2019-2020学年高二数学上学期第三次月考试卷 理(含解析).doc

2019-2020学年高二数学上学期第三次月考试卷 理(含解析)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知等差数列的公差为2，且，则（ ）A. 12 B. 13 C. 14 D. 15【答案】C【解析】由等差数列的通项公式可知：，结合题意可得：，求解关于实数n的方程可得：.本题选择C选项.点睛：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法2.已知集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（）A. 3,+ B. 1,3 C. 3,+ D. 1,3【答案】A【解析】试题分析：因为A=xR|x22x33，选A.考点：集合包含关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假并注意和图示相结合，例如“pq”为真，则p是q的充分条件2等价法：利用pq与非q非p，qp与非p非q，pq与非q非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+)上单调递减的是（ ）A. y=x3 B. y=ln|x| C. y=sin(2x) D. y=x21【答案】D【解析】因为(x)3x3，根据偶函数的定义知，y=x3不是偶函数，y=ln|x|是偶函数，在区间(0,+)上是增函数，y=sin(2x)=cosx是偶函数，在区间(0,+)上不是单调函数 ，y=x21是偶函数，且在区间(0,+)上是增函数，故选D. 4.向量a,b满足a=3,b=2,aba+2b=2，则与b的夹角为（ ）A. 23 B. 3 C. 56 D. 6【答案】A【解析】由题意结合向量的运算法则可得：aba+2b=a22b2+ab=924+ab=1+ab据此有：1+ab=2,ab=3，设两向量的夹角为，则：cos=abab=332=12,=23，即与b的夹角为23.本题选择A选项.5.以下茎叶图记录了甲，乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位:分）甲组乙组909x215y87424已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为（ ）A. 2，5 B. 5，5 C. 5，8 D. 8，8【答案】C【解析】因为甲组数据的中位数为15，所以x=5，因为乙组数据的平均数为16.8，所以由9+15+10+y+18+245=16.8得y=8 ，故选C.6.已知角的终边过点P(8m,6sin30o)，且cos=45，则m的值为( )A. 12 B. 12 C. 32 D. 32【答案】A【解析】因为角的终边过点P(8m,6sin30o)，所以r=64m2+9 ，cos=8mr=45 ，解得m=12，故选A.7.已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则PFO的面积为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】抛物线的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=1，因为抛物线y2=4x上的一点P到焦点的距离为5，由抛物线定义可知，点P到准线x=1 的距离是5.则点P到x轴的距离是4，所以PFO的面积为1214=2，故选B. 8.已知实数x,y满足y1y2x1x+ym，如果目标函数z=xy的最小值为2，则实数m等于（）A. 4 B. 2 C. 0 D. 1【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由目标函数z=xy，得y=xz，如图所示，当直线 y=xz 过点B时，最小，把B（m1,1) 代入z=xy=m11=2，解得m=0 ，故选C.点睛：线性规划问题，涉及到可行域中有参数问题，综合性要求较高解决此类问题时，首先做出可行域，然后结合参数的几何意义进行分类讨论，本题中显然直线越上移越小，结合可行域显然最小值在B点取得，从而求出m9.已知f(x)=asinxbcosx，若f(4x)=f(4+x)，则直线axby+c=0的倾斜角为（ ）A. 4 B. 3 C. 23 D. 34【答案】D【解析】试题分析：f(4x)=f(4+x),f(x)关于x=4对称,f(0)=f(2),即a=b,直线axby+c=0的斜率k=ab=1,其倾斜角为34,故选D.考点：1.三角函数的对称性；2.直线的斜率与倾斜角.10.某四面体的三视图如右图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的体积是（ ）A. 43 B. 83 C. 4 D. 8【答案】A【解析】由三视图知该几何体为棱锥SABD,其中SC平面ABCD,此三棱锥的体积V=1312222=43.故选A . 11.已知点F1,F2分别为椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，e1,e2分别是C1和C2的离心率，若P是C1和C2在第一象限内交点，F1PF2=2,则1e1+1e2 的值可能在下列哪个区间（ ）A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (4,5)【答案】A【解析】设|F1P|=m,|F2P|=n，如图：则m+n=2a1,mn=2a2,m2+n2=4c2，可得：a12+a22=2c2，即1e12+1e22=2，由重要不等式知(1e1+1e2)22(1e12+1e22) ，所以1e1+1e2y0，且1xy+4x+2y=1，则x+y的最小值为（ ）A. 4+323 B. 6+523 C. 6+423 D. 9+423【答案】D【解析】实数x,y 满足xy0，且1xy+4x+2y=1，则x+y=13(xy)+23(x+2y)=13(xy)+2(x+2y)(1xy+4x+2y)= 13(9+2(x+2y)xy+4(xy)x+2y)13(9+28)=9+423，当且仅当2(x+2y)xy=4(xy)x+2y，即x=4,y=1时等号成立. 