中考数学真题分类汇编第三期专题13二次函数试题含解析.doc

二次函数一.选择题1.（xx四川省攀枝花3分）抛物线y=x22x+2的顶点坐标为（）A（1，1）B（1，1）C（1，3）D（1，3）解：y=x22x+2=（x1）2+1，顶点坐标为（1，1）故选A2（xx辽宁省阜新市）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点（1，0）和（4，0），那么下列说法正确的是（）Aac0Bb24ac0C对称轴是直线x=2.5Db0【解答】解：A抛物线开口向下，a0抛物线与y轴交在正半轴上，c0，ac0，故此选项错误；B抛物线与x轴有2个交点，b24ac0，故此选项错误；C抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点（1，0）和（4，0），对称轴是直线x=1.5，故此选项错误；Da0，抛物线对称轴在y轴右侧，a，b异号，b0，故此选项正确故选D3（xx辽宁省抚顺市）（3.00分）已知抛物线y=ax2+bx+c（02ab）与x轴最多有一个交点以下四个结论：abc0；该抛物线的对称轴在x=1的右侧；关于x的方程ax2+bx+c+1=0无实数根；2其中，正确结论的个数为（）A1个B2个C3个D4个【分析】根据抛物线的系数与图象的关系即可求出答案【解答】解：抛物线y=ax2+bx+c（02ab）与x轴最多有一个交点，抛物线与y轴交于正半轴，c0，abc0故正确；02ab，1，1，该抛物线的对称轴在x=1的左侧故错误；由题意可知：对于任意的x，都有y=ax2+bx+c0，ax2+bx+c+110，即该方程无解，故正确；抛物线y=ax2+bx+c（02ab）与x轴最多有一个交点，当x=1时，y0，ab+c0，a+b+c2b，b0，2故正确综上所述，正确的结论有3个故选：C【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于中等题型4. （xx乐山3分）二次函数y=x2+（a2）x+3的图象与一次函数y=x（1x2）的图象有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是（）Aa=32B1a2Ca=3或a2Da=32或1a解：由题意可知：方程x2+（a2）x+3=x在1x2上只有一个解，即x2+（a3）x+3=0在1x2上只有一个解，当=0时，即（a3）212=0a=32当a=3+2时，此时x=，不满足题意，当a=32时，此时x=，满足题意，当0时，令y=x2+（a3）x+3，令x=1，y=a+1，令x=2，y=2a+1（a+1）（2a+1）0解得：1a，当a=1时，此时x=1或3，满足题意；当a=时，此时x=2或x=，不满足题意综上所述：a=32或1a 故选D5. （xx广安3分）抛物线y=（x2）21可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（）A先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度【分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究【解答】解：抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x2）21的顶点为（2，1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x2）21的图象故选：D【点评】本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向6. （xx莱芜3分）函数y=ax2+2ax+m（a0）的图象过点（2，0），则使函数值y0成立的x的取值范围是（）Ax4或x2B4x2Cx0或x2D0x2【分析】先求出抛物线的对称轴方程，再利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），然后利用函数图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可【解答】解：抛物线y=ax2+2ax+m得对称轴为直线x=1，而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），a0，抛物线开口向下，当x4或x2时，y0故选：A【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程也考查了二次函数的性质7. （xx陕西3分）对于抛物线yax2(2a1)xa3，当x1时，y0，则这条抛物线的顶点一定在A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】先由题意得到关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围，然后再确定抛物线 的顶点坐标的取值范围，据此即可得出答案.【详解】由题意得：a+(2a-1)+a-30，解得：a1，2a-10，0，抛物线的顶点在第三象限，故选C.【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标公式，熟知抛物线的顶点坐标公式是解题的关键.二.填空题1. （xx广西贺州3分）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20x30，且x为整数）出售，可卖出（30x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为 