2018-2019学年高二数学上学期期末考试试卷 理(含解析).doc

xx-2019学年高二数学上学期期末考试试卷 理(含解析)一、选择题（本大题共14道小题，每小题5分，共70分） 1.在等比数列中，如果公比，那么等比数列是 ()A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 无法确定数列的增减性【答案】D【解析】【分析】表示出，从差值的正负来判断即可。【详解】 无法判断正负 与的大小无法比较，故选：D。【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及数列的增减性判断。2.若则下列不等关系中不一定成立的是 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由同向不等式的相加性可知a+cb+dabdc，由ab可得acbc，由cdcdacad，因此A,C,D正确考点：不等式性质3.命题p:xR，x2x+140的否定p为 ()A. p:xR，x2x+140 B. p:xR，x2x+140C. p:xR，x2x+140 D. p:xR，x2x+140【答案】C【解析】【分析】由全称命题的否定直接写出即可。【详解】命题p:xR，x2-x+140的否定p为：xR,x2x+140，下列不等式一定成立的是( )A. a+b2aba2+b22 B. a+b2a2+b22abC. aba2+b22a+b2 D. aba+b2a2+b22【答案】D【解析】【分析】由基本不等式得a+b2ab，由a+b22a2+b22即可判断三个数的大小关系。【详解】 a+b2ab，又a+b22=a2+2ab+b24a2+a2+b2+b24=a2+b22， aba+b2a2+b22故选：D【点睛】本题主要考查了基本不等式及等价转化思想，属于基础题。6.设an是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 6【答案】B【解析】试题分析：设an的前三项为a1,a2,a3，则由等差数列的性质，可得a1+a3=2a2，所以a1+a2+a3=3a2，解得a2=4，由题意得a1+a3=8a1a3=12，解得a1=2a3=6或a1=6a3=2，因为an是递增的等差数列，所以a1=2,a3=6，故选B考点：等差数列的性质7.等比数列an中，a1+a2=40，a3+a4=60，则a7+a8=（ ）A. 135 B. 100 C. 95 D. 80【答案】A【解析】分析：由等比数列的性质求解较方便详解：an是等比数列，a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8也是等比数列，a7+a8=40(6040)3=135故选A点睛：本题考查等比数列的性质，本题可以用基本量法求解，即求出首项和公比后，再计算a7+a8，当然应用性质求解更应提倡本题所用性质为：数列an是等比数列，则ankk+1+ankk+2+ank（k为常数）仍是等比数列8.不等式x22x+10的解集为 ( )A. R B. x|xR，且x1 C. x|x1 D. x|x0变形为x120即可求得不等式解集【详解】 x2-2x+10， x120， x1所以不等式x2-2x+10的解集为：x|xR，且x1 故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次不等式得解法，属于基础题9.当x3时，函数y=x+1x3的最小值为 ( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】【分析】对y=x+1x-3变形为y=x3+1x3+3，利用基本不等式求解。【详解】 y=x+1x-3可化为y=x3+1x3+3，又y=x3+1x3+32x31x3+3=5当且仅当x=4时，ymin=5故选：C【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，注意一正二定三相等，属于基础题。10.设变量x,y满足x+y2xy0x2，则z=x+2y的最大值为 ( )A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】C【解析】【分析】作出x+y2x-y0x-2表示的平面区域，求出区域的顶点坐标，分别代入z=x+2y即可求得最大值。【详解】作出x+y2x-y0x-2表示的平面区域，如图：将A,B,C三点坐标分别代入得：z1=1+21=3，z2=2+24=6，z3=2+22=6，所以zmax=6，故选：C【点睛】本题考查了线性规划问题，作出可行域，当不等式组为线性约束条件，目标函数是线性函数，可行域为多边形区域时（或有顶点的无限区域），直接代端点即可求得目标函数的最值。11.双曲线x24y29=1的渐近线方程为 ( )A. 4x9y=0 B. 9x4y=0 C. 2x3y=0 D. 3x2y=0【答案】D【解析】【分析】由双曲线x24-y29=1的渐近线方程公式直接求解。【详解】双曲线x24-y29=1的渐近线方程为：y=bax=32x双曲线x24-y29=1的渐近线方程为：3x2y=0。