故选D.点睛：本题是均值不等式的灵活运用问题，解决此类问题，需要观察条件和结论，结合二者构造新的式子，对待求式子进行变形，方能形成使用均值不等式的条件，本题注意到x+y=13(xy)+23(x+2y)，所以把条件构造为x+y=13(xy)+2(x+2y)(1xy+4x+2y)，从而解决问题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分只填结果）13.曲线y=5ex+3在点(0,2)处的切线方程为_.【答案】y=5x2或5x+y+2=0.【解析】试题分析：y=5ex+3，y=5ex，故所求的切线的斜率为k=5e0=5，故所求的切线的方程为y(2)=5x，即y=5x2或5x+y+2=0.考点：本题考查利用导数求函数图象的切线问题，属于中等题.【此处有视频，请去附件查看】14.设正四面体的棱长为2，则它的外接球的体积为_.【答案】32【解析】正四面体补成为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，正四面体的棱长为2，即正方体面上的对角线长为2，所以正方体棱长为1，对角线长为3 ，所以球的体积为：43R3=43(32)3=32,故填32.15.直线y=2x1与双曲线x28y24=1交于A,B两点，则AB的中点坐标为_.【答案】(47,17)【解析】【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2)，中点M（x0,y0)，分别将两个点代入双曲线作差化简可得k=12x0y0，与已知直线y0=2x0-1联立，即可得解.【详解】设A(x1,y1),B(x2,y2)，中点M（x0,y0)， 则x28-y124=1，x228-y224=1，两式相减，化简得：k=y2-y1x2-x1=48x1+x2y2+y1=12x0y0=2 ，又中点在直线上，所以y0=2x0-1，联立解得：x0=47,y0=17，故答案为：（47，17）.【点睛】直线与圆锥曲线相交时，如果涉及相交线段的中点及直线的斜率，可考虑运用点差法求解，点差法就是把交点坐标代入圆锥曲线方程，两方程作差，变形处理后即可得到直线斜率与线段中点的关系式.16.已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，M是椭圆上一动点，F1和F2是左、右两焦点，由F2向F1MF2的外角平分线作垂线，垂足为N，则N点的轨迹方程为_.【答案】x2+y2=a2【解析】如图所示，设F2N交F1M于点P，由已知可得：MNF2P,F2MN=PMNMP=F2M,点N为线段F2P的中点.连接ON，则ON为F1F2P的中位线，ON=12PF1，PF1=F1M+F2M=2a，ON=a，即N点的轨迹方程为x2+y2=a2三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知数列an是递增的等比数列，且a1+a4=9,a2a3=8.（）求数列an的通项公式；（）设Sn为数列an的前n项和，bn=an+1SnSn+1，求数列bn的前n项和Tn【答案】（）an=2n1（）2n+122n+11【解析】试题分析：（1）设等比数列an的公比为q，根据已知由等比数列的性质可得a1(1+q3)=9,a12q3=8，联立解方程再由数列an为递增数列可得a1=1q=2则通项公式可得（2）根据等比数列的求和公式，有sn=12n12=2n1所以bn=an+1snsn+1=2n(2n1)(2n+11)，裂项求和即可试题解析：（1）设等比数列an的公比为q，所以有a1+a4=a1(1+q3)=9,a2a3=a12q3=8联立两式可得a1=1q=2或者a1=8q=12又因为数列an为递增数列，所以q1，所以a1=1q=2数列an的通项公式为an=2n1（2）根据等比数列的求和公式，有sn=12n12=2n1所以bn=an+1snsn+1=2n(2n1)(2n+11)=12n112n+11所以Tn=113+1317+.+12n112n+11=112n+11=2n+122n+11考点：等比数列的通项公式和性质，数列求和【此处有视频，请去附件查看】18.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知向量m=(cosB,2cos2C21)，n=(c,b2a)，且mn=0.（1）求角C的大小；（2）若点D为AB上一点，且满足AD=DB,|CD|=7,c=23，求ABC的面积.【答案】（1）3；（2）23【解析】试题分析：（1）根据数量积的定义得ccosB+b-2acosC=0，由正弦定理得sinA-2sinAcosC=0，即可求出；（2）利用向量的几何意义和向量的模的计算以及余弦定理和三角形的面积公式即可求出.试题解析：（1）由mn=0，得ccosB+b-2acosC=0，由正弦定理可得sinCcosB+sinB-2sinAcosC=0，sinA-2sinAcosC=0，sinA0，cosC=12，C0,，C=3（2）AD=DB，CD-CA=CB-CD,2CD=CA+CB，又CD=7,c=23，两边平方： 4CD2=b2+a2+2abcosC=b2+a2+ab=28 c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=12，由可得ab=8SABC=12absinC=23.点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.19.某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间如下:组号第一组第二组第三组第四组第五组分组50,60)60,70)70,80)80,90)90,100(1)求图中a的值;(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分;(3)现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生,将该样本看成一个总体,从中随机抽取2名,求其中恰有1人的分数不低于90分的概率.