三边，高为内切圆半径的小三角形，即，椭圆C的离心率点睛：解答本题时注意两点：（1）读懂向量式的含义，正确地将向量式转化为几何关系，这是解题的基础（2）求椭圆的离心率时，要把条件中给出的几何关系转化为关于的等式或不等式，通过解方程或不等式可得离心率或其范围38已知向量满足，则的最大值是_.【答案】 点睛：此题主要考查向量数量积、加减法则及其几何意，以及坐标法、数形结合法在解决此类问题中的应用等有关方面的知识与技能，属于中高档题型，也是常考考点.在解决此类问题中，根据所给条件，建立合理科学的平面直角坐标系，将向量问题转化为解析几何问题，通坐标的运算，再将结论翻译为向量结果，从而问题可得解.39若点O在内，且满足，设为的面积， 为的面积，则_.【答案】【解析】由，可得： 延长OA，OB，OC，使OD=2OA，OE=4OB，OF=3OC，如图所示：2+3+4=，即O是DEF的重心，故DOE，EOF，DOF的面积相等，不妨令它们的面积均为1，则AOB的面积为，BOC的面积为，AOC的面积为，故三角形AOB，BOC，AOC的面积之比依次为： ： ： =3：2：4，.故答案为： 点睛：本题考查的知识点是三角形面积公式，三角形重心的性质，平面向量在几何中的应用，注意重要结论：点O在内，且满足， 则三角形AOB，BOC，AOC的面积之比依次为： .40有下列命题：等比数列中，前n项和为，公比为，则，仍然是等比数列,其公比为；一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的体积是cm3；若数列是正项数列，且，则；在中，D是边BC上的一点（包括端点），则的取值范围是.其中正确命题的序号是_（填番号）【答案】【解析】错,不符合等比数列. ,=. 中n用n-1代得 ,两式做差得,符合.,所以. 如下图建立 平面直角坐标系,所以,符合.填.41已知.若时，的最大值为2，则的最小值为 .【答案】【解析】试题分析：，所以，可行域为一个平行四边形及其内部，由直线斜率小于零知直线过点取最大值，即，因此，当且仅当时取等号考点：线性规划，基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.42在下列五个命题中：已知大小分别为与的两个力，要使合力大小恰为，则它们的夹角为;已知， ，则；若A,B,C是斜的三个内角，则恒有成立；已知 ，则的大小为;其中错误的命题有_.（写出所有错误命题的序号）【答案】【解析】由三角形法则，不符。不符。，所以成立，对。 = ，错。或，所以或，错。填。43如图，在中，为线段上靠近点的四等分点，若，则 【答案】【解析】试题分析：由已知,又，所以，由于三点共线，所以考点：1向量减法；2平面向量基本定理；3三点共线的条件【易错点晴】本题主要考查了平面向量基本定理,三点共线的条件,属于中档题由已知条件得出,代入已知式子,化简得,根据三点共线的条件:若三点为直线上的点,点为直线外一点，且,则这样得出44设为单位向量，若向量满足，则的最大值是_【答案】考点：1、平面向量模的运算性质；2、平面向量的运算45已知圆：分别交轴正半轴及轴负半轴于、两点，点为圆上任意一点，则的最大值为_【答案】【解析】分析：利用向量的数量积及三角函数性质的应用，即可求解.详解：令，得，解得，取，令，得，解得，取，设点，则，当时，此时取得最大值，最大值为.点睛：本题主要考查了向量的数量积的运算和三角函数性质的应用，解答中根据向量的数量积的运算，得到向量数量积的表达式，再利用三角函数的基本性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.46已知命题：“平面内与是一组不平行向量，且，则任一非零向量，若点在过点（不与重合）的直线上，则（定值），反之也成立，我们称直线为以与为基底的等商线，其中定值为直线的等商比”为真命题，则下列结论中成立的是_（填上所有真命题的序号）当时，直线经过线段中点；当时，直线与的延长线相交；当时，直线与平行；时，对应的等商比满足；直线与的夹角记为对应的等商比为、，则；【答案】【解析】试题分析：等商比的意义为该直线斜率的倒数，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立直角坐标系，由此可知，直线经过线段中点；当时，直线与的延长线相交;当时，直线与平行；时，对应的等商比满足；由直线夹角公式得考点：新定义
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