2019-2020年高一上学期期末数学试卷 含解析 (III).doc

2019-2020年高一上学期期末数学试卷 含解析 (III)A卷必修模块4本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1如果是第三象限的角，那么（）Asin0Bcos0Ctan0D以上都不对2若向量=（1，2），=（x，4）满足，则实数x等于（）A8B8C2D23若角的终边经过点（4，3），则tan=（）ABCD4函数是（）A奇函数，且在区间上单调递增B奇函数，且在区间上单调递减C偶函数，且在区间上单调递增D偶函数，且在区间上单调递减5函数f（x）=sinxcosx的图象（）A关于直线对称B关于直线对称C关于直线对称D关于直线对称6如图，在ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若，则=（）ABC2D7定义在R上，且最小正周期为的函数是（）Ay=sin|x|By=cos|x|Cy=|sinx|Dy=|cos2x|8设向量，的模分别为2和3，且夹角为60，则|+|等于（）AB13CD199函数（其中0，0）的图象的一部分如图所示，则（）ABCD10如图，半径为1的圆M，切直线AB于点O，射线OC从OA出发，绕O点顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交M于P，记PMO为x，弓形PNO的面积S=f（x），那么f （x）的图象是（）ABCD二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11若向量=（1，2）与向量=（x，4）平行，则实数x=12若为第四象限的角，且，则cos=；sin2=13将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数表达式为14若，均为单位向量，且与的夹角为120，则与的夹角等于15已知，则cos（xy）=16已知函数f（x）=sin（x+）（0，（0，）满足，给出以下四个结论：=3； 6k，kN*；可能等于； 符合条件的有无数个，且均为整数其中所有正确的结论序号是三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（12分）已知（0，），且（）求tan2的值；（）求的值18（12分）已知函数（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若直线y=a与函数f（x）的图象无公共点，求实数a的取值范围19（12分）如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB=2，CD=1，BC=a（a0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设，则得到函数y=f（x）（）求f（1）的值；（）对于任意a（0，+），求函数f（x）的最大值B卷学期综合本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20设全集U=R，集合A=x|x0，B=x|x|1，则A（UB）=21已知函数若f（a）=2，则实数a=22定义在R上的函数f （x）是奇函数，且f（x）在（0，+）是增函数，f（3）=0，则不等式f（x）0的解集为23函数的值域为（其中x表示不大于x的最大整数，例如3.15=3，0.7=0）24在如图所示的三角形空地中，欲建一个面积不小于200m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位：m）的取值范围是二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25（10分）已知函数（）若，求a的值；（）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论26（10分）已知函数f（x）=3x，g（x）=|x+a|3，其中aR（）若函数h（x）=fg（x）的图象关于直线x=2对称，求a的值；（）给出函数y=gf（x）的零点个数，并说明理由27（10分）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（1，0）（1）若a=1，b=2写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由xx北京市西城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析A卷必修模块4本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1如果是第三象限的角，那么（）Asin0Bcos0Ctan0D以上都不对【考点】三角函数值的符号【分析】根据象限角的符号特点即可判断【解答】解：如果是第三象限的角，则sin0，cos0，tan0，故选：C【点评】本题考查了象限角的符号无问题，属于基础题2若向量=（1，2），=（x，4）满足，则实数x等于（）A8B8C2D2【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据题意，分析可得=0，由向量数量积的坐标的运算公式可得=1x+（2）4=0，解可得x的值，即可得答案【解答】解：根据题意，若向量、满足，必有=0，又由=（1，2），=（x，4），则有=1x+（2）4=0，解可得x=8；故选：A【点评】本题考查向量数量积的坐标运算，若两个非零向量互相垂直，则其数量积为03若角的终边经过点（4，3），则tan=（）ABCD【考点】任意角的三角函数的定义【分析】由题设条件，根据三角函数终边上一点的定义即可求得正切值，正切值为纵坐标与横坐标的商【解答】解：由定义若角的终边经过点（4，3），tan=，故选：D【点评】本题考查任意角三角函数的定义，求解的关键是熟练掌握定义中知道了终边上一点的坐标，求正切值的规律知道了终边上一点的坐标的三角函数的定义用途较广泛，应好好掌握4函数是（）A奇函数，且在区间上单调递增B奇函数，且在区间上单调递减C偶函数，且在区间上单调递增D偶函数，且在区间上单调递减【考点】正弦函数的图象【分析】函数=cosx，即可得出结论【解答】解：函数=cosx，是