故选：D。【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，属于基础题。12.已知向量a=(1,2,3),b=(1,1,1)，|a+b|=A. 25 B. 29 C. 5 D. 29【答案】D【解析】【分析】求出a+b的坐标，利用向量的模的公式求解即可。【详解】 a=(1,2,3),b=(1,1,1)， a+b=2,3,4 |a+b|= 22+32+42=29故选：D【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及模的计算，属于基础题。 13.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F分别为棱AB,CC1 的中点，则直线EF与BD1所成角的余弦值为 ( ) A. 23 B. 23 C. 23 D. 23【答案】D【解析】【分析】如图建立空间直角坐标系，求出E,F,B,D1点的坐标，利用直线夹角的向量求法求解。【详解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则E2,1,0，F0,2,1,B2,2,0，D10,0,2 EF=2,1,1,BD1=2,2,2,直线EF与BD1所成角的余弦值为：cos=EFBD1EFBD1=22+12+1222+12+1222+22+22=23.故选：D【点睛】本题主要考查了空间向量的应用及向量夹角的坐标运算，属于基础题。14.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 ()A. 13 B. 12C. 23 D. 34【答案】B【解析】试题分析：不妨设直线l:xc+yb=1，即bx+cybc=0椭圆中心到的距离|bc|b2+c2=2b4e=ca=12，故选B.考点：1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线l:xc+yb=1，即bx+cybc=0椭圆中心到的距离|bc|b2+c2=2b4e=ca=12，利用方程思想和数形结合思想建立方程|bc|b2+c2=2b4是本题的关键节点.【此处有视频，请去附件查看】二、填空题(本大题共4道小题，每小题5分,共20分) 15.不等式x1x20解集为_.【答案】x|1x2 【解析】【分析】不等式x-1x-20等价于x1x20，从而求解。【详解】不等式x-1x-20等价于x1x20，原不等式得解集为：x|1x2【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，考查了转化思想，属于基础题。16.在等差数列an中，已知a5=4，则a1+a2+a9=_.【答案】36【解析】【分析】整理得：a1+a2+a9= 9a1+982d=9a1+4d，利用a5=4即可求解。【详解】 a1+a2+a9= 9a1+982d=9a1+4d，又a5=a1+4d=4 a1+a2+a9= 94=36。【点睛】本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等差数列的通项公式，属于基础题。17.已知向量a=(1,0,-1),b=(0,1,-1)，n=(x,y,1),na,nb，则n=_【答案】n=(1,1,1)【解析】【分析】由na列方程x1=0，由nb列方程y1=0，问题得解。【详解】 a=(1,0,-1),b=(0,1,-1)，n=(x,y,1),na,nb 1x+0y+11=00x+1y+11=0,解得：x=1y=1，所以n=(1,1,1)【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示，计算比较简单，属于基础题。18.已知点P是抛物线y=x2上到直线2xy4=0的距离最短的点，则点P的坐标为_.【答案】(1,1)【解析】【分析】设Px0,y0是抛物线y=x2上的点，则点Px0,y0到直线2x-y-4=0的距离为：d=2x0x0245，求使得2x0x024最大的x0即可解决问题。【详解】设Px0,y0是抛物线y=x2上的点，则点Px0,y0到直线2x-y-4=0的距离为：d=2x0y0422+12=2x0x0245，又2x0x024=x01233， d=2x0x0245 35，当且仅当x0=1时，等号成立。此时y0=x02=1 P(1,1)【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式，还考查了转化思想及二次函数性质，计算量一般，属于中档题。三、解答题(本大题共5道小题，满分60分)19.已知在等差数列an中，a1=25，S17=S9.(1)求公差d及通项公式an;(2)求前n和公式Sn及Sn的最大值.【答案】（1） d=2,an=272n (2) Sn=n2+26n, (Sn)max=169 【解析】【分析】（1）由a1=25，S17=S9列方程组求解d，再利用等差数列的通项公式求解。