元【解答】解：设利润为w元，则w=（x20）（30x）=（x25）2+25，20x30，当x=25时，二次函数有最大值25，故答案是：252（xx辽宁省沈阳市）（3.00分）如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB=150m时，矩形土地ABCD的面积最大【分析】根据题意可以用相应的代数式表示出矩形绿地的面积；即可解答本题【解答】解：（1）设AB=xm，则BC=（9003x），由题意可得，S=ABBC=x（9003x）=（x2300x）=（x150）2+33750当x=150时，S取得最大值，此时，S=33750，AB=150m，故答案为：150【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的顶点式求函数的最值3. （xx广安3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有abc0方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1，x2=32a+b=0当x0时，y随x的增大而减小【分析】由函数图象可得抛物线开口向下，得到a0，又对称轴在y轴右侧，可得b0，根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，得到c0，进而得到abc0，结论错误；由抛物线与x轴的交点为（3，0）及对称轴为x=1，利用对称性得到抛物线与x轴另一个交点为（1，0），进而得到方程ax2+bx+c=0的两根分别为1和3，结论正确；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到2a+b=0，结论正确；由抛物线的对称轴为直线x=1，得到对称轴右边y随x的增大而减小，对称轴左边y随x的增大而增大，故x大于0小于1时，y随x的增大而增大，结论错误【解答】解：抛物线开口向下，a0，对称轴在y轴右侧，0，b0，抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，c0，abc0，故错误；抛物线与x轴的一个交点为（3，0），又对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），方程ax2+bx+c=0的两根是x1=1，x2=3，故正确；对称轴为直线x=1，=1，即2a+b=0，故正确；由函数图象可得：当0x1时，y随x的增大而增大；当x1时，y随x的增大而减小，故错误；故答案为【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及抛物线与x轴的交点，二次函数y=ax2+bx+c（a0），a的符号由抛物线的开口方向决定，c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定，b的符号由a及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴与开口方向共同决定，当抛物线开口向上时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大；当抛物线开口向下时，对称轴左边y随x的增大而增大，对称轴右边y随x的增大而减小此外抛物线解析式中y=0得到一元二次方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标4.（xx吉林长春3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A恰好落在抛物线上过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C若点A的横坐标为1，则AC的长为3【分析】解方程x2+mx=0得A（m，0），再利用对称的性质得到点A的坐标为（1，0），所以抛物线解析式为y=x2+x，再计算自变量为1的函数值得到A（1，2），接着利用C点的纵坐标为2求出C点的横坐标，然后计算AC的长【解答】解：当y=0时，x2+mx=0，解得x1=0，x2=m，则A（m，0），点A关于点B的对称点为A，点A的横坐标为1，点A的坐标为（1，0），抛物线解析式为y=x2+x，当x=1时，y=x2+x=2，则A（1，2），当y=2时，x2+x=2，解得x1=2，x2=1，则C（2，1），AC的长为1（2）=3故答案为3【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程也考查了二次函数图象上点的坐标特征5.（xx江苏镇江2分）已知二次函数y=x24x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是k4【解答】解：二次函数y=x24x+k中a=10，图象的开口向上，又二次函数y=x24x+k的图象的顶点在x轴下方，=（4）241k0，解得：k4，故答案为：k4三.解答题1. （xx广西贺州12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A.B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（1，4）（1）求A.B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）过点D作直线DEy轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B.D两点间的一个动点（点P不与B.D两点重合），PA.PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由【解答】解：（1）由抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A.B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，得A点坐标（3，0），B点坐标（1，0）；（2）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x1），把C点坐标代入函数解析式，得a（0+3）（01）=3，解得a=1，抛物线的解析式为y=（x+3）（x1）=x22x+3；（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由如下：过点P作PQy轴交x轴于Q，如图设P（t，t22t+3），则PQ=t22t+3，AQ=3+t，QB=1t，PQEF，AEFAQP，=，EF=（t22t+3）=2（1t）；又PQEG，BEGBQP，=，EG=2（t+3），EF+EG=2（1t）+2（t+3）=82. （xx广西梧州12分）如图，抛物线y=ax2+bx与x轴交于A（1，0）、B（6，0）两点，D是y轴上一点，连接DA，延长DA交抛物线于点E（1）求此抛物线的解析式；（2）若E点在第一象限，过点E作EFx轴于点F，ADO与AEF的面积比为=，求出点E的坐标；（3）若D是y轴上的动点，过D点作与x轴平行的直线交抛物线于M、N两点，是否存在点D，使DA2=DMDN？