2018届高三数学第四次模拟考试试题理.doc

xx届高三数学第四次模拟考试试题理一选择题(每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知复数 z =5 + 3i，则下列说法正确的是（）1 - iA z 的虚部为 4iB. z 的共轭复数为1- 4iCz= 5D. z 在复平面内对应的点在第二象限已知 m, n R ，集合 A = 2, log7 m，集合 B = m, n ，若 A B = 0，则 m + n =( )A1B2C4D83. (2x -1)8 的二项展开式中，各项系数和为（）xA 28B -28C1D. -14.下列命题中正确命题的个数是（）（1） cosa 0 是a 2kp +p(k Z ) 的充分必要条件2（2） f (x) =sin x+cos x则 f (x) 最小正周期是 p（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后， 则样本的方差不变（4）设随机变量 X 服从正态分布 N (0,1) ,若 P( X 1)= p ，则 P(-1 X 0，则不等式 f (x) 5的解集为( )已知函数 f (x) = 2x 2 - 3x, x 0A. -1,1B. (- ,-1 (0,1)C. -1,4D. (- ,-10,47. 若函数 y = cos 2x 与函数 y = sin(x +j) 在0, p2 上的单调性相同，则j 的一个值为()ApBpCpDp643212. 从 P 点出发的三条射线 PA, PB, PC 两两所成角均为 60 ，且分别与球 O 切于点 A, B, C,若球 O 的体积为4p，则 OP 两点间的距离为（）33A.2B.3C .D .2211. 直线 l 与抛物线 C : y 2 = 2x 交于 A, B 两点，O 为坐标原点，若直线 OA, OB 的斜率 k1 ，k2 满足 k1k2=2，则 l 一定过点( )3A. (-3,0)B. (3,0)C. (-1,3)D. (-2,0)已知函数 f (x) = x - ln x + k ，在区间1e , e 上任取三个数 a, b, c 均存在以 f (a) ，f (b) ，f (c) 为边长的三角形，则 k 的取值范围是（）A (-1，+ )B. (-, -1)C.(-, e - 3)D.(e - 3，+ )二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的位置上）如图,在边长为 1 的正方形中随机撒 1000 粒豆子,有 380 粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为 y 514.若实数 x、 y 满足不等式组 2x - y + 3 0. 则 z =2 y -| x |的最大值是x + 3 y -1 0下列命题：已知 m, n 表示两条不同的直线， a, b 表示两个不同的平面，并且m a, n b ，则“a b ”是“ m / n ”的必要不充分条件；不存在 x (0,1) ，使2不等式成立 log2 x log3 x ； “若 am2 bm2 ，则 a b ”的逆命题为真命题； q R ，函数 f (x) = sin(2x +q ) 都不是偶函数. 正确的命题序号是在 DABC 中，角 A ， B ， C 所对边的长分别为 a ， b ， c ， M 为 AB 边上一点，CACBcCM = lMP(l R) 且 MP=+，又已知CM=，2a2 + b2 = 2ab ，则角 C =CAcos ACBcos B2三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分 12 分）数列an 满足 a1 = 2 ，且 nan+1 - (n +1)an = n(n +1) ()求数列an 的通项公式；() 已知 b= (n +1)2 ，求证：1+1+15na1+ b1a2 + b2an + bn1218.（本小题满分 12 分）集成电路 E 由 3 个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为 12 , 12 , 23 ，且每个电子元件能否正常工作相互独立若三个电子元件中至少有 2 个正常工作，则 E 能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路 E 所需费用为 100 元(I)求集成电路 E 需要维修的概率；(II)若某电子设备共由 2 个集成电路 E 组成，设 X 为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求 X 的分布列和期望19.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为梯形， ABC= BAD=90 ，AP=AD=AB= 2 , BC = t , PAB= PAD=a(I)当 t = 32 时，试在棱 PA 上确定一个点 E，使得 PC平面 BDE，并求出此时EPAE 的值；(II)当 a =60时，若平面 PAB 平面 PCD，求此时棱 BC 的长320.（本小题满分 12 分）已知椭圆 E : x 2 + y 2 = 1 的左，右顶点分别为 A, B ，圆 x 2 + y 2 = 4 上有一4动点 P ,点 P 在 x 轴的上方， C(1,0)，直线 PA 交椭圆 E 于点 D ，连接 DC , PB .(1)若 ADC = 90 ,求 ADC 的面积 S ;(2)设直线 PB, DC 的斜率存在且分别为 k1 , k2 ,若 k1 = lk2 ,求 l 的取值范围.21.