（2）利用等差数列求和公式表示出Sn，再利用二次函数性质求解。【详解】（1） S17=S9. 17a1+17162d=9a1+982d，即：2a1=25d，又a1=25 d=2，an=a1+n-1d=27-2n（2） Sn=na1+nn12d=n2+26n，当n=13时，Snmax=132+2613=169【点睛】（1）主要考查了等差数列的通项公式及等差数列的前n和公式，属于基础题。（2）主要考查了等差数列的前n和公式及二次函数的性质，属于基础题。20.已知f(x)=|x1|+|x3|（1）解不等式f(x)6；（2）作出函数f(x)的图象，若f(x)a恒成立，求的取值范围.【答案】(1）x1,5(2)a(,2【解析】【分析】（1）对x的范围分类，去绝对值，再解不等式组即可（2）分段作出函数f(x)的图象，结合图像求解。【详解】（1）fx=42x,x3，不等式f(x)6可化为：x32x46，解得：1a1或1x3或3a5，综上：1x5（2）作出fx=42x,x3的图像如下图：要使得f(x)a恒成立，则fxmina，即：a2【点睛】（1）考查了绝对值不等式得解法去绝对值，转化成一元一次不等式组求解即可。（2）考查了恒成立问题，还考查了转化思想，把问题转化成函数f(x)的最值问题解决即可。21.已知：双曲线C: x216y29=1.（1）求双曲线C的焦点坐标、顶点坐标、离心率；（2）若一条双曲线与已知双曲线C有相同的渐近线，且经过点A(23,3)，求该双曲线的方程.【答案】(1)a=4,b=3,c=5，焦点(5,0)，顶点(4,0)，离心率e=54；(2)4y29-x24=1【解析】【分析】（1）由双曲线C: x216-y29=1可得：a=4,b=3，从而求得：c=5，问题得解。（2）设所求双曲线的方程为：x216-y29=，将A(23,-3)代入即可求得，问题得解。【详解】双曲线C: x216-y29=1，所以a=4,b=3， c=a2+b2=5，双曲线C的焦点坐标5,0，5,0，顶点坐标4,0，4,0，离心率e=ca=54。（2）设所求双曲线的方程为：x216-y29=，将A(23,-3)代入上式得：23216329=，解得：=14所求双曲线的方程为：4y29-x24=1。【点睛】（1）主要考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题。（2）主要考查了共渐近线的双曲线方程的特征-若双曲线方程为：x2a2y2b2=1 a0,b0则与它共共渐近线的双曲线方程可设为：x2a2y2b2=，属于基础题。22.如下图所示，在四棱锥SOABC中，SO 底面四边形OABC，四边形OABC是直角梯形，且COA=OAB=90，OA=OS=AB=1,OC=4，点M是棱SB的中点，N是OC上的点，且ON:NC=1:3.(1)求异面直线MN与BC所成的角的余弦值；(2)求MN与平面SBC所成的角的正弦值【答案】（1）23015； （2）63.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出M,N,B,C,S各点的坐标，从而求出MN,BC的坐标，利用向量夹角的坐标运算公式求解。（2）求出平面SAB的法向量n=(1,0,1)，求出MN与n=(1,0,1)的夹角余弦值，从而求出MN与平面SBC所成的角的正弦值。【详解】(1)建系以o为原点，如图，S(0,0,1),B(1,1,0),M(12,12,12),N(0,1,0),C(0,4,0)，所以MN=(-12,12,-12),BC=(-1,3,0) cos=|cosMN,BC|=MNBC|MN|BC|=23015(2）A(1,0,0)，SA=(1,0,-1),AB=(0,1,0)，设n=(x,y,z)是平面SAB的法向量，则nSA=0nAB=0，即x-z=0y=0，取n=(1,0,1)cosn,MN=nMN|n|MN|=-63所以MN与平面SBC所成的角的正弦值63.【点睛】（1）主要考查了空间向量的应用-空间直线夹角问题转化成空间向量夹角问题，还考查了向量的坐标运算。（2）主要考查了空间向量的应用-空间线面角问题转化成向量夹角问题求解，还考查了向量的坐标运算。23.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)且与过焦点的直线x+y1=0相交于A,B两点，C是AB的中点， OC的斜率为12.（1）求椭圆E的方程；（2）求OAB的面积.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）由直线过焦点求得：，联立直线与椭圆方程得：，表示出，再由是的中点， 的斜率为列方程即可解决问题。（2）联立直线与椭圆方程，求得.从而求得，再利用两点距离公式求得，求出点到直线的距离，利用三角形面积公式求解。【详解】(1)因直线过椭圆的焦点， 所以，又由得，代入椭圆方程得，即设，则，所以，而，所以椭圆(2）联立消去得，解得.， 又点到直线的距离，所以【点睛】（1）本题主要考查了设而不求方法，考查了方程思想，两点斜率公式及韦达定理，计算量一般，属于中档题。（2）考查了方程思想，两点距离公式及三角形面积公式，属于中档题。