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据相似三角形的判定与性质，可得AF的长，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（3）根据两点间距离，可得AD的长，根据根与系数的关系，可得x1x2，根据DA2=DMDN，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案【解答】解：（1）将A（1，0），B（6，0）代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式为y=x2+x；（2）EFx轴于点F，AFE=90AOD=AFE=90，OAD=FAE，AODAFE=，AO=1，AF=3，OF=3+1=4，当x=4时，y=42+4=，E点坐标是（4，），（3）存在点D，使DA2=DMDN，理由如下：设D点坐标为（0，n），AD2=1+n2，当y=n时，x2+x=n化简，得3x2+21x184n=0，设方程的两根为x1，x2，x1x2=DM=x1，DN=x2，DA2=DMDN，即1+n2=，化简，得3n24n15=0，解得n1=，n2=3，D点坐标为（0，）或（0，3）【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的判定与性质得出AF的长；解（3）的关键是利用根与系数的关系得出x1x2，又利用了解方程3. （xx湖北江汉10分）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？【分析】（1）根据线段EF经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（2）显然，当0x50时，y2=70；当130x180时，y2=54；当50x130时，设y2与x之间的函数关系式为y2=mx+n，利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（3）利用：总利润=每千克利润产量，根据x的取值范围列出有关x的二次函数，求得最值比较可得【解答】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b，经过点（0，168）与（180，60），解得：，产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y1=x+168（0x180）；（2）由题意，可得当0x50时，y2=70；当130x180时，y2=54；当50x130时，设y2与x之间的函数关系式为y2=mx+n，直线y2=mx+n经过点（50，70）与（130，54），解得，当50x130时，y2=x+80综上所述，生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y2=；（3）设产量为xkg时，获得的利润为W元，当0x50时，W=x（x+16870）=（x）2+，当x=50时，W的值最大，最大值为3400；当50x130时，W=x（x+168）（x+80）=（x110）2+4840，当x=110时，W的值最大，最大值为4840；当130x180时，W=x（x+16854）=（x95）2+5415，当x=130时，W的值最大，最大值为4680因此当该产品产量为110kg时，获得的利润最大，最大值为4840元4. （xx湖北江汉12分）抛物线y=x2+x1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D将抛物线位于直线l：y=t（t）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象（1）点A，B，D的坐标分别为（，0），（3，0），（，）；（2）如图，抛物线翻折后，点D落在点E处当点E在ABC内（含边界）时，求t的取值范围；（3）如图，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A.B的坐标，再利用配方法即可找出抛物线的顶点D的坐标；（2）由点D的坐标结合对称找出点E的坐标，根据点B.C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出t的取值范围；（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m，分m或m3及m3两种情况，利用勾股定理找出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，进而可找出点P的坐标，此题得解【解答】解：（1）当y=0时，有x2+x1=0，解得：x1=，x2=3，点A的坐标为（，0），点B的坐标为（3，0）y=x2+x1=（x2x）1=（x）2+，点D的坐标为（，）故答案为：（，0）；（3，0）；（，）（2）点E.点D关于直线y=t对称，点E的坐标为（，2t）当x=0时，y=x2+x1=1，点C的坐标为（0，1）设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b，将B（3，0）、C（0，1）代入y=kx+b，解得：，线段BC所在直线的解析式为y=x1点E在ABC内（含边界），解得：t（3）当x或x3时，y=x2+x1；当x3时，y=x2x+1假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m当m或m3时，点Q的坐标为（m，x2+x1）（如图1），以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，CPPQ，CQ2=CP2+PQ2，即m2+（m2+m）2=m2+1+m2+（m2+m1）2，整理，得：m1=，m2=，点P的坐标为（，0）或（，0）；当m3时，点Q的坐标为（m，x2x+1）（如图2），以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，CPPQ，CQ2=CP2+PQ2，即m2+（m2m+2）2=m2+1+m2+（m2m+1）2，整理