2018-2019学年高二数学上学期期中试卷(含解析).doc

xx-2019学年高二数学上学期期中试卷(含解析)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解析】由可得，所以当成立时可得到成立，反之不成立，所以是的必要不充分条件，选B.2.等差数列an中，a4=13，a6=9，则数列an前9项的和S9等于（）A. 66 B. 99 C. 144 D. 297【答案】B【解析】【分析】由已知结合等差数列的性质可得，a1+a9=a4+a6，代入求和公式S9=可求【详解】等差数列an中，a4=13，a6=9，a1+a9=a4+a6=22，则数列an前9项的和S9=9a1+a92=99.故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题3. 下列结论正确的是A. 若ab,cd，则acbd B. 若ab,cd，则adbcC. 若ab,cd，则acbd D. 若ab,cd，则adbc【答案】B【解析】出题考查不等式的性质ab,cdab,cbd，A错B对因为不知道a,b,c,d的正负情况，所以C,D是错的答案 B点评：不等式两边同时乘以或者除以一个负数时，不等式要变化。4.命题“xR，|x|+x20”的否定是（ ）A. xR， |x|+x20 B. xR， |x|+x20C. x0R，|x0|+x020 D. x0R，|x0|+x020【答案】C【解析】试题分析：根据全称命题的否定形式，可知应该为 x0R，|x0|+x020，故选C考点：含有量词命题的否定5.已知数列an，a1=1，an+an+1=3，则Sxx等于（）A. 3009 B. 3025 C. 3010 D. 3024【答案】B【解析】【分析】由数列的递推式可得奇数项为1，偶数项为2，Sxx=（a1+a2）+（a3+a4）+（axx+axx）+axx，计算可得所求和【详解】数列an，a1=1，an+an+1=3，可得a2=2，a3=1，a4=2，即奇数项为1，偶数项为2，则Sxx=（a1+a2）+（a3+a4）+（axx+axx）+axx=3+3+3+1=31008+1=3025故选B【点睛】本题考查数列的求和，注意运用分组求和，考查运算能力，属于基础题6.已知2m+n=1，m，n0，则2m+1n的最小值为（）A. 42 B. 8 C. 9 D. 12【答案】C【解析】【分析】由题意可知，2m+1n=(2m+1n)(2m+n)，展开利用基本不等式即可求解【详解】2m+n=1，m，n0，则2m+1n=(2m+1n)(2m+n)=5+2nm+2mn5+4=9，当且仅当m=n=13时取等号，故2m+1n的最小值为9.故选C.【点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是进行1的代换7.等差数列an的首项a1=5，它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值为4.6，则抽去的是（ ）A. a6 B. a8 C. a9 D. a10【答案】B【解析】分析：设出抽取的为第n项，根据所给的条件求出第六项求出公差，根据首项和求出的公差d写出等差数列的通项公式，令通项公式等于15列出关于n的方程，解方程即可解答：解：设抽去的是第n项前11项的平均值为5，从前11项中抽去某一项后，余下的10项平均值为4.6S11=55，S11-an=46，an=9，又S11=11a6=55解得a6=5，由a1=-5，得d=a6a161=2，令9=-5+2（n-1），n=8故选B点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的运用，本题解题的关键是熟练应用公式，注意能够把所求的问题的实质看清楚，本题是一个中档题目8.已知，给出下列四个结论：ab a+bab |a|b| abb2其中正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：，ba0ab，错误ba0，a+b0，ab0，a+bab，正确ba0，|a|b|不成立abb2=b(ab)，ba0，a-b0，即abb2=b(ab)b0)与双曲线C2：x2a12y2b12=1 (a1b10)的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，若椭圆的离心率e34,223，则双曲线C2的离心率e1的取值范围为（ ）A. 2147,322 B. 2147,2)C. (2,322 D. 322,+)【答案】B【解析】试题分析：设|MF1|=x,|MF2|=y，则x2+y2=(F1F2)2=4c2，又x+y=2a，xy=2a1，所以x2+y2(x+y)2=e2，x2+y2(xy)2=e12，则1e2+1e12=2，由e34，223得e12147,322，又a1b1，所以e12=c2a12=a12+b12a122a12a12=2，即e10时，有x29ky216k=1，又焦距为20,所以9k+16k=(202)2=100k=4,；则双曲线的标准方程为x236y264=1;k0时，有y216kx29k=1，又焦距为20,所以9k+16k=(202)2=100k=4,；则双曲线的标准方程为y264x236=1.15.