【答案】(1) a=0.005;(2) 74.5;(3)见解析.【解析】试题分析：（1）由频率分布图中小矩形面积和为1，能求出a的值（2）由频率分布直方图，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表即可估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分（）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，则第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人，由此利用对立事件概率计算公式能求出从中随机抽取2名，第4组的至少有一位同学入选的概率试题解析：（1）由题意得10a+0.0110+0.0210+0.0310+0.03510=1，所以a=0.005（2）由直方图分数在50，60的频率为0.05，60，70的频率为0.35，70，80的频率为0.30，80，90的频率为0.20，90，100的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：550.05+650.35+750.30+850.20+950.10=74.5（3）由直方图，得：第3组人数为0.3100=30。第4组人数为0.2100=20人，第5组人数为0.1100=10人所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：人，第4组：人，第5组： =1人所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：（A1，A2），（A1，A3），（B1，B2），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），其中恰有1人的分数不低于90（分）的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5种所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为515=13 20.已知直线xy=1与双曲线x2a2y2=1(a0)有两个不同的交点，求双曲线离心率的范围.【答案】62,22,+【解析】试题分析：直线方程与双曲线方程联立，消去y 并整理得关于x的方程，因为有两个不同交点，利用判别式确定的范围，即可求出离心率的范围. 试题解析：联立消去得，由于直线与双曲线有两个不同的交点，则且，解得或 ， 21.如图，在四棱锥PABCD中，AD/BC，ABAD，ABPA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB平面ABCD，（）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为55，求二面角APCD的平面角的余弦值【答案】（）见解析（）155【解析】试题分析：（1）证明面面垂直的基本思路，是在其中一个面内，找一条直线垂直于另一个平面内两条相交直线，本题只需证明EDPA，EDAC即可；（2）重点是找二面角的平面角，即在两个面内分别找垂直于交线的直线，然后构造三角形求解。当然，利用空间向量也是解决本题的好办法。试题解析：法一（1）取AD中点F，连接BF，则FD/_BE，四边形FBED是平行四边形，FB/ED直角BAF和直角CBA中，BAAF=CBBA=2直角BAF直角CBA，易知BFACEDAC平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCD=ABABPAPA平面ABCDPAED，PAAC=AED平面PAC.平面PED平面PAC.（2）设ED交AC于G，连接PG，则EPG是直线PE与平面PAC所成的角.设BE=1由AGDCGE，知DGGE=ADEC=23，AB=AD=2EG=35DE=355，DG=255PE=3，AE=5,PA=PE2AE2=2作GHPC于H，由PCDE，知PC平面HDG，PCDG，GHD是二面角APCD的平面角.PCAGCH，PAGH=PCGC，而GC=CE2EG2=655GH=PAGCPC=305tanGHD=63，cosGHD=155，即二面角APCD的平面角的余弦值为155.法二：（1）平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCD=AB，ABPAPA平面ABCD又ABAD，故可如图建立空间直角坐标系oxyz由已知D(0,2,0)，E(2,1,0)，C(2,4,0)，P(0,0,)（0）AC=(2,4,0)，AP=(0,0,)，DE=(2,1,0)DEAC=44+0=0，DEAP=0，DEAC，DEAP，ED平面PAC平面PED平面PAC（2）由（1），平面PAC的一个法向量是DE=(2,1,0)，PE=(2,1,)设直线PE与平面PAC所成的角为，sin=|cos|=|4155+2|=55，=20=2，即P(0,0,2)设平面PCD的一个法向量为n =(x0,y0,z0)，DC=(2,2,0)，DP=(0,2,2)由n DC，n DP2x0+2y0=02y0+2z0=0，令x0=1，则n =(1,1,1)cos=2+135=155显然二面角APCD的平面角是锐角，二面角APCD的平面角的余弦值为155考点：空间几何体，线面位置关系22. （本小题满分12分）设椭圆的离心率，e=12右焦点到直线的距离O为坐标原点（）求椭圆C的方程；（II）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A,B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值【答案】（）（）【解析】解：（I）由由右焦点到直线的距离为得：解得所以椭圆C的方程为4分（II）设，直线AB的方程为与椭圆联立消去y得即整理得所以O到直线AB的距离8分，当且仅当OA=OB时取“=”号。由即弦AB的长度的最小值是13分