，得：11m228m+12=0，解得：m3=，m4=2，点P的坐标为（，0）或（1，0）综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，点P的坐标为（，0）、（，0）、（1，0）或（，0）5. （xx湖北荆州10分）为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB=xm，面积为ym2（如图）（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值；（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由甲乙丙单价（元/棵）141628合理用地（m2/棵）0.410.4【解答】解：（1）y=x（362x）=2x2+36x（2）由题意：2x2+36x=160，解得x=10或8x=8时，3616=2018，不符合题意，x的值为10（3）y=2x2+36x=2（x9）2+162，x=9时，y有最大值162，设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵，由题意：14（400ab）+16a+28b=8600，a+7b=1500，b的最大值为214，此时a=2，需要种植的面积=0.4（4002142）+12+0.4214=162.8162，这批植物不可以全部栽种到这块空地上6. （xx湖北十堰12分）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（2，0），B（0、4）与x轴交于另一点C，连接BC（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且SPBO=SPBC，求证：APBC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标，作POB和PBC的高线，根据面积相等可得OE=CF，证明OEGCFG，则OG=CG=2，根据三角函数列式可得P的坐标，利用待定系数法求一次函数AP和BC的解析式，k相等则两直线平行；（3）先利用概率的知识分析A，B，C，E中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与ABE有可能相似，即ABC和BCE，当ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，根据存在公共角BAE=BAC，可得ABEACB，列比例式可得E的坐标，利用待定系数法求直线BE的解析式，与抛物线列方程组可得交点D的坐标；当ABE与以B，C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，同理可得结论【解答】解：（1）把点A（2，0），B（0、4）代入抛物线y=x2+bx+c中得：，解得：，抛物线的解析式为：y=x2x4；（2）当y=0时，x2x4=0，解得：x=2或4，C（4，0），如图1，过O作OEBP于E，过C作CFBP于F，设PB交x轴于G，SPBO=SPBC，OE=CF，易得OEGCFG，OG=CG=2，设P（x，x2x4），过P作PMy轴于M，tanPBM=，BM=2PM，4+x2x4=2x，x26x=0，x1=0（舍），x2=6，P（6，8），易得AP的解析式为：y=x+2，BC的解析式为：y=x4，APBC；（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有ABC.ABE.ACE.BCE，四种，其中ABE重合，不符合条件，ACE不能构成三角形，当ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：ABC和BCE，当ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，BAE=BAC，ABEABC，ABE=ACB=45，ABEACB，AE=，E（，0），B（0，4），易得BE：y=，则x2x4=x4，x1=0（舍），x2=，D（，）；当ABE与以B，C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，BEA=BEC，当ABE=BCE时，ABEBCE，=，设BE=2m，CE=4m，RtBOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2，3m28m+8=0，（m2）（3m2）=0，m1=2，m2=，OE=4m4=12或，OE=2，AEB是钝角，此时ABE与以B，C.E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，E（12，0）；同理得BE的解析式为：y=x4，x4=x2x4，x=或0（舍）D（，）；综上，点D的坐标为（，）或（，）【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、一元二次方程、三角形面积以及勾股定理，第3问有难度，确定三角形与ABE相似并画出图形是关键7.（xx四川省攀枝花）如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1x2）两点，与y轴交于C点，且+=（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线顶点为D，直线BD交y轴于E点；设点P为线段BD上一点（点P不与B.D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求BDF面积的最大值；在线段BD上是否存在点Q，使得BDC=QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）抛物线对称轴为直线x=1b=2由一元二次方程根与系数关系：x1+x2=，x1x2=+=则c=3抛物线解析式为：y=x22x3（2）由（1）点D坐标为（1，4）当y=0时，x22x3=0解得x1=1，x2=3点B坐标为（3，0）设点F坐标为（a，b）BDF的面积S=（4b）（a1）+（b）（3a）24整理的S=2ab6b=a22a3S=2a（a22a3）6=a2+4a3a=10当a=2时，S最大=4+83=1存在由已知点D坐标为（1，4），点B坐标为（3，0）直线BD解析式为：y=2x6则点E坐标为（0，6）连BC.CD，则由勾股定理CB2=（30）2+（30）2=18CD2=12+（4+3）2=2BD2=（4）2+（31）2=20CB2+CD2=BD2BDC=90BDC=QCEQCE=90点Q纵坐标为3代入3=2x6x=存在点Q坐标为（，3）8.