当x(1,2)时，不等式x2-x-mx2x 恒成立，考虑区间为开区间，则mx2xmax ，结合二次函数的性质可得，对于二次函数fx=x2x ，当x=2 时，函数取得最大值f2=2 ，综上可得，m的取值范围是m2.点睛：含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单16.已知P为椭圆x216+y215=1上任意一点，EF为圆N:(x1)2+y2=4的任意一条直径，则PEPF的取值范围是_【答案】5,21【解析】因为PEPF=(NE-NP)(NF-NP)=NENF-NP(NE+NF)+NP2=-|NE|NF|cos-0+|NP|2=-4+|NP|2.又因为椭圆x216+y215=1的a=4,b=15，c=1，N(1,0)为椭圆的右焦点，|NP|a-c,a+c=3,5PEPF5,21.故答案为：5,21.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设命题p：实数x满足x2-2ax-3a20（a0），命题q：实数x满足2-xx-40（）若a=1，p，q都为真命题，求x的取值范围；（）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围【答案】（）2，3）； （）43a2.【解析】【分析】（）把a=1代入x2-2ax-3a20，化为x2-2x-30，可得-1x3；求解分式不等式可得q为真命题的x的范围，取交集得答案；（）求解x2-2ax-3a20（a0），得-ax3a，由2-xx-40，得2x4，由q是p的充分不必要条件，可得2，4）（-a，3a），由此列关于a的不等式组求解【详解】（）a=1，则x2-2ax-3a20化为x2-2x-30，即-1x3；若q为真命题，则2-xx-40，解得2x4p，q都为真命题时x的取值范围是2，3）；（）由x2-2ax-3a20（a0），得ax3a，由2-xx-40，得2x4，q是p的充分不必要条件，2，4）（a，3a），则3a4ab0，由题意得ca=22，4a2+1b2=1,a2=b2+c2，解出求出、b的值即可得出椭圆的方程；（）由题意得点Q2,0，设直线方程为x=ty+2t0,Ax1,y1,Bx2,y2，将直线x=ty+2t0，代入椭圆方程得到2+t2y2+4ty2=0，利用向量的坐标运算性质、一元二次方程的根与系数的关系列方程即可得出的值，从而可求得直线方程试题解析：（）设椭圆C的方程为+=1（ab0），由题意得=， +=1，a2=b2+c2解得a2=6，b2=c2=3，则椭圆C： =1（）由题意得点Q（2，0），设直线方程为x=ty+2（t0），A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x12，y1），=（x22，y2），由3+=，得3y1+y2=0， y1+y2=2y1，y1y2=3，得到=（*）将直线x=ty+2（t0），代入椭圆方程得到（2+t2）y2+4ty2=0，y1+y2=，y1y2=，代入（*）式，解得：t2=，直线l的方程为：y=（x2）【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和平面向量的线性运算，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；设方程：根据上述判断设方程x2a2+y2b2=1ab0或x2b2+y2a2=1 ab0；找关系：根据已知条件，建立关于、b、的方程组；得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.20.已知数列an的前n项和为Sn，a12.当n2时，Sn11，an，Sn1成等差数列(1)求证：Sn1是等比数列；(2)求数列nan的前n项和Tn.【答案】（1）见解析（2）Tn(2n1)3n+12【解析】解：(1)证明：Sn11，an，Sn1成等差数列，2anSnSn12(n2)2(SnSn1)SnSn12，即Sn3Sn12，Sn13(Sn11)(n2)Sn1是首项为S113，公比为3的等比数列(2)由(1)可知Sn13n，Sn3n1.