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) = ln x -1ax 2 + x, a R 2（）若 f (1) = 0 ，求函数 f (x) 的最大值；（）令 g (x) = f (x) - (ax -1) ，讨论函数 g ( x) 的单调区间；-1（）若 a = -2 ，正实数 x , x满足 f (x ) + f (x) + x x2= 0，证明 x+ x251212112请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，E 是圆内两弦 AB 和 CD 的交点，F 为 AD 延长线上一点，FG 切圆于 G，且FE=FG(I)证明：FEBC；AF(II)若 ABCD，DEF=30，求 FG 423（本小题满分 10 分）选修 4-4:坐标系与参数方程x = 2cosq已知曲线 C1（q 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半的参数方程为 y =3 sinq轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 r =2.(1)分别写出 C1 的普通方程， C2 的直角坐标方程(2)已知 M，N 分别为曲线 C1 的上、下顶点，点 P 为曲线 C2 上任意一点，求PM + PN的最大值24（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲设函数 f(x)=|x 一 a|，aR(I)若 a=1，解不等式 f(x) 12 (x+l)；( II)记函数 g(x)= f (x) - x - 2 的值域为 A，若 A -1,3，求 a 的取值范围5一选择题BACCCBACDB AD二填空题19p13.14 . 1015. 16.504三解答题（阅卷时发现其他正确解答，请教师参阅此评分标准酌情给分）17.解：(1)由 nan +1 - (n +1)an = n(n +1)得,an +1-an= 1, .2 分n +1n2. a11 = 2 ,所以 an 是以 2 位首项，1 为公差的等差数列.3 分 n an= n +1nan = n(n +1).5 分（）1=1 2(n +1)n 9 分故1+1+ +11+11+1+ +1a1 + b1a2 + b2an622 33 4n (n + 1)+ bn=1+1 1-1+1-1+1-1622334nn +1=1+1 1-1 0 ，f1- 2x +1 =-2 x2 + x +1(x 0),x(x) = x= f (x) = 0 ，得 x =1 ，所以 f (x) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1, +) 上单调递减，Y 当 x =1 时 函 数 有 极 大 值 ， 也 是 最 大 值 ， 所 以 f (x) 的 最 大 值 为则 (1) = 0 4 分（） g(x) = f (x) -(ax -1) = ln x - 12 ax2 + (1- a)x +1 ，9所以1- ax + (1- a) =-ax2+ (1- a)x +1xg (x) = x当 a 0 时，因为 x 0 ，所以 g(x) 0 所以 g(x) 在 (0, +) 上是递增函数，1当 a 0-ax2 + (1- a)x +1a(x -)(x +1) ，时，a= -g (x) =xx令 g(x) = 0 ，得 x =1所以当 x (0,1) 时， g(x) 0 ；当 x (1, +) 时，aaag(x) 0 时 ， 函 数 g(x) 的 递 增 区 间 是 (0,1) ， 递 减 区 间 是a(1, +) 8 分a（）当 a = -2 时， f (x) = ln x + x 2 + x, x 0 f (x1 ) + f (x2 ) + x1 x2 = 0 ，即 ln x1 + x12 + x1 + ln x2 + x22 + x2 + x1 x2 = 0 从而 (x1 + x2 )2 + (x1 + x2 ) = x1 x2 - ln(x1 x2 ) 令 t = x1 x2 ，则由j(t) = t - ln t 得，j(t) = t -t1 可知， j(t) 在区间 (0,1) 上单调递减，在区间 (1, +) 上单调递增 所以16. (t) j(1) = 1，所以 (x + x )2+ (x + x ) 1，因为 x 0, x 0,121212-1成立 12 分因此 x + x 512210.10 分23.解：（1）曲线 C 的普通方程为x2+y2= 1，2 分143曲线 C2 的普通方程为 x2+ y2 = 4 . 4 分（2）法一：由曲线 C2 ： x2 + y2= 4x = 2 cosa，所以 P 点，可得其参数方程为 y = 2sina坐标为 (2 cosa, 2sin a ) ，由题意可知 M (0, 3), N (0, -3) .因此 PM + PN = (2cosa)2 + (2sina - 3)2 + (2cosa)2 + (2sin a + 3)27 - 43 sin a + 7 + 43 sin a 6 分( PM + PN )2 =14 + 249 - 48sin2 a .所以当 sin a = 0 时， ( PM + PN )2 有最大值 28，8 分因此 PM + PN 的最大值为 27 .10 分法二：设 P 点坐标为 ( x, y) ，则 x2 + y2 = 4 ，由题意可知 M (0, 3), N (0, -3) .因此 PM + PN = x2 + ( y - 3)2 + x2 + ( y + 3)27 - 23y + 7 + 23y 6 分( PM + PN )2 =14 + 249 -12 y2 .11所以当 y = 0 时， ( PM + PN )2 有最大值 28，8 分因此 PM + PN 的最大值为 27 .10 分学生用几何法求最大值，只要论证严密，酌情给分