偶函数，且在区间上单调递减，故选D【点评】本题考查诱导公式，考查余弦函数的性质，比较基础5函数f（x）=sinxcosx的图象（）A关于直线对称B关于直线对称C关于直线对称D关于直线对称【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象【分析】函数解析式提取，利用两角差的正弦函数公式化简，利用正弦函数图象的性质即可做出判断【解答】解：函数y=sinxcosx=sin（x），x=k+，kZ，得到x=k+，kZ，则函数的图象关于直线x=对称故选：B【点评】本题考查了两角差的正弦函数公式，考查正弦函数图象的性质，熟练掌握公式是解本题的关键，是基础题6如图，在ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若，则=（）ABC2D【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】根据向量加减的几何意义可得，=，=，问题得以解决【解答】解：BD=2DC，=+=+=+（）=+，=，=，=，故选：A【点评】本题考查了向量的加减的几何意义，属于基础题7定义在R上，且最小正周期为的函数是（）Ay=sin|x|By=cos|x|Cy=|sinx|Dy=|cos2x|【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】分别求出函数的最小正周期，判断即可【解答】解：对于A：y=sin|x|的最小正周期为2，对于B，y=cos|x|的最小正周期为2，对于C，y=|sinx|最小正周期为，对于D，y=|cos2x|最小正周期为，故选：C【点评】本题考查了三角形函数的最小正周期，属于基础题8设向量，的模分别为2和3，且夹角为60，则|+|等于（）AB13CD19【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用两个向量的数量积的定义求出，再利用|+|2=|2+|2+2，即可求出答案【解答】解：向量，的模分别为2和3，且夹角为60，=|cos60=23=3，|+|2=|2+|2+2=4+9+23=19，|+|=，故选：C【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，求向量的模的方法9函数（其中0，0）的图象的一部分如图所示，则（）ABCD【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】先利用图象中求得函数的周期，求得，最后根据x=2时取最大值，求得，即可得解【解答】解：如图根据函数的图象可得：函数的周期为（62）4=16，又0，=，当x=2时取最大值，即2sin（2+）=2，可得：2+=2k+，kZ，=2k+，kZ，0，=，故选：B【点评】本题主要考查了由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查了学生基础知识的运用和图象观察能力，属于基本知识的考查10如图，半径为1的圆M，切直线AB于点O，射线OC从OA出发，绕O点顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交M于P，记PMO为x，弓形PNO的面积S=f（x），那么f （x）的图象是（）ABCD【考点】函数的图象与图象变化【分析】写出函数S=f （ x ）的解析式根据函数的单调性和极值判断出函数图象的大体形状即可【解答】解：由题意得S=f （ x ）=x f（x）=0 当x=0和x=2时，f（x）=0，取得极值则函数S=f （ x ）在0，2上为增函数，当x=0和x=2时，取得极值结合选项，A正确故选A【点评】本题考查了函数的解析式的求法以及函数的求导，根据函数的性质判断函数的图象，求出函数的解析式是解决此题的关键二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11若向量=（1，2）与向量=（x，4）平行，则实数x=2【考点】平行向量与共线向量【分析】由于向量=（1，2）与向量=（x，4）平行，可得，进而列出方程组求解出答案即可【解答】解：因为向量=（1，2）与向量=（x，4）平行，所以，所以1=x，2=4，解得：=，x=2故答案为2【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握向量共线的坐标表示，并且结合正确的计算12若为第四象限的角，且，则cos=；sin2=【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos，进而利用二倍角的正弦函数公式可求sin2的值【解答】解：为第四象限的角，且，cos=，sin2=2sincos=2（）=故答案为：，【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题13将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数表达式为y=sin2x【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，可得结论【解答】解：将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，所得图象对应的解析式为y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin2x故答案为：y=sin2x【点评】本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，考查了转化思想，属于基础题14若，均为单位向量，且与的夹角为120，则与的夹角等于150【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量数量积公式和向量的夹角公式计算即可【解答】解：，均为单位向量，且与的夹角为120，（）=|2=11（）1=，|2=|22+|2=1211（）+1=3，|=，设与的夹角为，则cos=，0180，=150，故答案为：150【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握平面向量数量积的运算性质与公式，以及向量的求模公式的应用，此题属于基础题，主要细心的运算即可得到全分15已知，则cos（xy）=【考点】两角和与差的余弦函数【分析】对已知两式分别平方相加，逆用两角和与差的余弦函数公式即可求得答案【解答】解：sinx+siny=，cosx+cosy=，2+2得：2+2sinxsiny+2cosxcosy=，cos（xy）=sinxsiny+cosxcosy=，故答案为：【点评】本题考查两角和与差的余弦函数，考查三角函数的平方关系的应用，属于基础题16已知函数f（x）=sin（x+）（0，（0，）满足，给出以下四个结论：=3； 