当n2时，anSnSn123n1.又a12，an23n1(nN*)nan2n3n1Tn2436322(n1)3n22n3n1，3Tn234326332(n1)3n12n3n，由得，2Tn22323223n12n3n2(13n)132n3n3n12n3n，Tn(2n1)3n+12.21.某科研小组研究发现：一棵水果树的产量w（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系： x=12x2+10x2431+x2x5此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）2x百元已知这种水果的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求记该棵水果树获得的利润为Lx（单位：百元）（1）求Lx的函数关系式；当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）Lx=8x2+163x0x264481+x3x2x5（2）当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元【解析】【分析】（1）收入等于售价乘以产量： 16wx，减去成本2x+x即为利润（2）求分段函数最值，先求各段函数最大值，再取两者最大值中较大的，一个是二次函数最值，注意研究对称轴与定义区间位置关系，一个是对勾函数，利用基本不等式求最值，注意等于号是否取到.【详解】（1）Lx=16wx-2x-x =&8x2+16-3x0x264-481+x-3x2x5（2）当0x2时 Lxmax=L2=42 当2x5时 Lx=67-8x+1+3x+1 67-248x+1+3x+1=43当且仅当48x+1=3x+1时，即x=3时等号成立答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元【点睛】这个题目考查了函数的实际应用；对于这种题目，首先理解好题意，找到函数模型，列出数学表达式，注意函数的定义域要结合实际。在处理表达式时，通常会遇到求函数的最值和值域的问题，可能通过换元将函数转化为熟悉的二次函数，或单调函数的模型.22. （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为32（1）求a，b的值（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点（）若k1，求OAB面积的最大值；（）若PA2PB2的值与点P的位置无关，求k的值【答案】（1）x24y21（2）（）m102时，SOAB取得最大值1（）12.【解析】试题分析：（1）由椭圆几何条件知上顶点到焦点的距离为半长轴长，即a2，又e=ca=32，所以c3，故b1（2）（）求OAB面积的最大值，关键建立其函数关系式，这要用到点到直线距离公式来求高，利用两点间距离公式来求底边边长：设点P（m，0）（2m2），直线l的方程为yxm则可求得AB|425m25，高为|m|2，从而SOAB25m25|m|，利用基本不等式求最值（）由题意先表示出PA2PB2，再按m整理，最后根据与点P的位置无关得到对应项系数为零，从而解出k的值试题解析：（1）由题设可知a2，e=ca=32，所以c3，故b1因此，a2，b1 2分（2）由（1）可得，椭圆C的方程为x24y21设点P（m，0）（2m2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）()若k1，则直线l的方程为yxm联立直线l与椭圆C的方程，即y=xmx24+y2=1将y消去，化简得5x242mxm210从而有x1x28m5，x1 x24(m21)5，而y1x1m，y2x2m，因此，AB|425m25点O到直线l的距离d|m|2，所以，SOAB12|AB|d25m25|m|，因此，S2OAB( 5m2)m216分又2m2，即m20，4所以，当5m2m2，即m2， m时，SOAB取得最大值18分()设直线l的方程为yk(xm).将直线l与椭圆C的方程联立，即将y消去，化简得(14k2)x28mk2x4(k2m21)0，解此方程，可得，x1x2，x1x210分所以，PA2PB2(x1m)2y12(x2m)2y22(x12x22)2m(x1x2)2m22（*）. 14分因为PA2PB2的值与点P的位置无关，即（*）式取值与m无关，所以有8k46k220，解得k所以，k的值为. 16分考点：椭圆基本量，直线与椭圆位置关系