（xx云南省昆明9分）如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y0时，自变量x的取值范图；（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PABA时，求PAB的面积【分析】（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；（2）将AB所在直线的解析式求出，利用直线AP与AB垂直的关系求出直线AP的斜率k，再求直线AP的解析式，求直线AP与x轴交点，求点P的坐标，将PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积【解答】解：（1）由题意得，解得，抛物线的解析式为y=x22x，令y=0，得x22x=0，解得x=0或2，结合图象知，A的坐标为（2，0），根据图象开口向上，则y0时，自变量x的取值范图是0x2；（2）设直线AB的解析式为y=mx+n，则，解得，y=3x6，设直线AP的解析式为y=kx+c，PABA，k=，则有，解得c=，解得或，点P的坐标为（），PAB的面积=|21|0（3）|=【点评】本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键9.（xx云南省曲靖）如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax23x+c的对称轴是x=（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PBx轴于点B，PCy轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF求证：PEPF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PEPF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由【解答】解：（1）当y=0时，x=0，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，得，解得，抛物线的解析式为y=x23x4；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，直线m的解析式为y=x点P是直线1上任意一点，设P（3a，a），则PC=3a，PB=a又PE=3PF，=FPC=EPBCPE+EPB=90，FPC+CPE=90，FPPE（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6aCF=3BE=183a，OF=203aF（0，203a）PEQF为矩形，=，=，Qx+6=0+a，Qy+2=203a+0，Qx=a6，Qy=183a将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：183a=（a6）23（a6）4，解得：a=4或a=8（舍去）Q（2，6）如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a6CF=3BE=3a18，OF=3a20F（0，203a）PEQF为矩形，=，=，Qx+6=0+a，Qy+2=203a+0，Qx=a6，Qy=183a将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：183a=（a6）23（a6）4，解得：a=8或a=4（舍去）Q（2，6）综上所述，点Q的坐标为（2，6）或（2，6）10.（xx云南省8分）已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（4，）两点（1）求b，c的值（2）二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况【分析】（1）把点A.B的坐标分别代入函数解析式求得B.c的值；（2）利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x轴有交点，由题意得到方程x2+x+3=0，通过解该方程求得x的值即为抛物线与x轴交点横坐标【解答】解：（1）把A（0，3），B（4，）分别代入y=x2+bx+c，得，解得；（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=x2+x+3=（）24（）3=0，所以二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴有公共点x2+x+3=0的解为：x1=2，x2=8公共点的坐标是（2，0）或（8，0）【点评】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系11.（xx浙江省台州12分）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，井建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P=（0t8）的图象与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q=（1）当8t24时，求P关于t的函数解析式；（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）求w关于t的函数解析式；该药厂销售部门分析认为，336w513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P的最小值和最大值【分析】（1）设8t24时，P=kt+b，将A（8，10）、B（24，26）代入求解可得P=t+2；（2）分0t8.8t12和12t24三种情况，根据月毛利润=月销量每吨的毛利润可得函数解析式；求出8t12和12t24