6k，kN*；可能等于； 符合条件的有无数个，且均为整数其中所有正确的结论序号是【考点】正弦函数的图象【分析】函数f（x）=sin（x+）（0，（0，）满足，可得（）=n，=n（nZ），即可得出结论【解答】解：函数f（x）=sin（x+）（0，（0，）满足，（）=n，=n（nZ），=3正确； 6k，kN*，不正确；可能等于，正确； 符合条件的有无数个，且均为整数，不正确故答案为【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（12分）（xx秋西城区期末）已知（0，），且（）求tan2的值；（）求的值【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】（）利用特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式可求tan的值，进而利用二倍角的正切函数公式即可计算得解（）利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解【解答】解：（）（0，），且=，可得：tan=2，tan2=（）=【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式，二倍角的正切函数公式，同角三角函数基本关系式的应用，考查了转化思想，属于基础题18（12分）（xx秋西城区期末）已知函数（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若直线y=a与函数f（x）的图象无公共点，求实数a的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】（1）运用两角差的余弦公式和二倍角公式，化简可得f（x），再由余弦函数的单调区间，解不等式可得所求增区间；（2）求得f（x）的最值，即可得到a的取值范围【解答】解：（1）函数=cosx（cosx+sinx）=+sin2x=cos（2x）+，由2k2x2k，kZ，解得kxk+，kZ，即f（x）的增区间为k，k+，kZ；（2）由（1）可得当2x=2k，即x=k+，kZ时，f（x）取得最大值；当2x=2k+，即x=k+，kZ时，f（x）取得最小值由直线y=a与函数f（x）的图象无公共点，可得a的范围是a或a【点评】本题考查三角函数的化简和求值，考查余弦函数的图象和性质，属于中档题19（12分）（xx秋西城区期末）如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB=2，CD=1，BC=a（a0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设，则得到函数y=f（x）（）求f（1）的值；（）对于任意a（0，+），求函数f（x）的最大值【考点】平面向量数量积的运算【分析】（）画出图形，建立直角坐标系，即得y=f（x）的解析式，代值计算即可（）通过分类讨论，利用二次函数的单调性即可判断出【解答】解：（1）如图所示，建立直角坐标系在直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB=2，CD=1，BC=a（a0），B（0，0），A（2，0），D（1，a），C（0，a）=x，（0x1）=+x=（2，0）+x（1，a）=（x2，xa），=（0，a）（x2，xa）=（2x，axa）y=f（x）=（2x，xa）（2x，axa）=（2x）2ax（axa）=（a2+1）x2（4+a2）x+4f（1）=a2+1（4+a2）+4=1（）由y=f（x）=（a2+1）x2（4+a2）x+4可知：对称轴x0=当0a时，1x0，函数f（x）在0，1单调递减，因此当x=0时，函数f（x）取得最大值4当a时，0x01，函数f（x）在0，x0）单调递减，在（x0，1上单调递增又f（0）=4，f（1）=1，f（x）max=f（0）=4综上所述函数f（x）的最大值为4【点评】本题考查了数量积运算、分类讨论、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题B卷学期综合本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20设全集U=R，集合A=x|x0，B=x|x|1，则A（UB）=x|1x0【考点】交、并、补集的混合运算【分析】化简集合B，根据补集与交集的定义求出结果即可【解答】解：全集U=R，集合A=x|x0，B=x|x|1=x|x1或x1，则UB=x|1x1，A（UB）=x|1x0故答案为：x|1x0【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目21已知函数若f（a）=2，则实数a=e2【考点】函数的值【分析】当a0时，f（a）=a2=2；当a0时，f（a）=lna=2由此能求出实数a【解答】解：函数，f（a）=2，当a0时，f（a）=a2=2，解得a=，不成立；当a0时，f（a）=lna=2，解得a=e2实数a=e2故答案为：e2【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用22定义在R上的函数f （x）是奇函数，且f（x）在（0，+）是增函数，f（3）=0，则不等式f（x）0的解集为（3，0）（3，+）【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】易判断f（x）在（，0）上的单调性及f（x）图象所过特殊点，作出f（x）的草图，根据图象可解不等式【解答】解：f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+）上是增函数，f（x）在（，0）上也是增函数，由f（3）=0，得f（3）=0，即f（3）=0，由f（0）=f（0），得f（0）=0，作出f（x）的草图，如图所示：f（x）0的解集为：（3，0）（3，+），故答案为：（3，0）（3，+）【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键23函数的值域为0，1（其中x表示不大于x的最大整数，例如3.15=3，0.7=0）【考点】函数的值域【分析】由题设中的定义，可对x分区间讨论，设m表示整数，综合此四类即可得到函数的值域【解答】解：设m表示整数当x=2m时，=m+0.5=m，=m=m此时恒有y=0当x=2m+1时，=m+1=m+1，=m+0.5=m此时恒有y=1当2mx2m+1时，2m+1x+12m+2mm+0.5 m+0.5m+1=m，=m此时恒有y=0当2m+1x2m+2时， 2m+2x+12m+3m+0.5m+1 m+1m+1.5此时=m，=m+1此时恒有y=1综上可知，y0，1故答案为0，1【点评】此题是新定义一个函数，根据所给的规则求函数的值域，求解的关键是理解所给的定义，一般从函数的解析式入手，要找出准确的切入点，理解x表示数x的整数部分，考察了分析理解，判断推理的能力及分类讨论的思想24在如图所示的三角形空地中，欲建一个面积不小于200m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位：m）的取值范围是10，20【考点】基本不等式【分析】设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得： =，（0x30）矩形的面积S=x（30x），利用S200解出即可【解答】解：设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得： =，解得y=30x，（0x30）矩形的面积S=x（30x），矩形花园的面积不小于200m2，x（30x）200，化为（x10）（x20）0，解得10x20满足0x30故其边长x（单位m）的取值范围是10，20故答案为：10，20【点评】本题考查了相似三角形的性质、三角形的面积计算公式、一元二次不等式的解法等基础知识与基本技能方法，属于基础题二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25（10分）（xx秋西城区期末）已知函数（）若，求a的值；（）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论【考点】对数函数的图象与性质；函数奇偶性的判断【分析】（）若，则=2，解得a的值；（）函数f（x）为奇函数，结合函数奇偶性的定义和对数的运算性质，可得答案【解答】解：（）函数，=，=2，解得：a=3；（）函数f（x）为奇函数，理由如下：函数f（x）的定义域（，1）（1，+）关于原点对称，且f（x）+f（x）=+=0，即f（x）=f（x），故函数f（x）为奇函数【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，对数函数的图象和性质，函数求值，难度中档26（10分）（xx秋西城区期末）已知函数f（x）=3x，g（x）=|x+a|3，其中aR（）若函数h（x）=fg（x）的图象关于直线x=2对称，求a的值；（）给出函数y=gf（x）的零点个数，并说明理由【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性【分析】（）函数h（x）=fg（x）=3|x+a|3 的图象关于直线x=2对称，则h（4x）=h（x）|x+a|=|4x+a|恒成立a=2；（）函数y=gf（x）=|3x+a|3的零点个数，就是函数G（x）=|3x+a|与y=3的交点，分当0a3时；当a3时；3a0时；当a3时，画出图象判断个数【解答】解：（）函数h（x）=fg（x）=3|x+a|3 的图象关于直线x=2对称，则h（4x）=h（x）|x+a|=|4x+a|恒成立a=2；（）函数y=gf（x）=|3x+a|3的零点个数，就是函数G（x）=|3x+a|与y=3的交点，当0a3时，G（x）=|3x+a|=3x+a与y=3的交点只有一个，即函数y=gf（x）的零点个数为1个（如图1）；当a3时，G（x）=|3x+a|=3x+a与y=3没有交点，即函数y=gf（x）的零点个数为0个（如图1）；3a0时，G（x）=|3x+a|与y=3的交点只有1个（如图2）；当a3时，G（x）=|3x+a|与y=3的交点有2个（如图2）；【点评】本题考查了函数的零点，把零点个数转化为两函数交点个数是常用方法，属于中档题27（10分）（xx秋西城区期末）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（1，0）（1）若a=1，b=2写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由【考点】函数解析式的求解及常用方法【分析】（1）由题意可得c=1，进而得到f（x），可取g（x）=x；（2）假设存在常数a，b，c满足题意，令x=1，可得a+b+c=1，再由二次不等式恒成立问题解法，运用判别式小于等于0，化简整理，即可判断存在【解答】解：（1）函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（1，0），可得ab+c=0，又a=1，b=2，则f（x）=x2+2x+1，由新定义可得g（x）=x为函数f（x）的一个承托函数；（2）假设存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数的一个承托函数即有xax2+bx+cx2+恒成立，令x=1可得1a+b+c1，即为a+b+c=1，即1b=a+c，又ax2+（b1）x+c0恒成立，可得a0，且（b1）24ac0，即为（a+c）24ac0，即有a=c；又（a）x2+bx+c0恒成立，可得a，且b24（a）（c）0，即有（12a）24（a）20恒成立故存在常数a，b，c，且0a=c，b=12a，可取a=c=，b=满足题意【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用赋值法和判别式法，考查运算能力，属于中档题