时，月毛利润w在满足336w513条件下t的取值范围，再根据一次函数的性质可得P的最大值与最小值，二者综合可得答案【解答】解：（1）设8t24时，P=kt+b，将A（8，10）、B（24，26）代入，得：，解得：，P=t+2；（2）当0t8时，w=（2t+8）=240；当8t12时，w=（2t+8）（t+2）=2t2+12t+16；当12t24时，w=（t+44）（t+2）=t2+42t+88；当8t12时，w=2t2+12t+16=2（t+3）22，8t12时，w随t的增大而增大，当2（t+3）22=336时，解题t=10或t=16（舍），当t=12时，w取得最大值，最大值为448，此时月销量P=t+2在t=10时取得最小值12，在t=12时取得最大值14；当12t24时，w=t2+42t+88=（t21）2+529，当t=12时，w取得最小值448，由（t21）2+529=513得t=17或t=25，当12t17时，448w513，此时P=t+2的最小值为14，最大值为19；综上，此范围所对应的月销售量P的最小值为12吨，最大值为19吨【点评】本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出分段函数的解析式是解题的前提，利用二次函数的性质求得336w513所对应的t的取值范围是解题的关键12（xx辽宁省盘锦市）鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件已知该款童装每件成本30元设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？（3）当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得3910元的利润？若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？【解答】解：（1）y=100+10（60x）=10x+700（2）设每星期利润为W元，W=（x30）（10x+700）=10（x50）2+4000，x=50时，W最大值=4000，每件售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最大利润4000元（3）由题意：10（x50）2+4000=3910解得：x=53或47，当每件童装售价定为53元或47元时，该店一星期可获得3910元的利润由题意：10（x50）2+40003910，解得：47x53y=100+10（60x）=10x+700170y230，每星期至少要销售该款童装170件13（xx辽宁省沈阳市）（12.00分）如图，在平面角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx1经过点A（2，1）和点B（1，1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且KNQ=BNP时，请直接写出点Q的坐标【分析】（1）应用待定系数法；（2）把x=t带入函数关系式相减；（3）根据图形分别讨论ANM=90、AMN=90时的情况（4）根据题意画出满足条件图形，可以找到AN为KNP对称轴，由对称性找到第一个满足条件Q，再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点利用勾股定理进行计算【解答】解：（1）抛物线C1：y=ax2+bx1经过点A（2，1）和点B（1，1）解得：抛物线C1：解析式为y=x2+x1（2）动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M点N的纵坐标为t2+t1，点M的纵坐标为2t2+t+1MN=（2t2+t+1）（t2+t1）=t2+2（3）共分两种情况当ANM=90，AN=MN时，由已知N（t，t2+t1），A（2，1）AN=t（2）=t+2MN=t2+2t2+2=t+2t1=0（舍去），t2=1t=1当AMN=90，AN=MN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（2，1）AM=t（2）=t+2，MN=t2+2t2+2=t+2t1=0，t2=1（舍去）t=0故t的值为1或0（4）由（3）可知t=1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图：易得K（0，3），B.O、N三点共线A（2，1）N（1，1）P（0，1）点K、P关于直线AN对称设K与y轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2）Q2与点P关于直线AN对称Q2是满足条件KNQ=BNP则NQ2延长线与K交点Q1，Q1.Q2关于KN的对称点Q3.Q4也满足KNQ=BNP由图形易得Q1（3，3）设点Q3坐标为（a，b），由对称性可知Q3N=NQ1=BN=2由K半径为1解得，1同理，设点Q4坐标为（a，b），由对称性可知Q4N=NQ2=NO=解得，满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（3，3）、（，）、（，）【点评】本题为代数几何综合题，考查了二次函数基本性质解答过程中应用了分类讨论、数形结合以及构造数学模型等数学思想14（xx辽宁省盘锦市）如图，已知A（2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx1过A.B两点，并与过A点的直线y=x1交于点C（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由【解答】解：（1）把A（2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx1，得解得抛物线解析式为：y=抛物线对称轴为直线x=（2）存在使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小取点C（0，1）关于直线x=1的对称点C（2，1），连CO与直线x=1的交点即为P点设过点C、O直线解析式为：y=kxk=y=则P点坐标为（1，）（3）当AOCMNC时，如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NEy轴于点EACO=NCD，AOC=CND=90CDN=CAO由相似，CAO=CMNCDN=CMNMNACM、D关于AN对称，则N为DM中点设点N坐标为（a， a1）由EDNOACED=2a点D坐标为（0，）N为DM中点点M坐标为（2a，）把M代入y=，解得a=4则N点坐标为（4，3）当AOCCNM时，CAO=NCMCMAB则点C关于直线x=1的对称点C即为点N由（2）N（2，1）N点坐标为（4，3）或（2，1）15(xx辽宁省葫芦岛市) 如图，抛物线y=ax2+4x+c（a0）经过点A（1，0），点E（4，5），与y轴交于点B，连接AB（1）求该抛物线的解析式；（2）将ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和ABF的面积；当点F到直线AE的距离为时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标【解答】解：（1）将A，E点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式是y=x2+4x+5，（2）设AE的解析式为y=kx+b，将A，E点坐标代入，得，解得，AE的解析式为y=x+1，x=0时，y=1即C（0，1），设F点坐标为（n，n+1），由旋转的性质得：OF=OB=5，n2+（n+1）2=25，解得n1=4，n2=3，F（4，3），F（3，4），当F（4，3）时如图1，SABF=SBCFSABC=BC|xF|BC|xA|=BC（xAxF）SABF=4（1+4）=6；当F（3，4）时，如图2，SABF=SBCF+SABC=BC|xF|+BC|xA|=BC（xFxA）SABF=4（3+1）=8；（3）如图3HCG=ACO，HGC=COA，HGCCOAOA=OC=1，CG=HG=，由勾股定理，得HC=2，直线AE向上平移2个单位或向下平移2个单位，l的解析是为y=x+3，l1的解析是为y=x1，联立解得x1=，x2=，解得x3=，x4=，F点的坐标为（，），（，），（，），（，）16(xx辽宁省葫芦岛市) 某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5x5.5，另外每天还需支付其他费用80元（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）设y=kx+b，将x=3.5，y=280；x=5.5，y=120代入，得，解得，则y与x之间的函数关系式为y=80x+560；（2）由题意，得（x3）（80x+560）80=160，整理，得x210x+24=0，解得x1=4，x2=63.5x5.5，x=4答：如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；（3）由题意得：w=（x3）（80x+560）80=80x2+800x1760=80（x5）2+2403.5x5.5，当x=5时，w有最大值为240故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元17（xx辽宁省阜新市）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当BMN是等腰三角形时，直接写出m的值【解答】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式是y=x24x+3；（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），设BC的表达式为y=kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得，解这个方程组，得直线BC的解析是为y=x+3，过点P作PEy轴，交直线BC于点E（t，t+3），PE=t+3（t4t+3）=t2+3t，SBCP=SBPE+SCPE=（t2+3t）3=（t）2+0，当t=时，SBCP最大=（3）M（m，m+3），N（m，m24m+3）MN=m23m，BM=|m3|，当MN=BM时，m23m=（m3），解得m=，m23m=（m3），解得m=当BN=MN时，NBM=BMN=45，m24m+3=0，解得m=1或m=3（舍）当BM=BN时，BMN=BNM=45，（m24m+3）=m+3，解得m=2或m=3（舍），当BMN是等腰三角形时，m的值为，1，218（xx辽宁省抚顺市）（12.00分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售设每天销售量为y本，销售单价为x元（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？【分析】（1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨（x44）元，每天销售量减少10（x44）本，所以y=30010（x44），然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围；（2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到（x40）（10x+740）=2400，然后解方程后利用x的范围确定销售单价；（3）利用利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w=（x40）（10x+740），再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到x=52时w最大，从而计算出x=52时对应的w的值即可【解答】解：（1）y=30010（x44），即y=10x+740（44x52）；（2）根据题意得（x40）（10x+740）=2400，解得x1=50，x2=64（舍去），答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；（3）w=（x40）（10x+740）=10x2+1140x29600=10（x57）2+2890，当x57时，w随x的增大而增大，而44x52，所以当x=52时，w有最大值，最大值为10（5257）2+2890=2640，答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围也考