九年级数学上册 专题突破讲练 圆中辅助线添加技巧试题 （新版）青岛版.doc

圆中辅助线添加技巧1. 辅助线方法：连半径、作垂直、构造直角三角形。说明：此方法多用于求半径或弦长，利用勾股定理求长度。方法依据：（垂径定理）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。2. 辅助线方法：连中点说明：在圆中如果出现弦的中点或弧的中点，连接圆心和中点的线段。方法依据：（垂径定理推论）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。3. 与切线有关的辅助线作法： （1）点已知，连半径，证垂直说明：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径。 （2）点未知，作垂直，证半径说明：当直线和圆的公共点没有明确时，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离（d）等于半径(r)。（3）见切线，连半径，得垂直说明：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。方法依据：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。例题1 O的弦AB、CD相交于点P，且AC=BD。求证：PO平分APD。解析：由等弦AC=BD可得出弧AC等于弧BD，进一步得出弧AB等于弧CD，从而可证等弦AB=CD，由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OEAB，OFCD，易证OPEOPF，得出PO平分APD。答案：证明：作OEAB于E，OFCD于FAC=BD AB=CDOPE=OPF PO平分APD.点拨：在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。例题2（鞍山一模）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以AC为直径作圆O，与BC交于点E，过点E作EDAB，垂足为点D。求证：DE为O的切线。解析：连接OE，根据等边对等角，由AB=AC得到B=C，再由半径OC与OE相等得到C=CEO，利用等量代换得到B=CEO，由同位角相等两直线平行，得到AB与EO平行，再根据两直线平行内错角相等，由角BDE为直角得到角DEO为直角，又OE为圆O的半径，根据切线的判断方法得到DE为O的切线。答案：证明：连接OE，AB=AC，B=COC=OE，C=CEO， B=CEO，ABEO，DEAB，EODE，EO是圆O的半径，D为O的切线。 点拨：证明切线的方法有两种：有连接圆心与这点，证明夹角为直角；无点作垂线，证明垂线段长等于半径。此题属于前一种情况。【思路点拨】几何证明中添加辅助线，其作用主要在于沟通“条件”和“结论”。具体来说，就是把分散的条件集中。使隐蔽的条件显露。将复杂的问题化简，为推证创造条件，促成问题的最终解决。圆中的辅助线的画法比较多，具体的题应该选用怎样的辅助线，关键还是要充分地顺推已知和逆推求证，配合恰当的辅助线找到已知和求证的衔接点。例题 （合山市模拟）如图，大半圆O与小半圆O1相切于点C，大半圆的弦AB与小半圆相切于点F，且ABCD，AB=6cm，CD=12cm，则图中阴影部分的面积是（）cm2A. B. C. D. 解析：将O1移动到O1与O重合，则F和F重合，连接OB，得出阴影部分的面积是：S=（OB2OF2）（S扇形AOBS三角形AOB），求出OFAB，由垂径定理求出AF=BF=3cm，代入即可得出答案。答案：解：将O1移动到O1与O重合，则F和F重合，连接OB，AO，ABCD，AB=6cm，CD=12cm，AB切O1于F，O1FAB，OFAB，由垂径定理得：AF=BF=3cm，在RtBOF中，BF=3cm，BO=CD=6cm，即BF=OB，BOF=30，由勾股定理得：OF= cm，同理AOF=30，AOB=60，阴影部分的面积是S=（OB2OF2）（S扇形AOBSAOB）=（OB2OF2） +6=BF26+9=96+9 =（9）cm2。故选A。点拨：本题考查了勾股定理，垂径定理，切线性质等知识点，解此题关键是得出阴影部分的面积S=（OB2OF2）（S扇形AOBS三角形AOB）=BF2（S扇形AOBS三角形AOB），题目的综合性较强。（答题时间：30分钟）一、选择题1. （毕节地区）如图，已知O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A. 6 B. 5C. 4 D. 32. （娄底）如图，O1、O2相交于A、B两点，两圆半径分别为6cm和8cm，两圆的连心线O1O2的长为10cm，则弦AB的长为（）A. 4.8cm B. 9.6cmC. 5.6cm D. 9.4cm3. （内江）如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分BAC，则AD的长为（）A. cm B. cmC. cmD. 4cm*4. 如图，在RtABC中，ACB=90，O为ABC的外接圆，AC=6cm，BC=8cm，P为BC的中点。动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆。设点Q运动的时间为t s。若P与O相切，则t的值是（）A. t=1 B. t=3C. t=2或t=3D. t=1或t=4*5.（日照三模）如图，AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，点E是弧AC的中点，连接EB，CA交于点F，则=（）A. B. C. D. 二、填空题6. （南京）如图，在O中，CD是直径，弦ABCD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，BCD=2230，则O的半径为 cm。7. （自贡）一个边长为4cm的等边三角形ABC与O等高，如图放置，O与BC相切于点C，O与AC相交于点E，则CE的长为 cm。*8. （高淳县一模）如图，半径为2的两个等圆O1与O2外切于点P，过O1作O2的两条切线，切点分别为A、B，与O1分别交于C、D，则弧APB与弧CPD的长度之和为 。*9. （温州）如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE= AB。O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EGEF=2。当边AD或BC所在的直线与O相切时，AB的长是 。三、解答题10. （宜宾）已知：在ABC中，以AC边为直径的O交BC于点D，在劣弧上取一点E使EBC=DEC，延长BE依次交AC于点G，交O于H。（1）求证：AC丄BH；（2）若ABC=45，O的直径等于10，BD=8，求CE的长。*11. （浦东新区二模）已知：如图，PAQ=30，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径作O交射线AQ于E、F两点，求：（1）圆心O到AQ的距离；（2）线段EF的长。*12. （上海）如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB= ，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G。（1）当圆C经过点A时，求CP的长；（2）连接AP，当APCG时，求弦EF的长；（3）当AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长。一、1. B 解：过O作OCAB于C，AC=BC= AB=12，在RtAOC中，由勾股定理得：OC= =5。故选B。2. B 解：连接AO1，AO2。O1，O2相交于A、B两点，两圆半径分别为6cm和8cm，两圆的连心线O1O2的长为10cm，O1O2AB，AC= AB，设O1C=x，则O2C=10x，62x2=82（10x）2，解得：x=3.6，AC2=62x2=363.62=23.04，AC=4.8cm，弦AB的长为9.6cm。故选B。3. A 解：连接OD，OC，作DEAB于E，OFAC于F，CAD=BAD（角平分线的性质），=，DOB=OAC=2BAD，AOFODE，OE=AF= AC=3（cm），在RtDOE中，DE= =4（cm），在RtADE中，AD= =4（cm）。故选A。4. D 解：作直线OP交O于M和N，根据相切两圆的连心线过切点可得M、N为切点，如图1，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm，由勾股定理得：AB=10cm，即O的半径是5cm，O为AB中点，P为BC中点，OP= AC=3cm，PM=OMOP=5cm3cm=2cm，即PQ=2；时间t=22=1（s）；如图2，PN=ON+OP=5cm+3cm=8cm，PQ=PN=8cm，时间t=82=4（s）。故选D。5. D 解：连接OE、BC，OE与AC交于点M。E为弧AC的中点，易证OEAC，C=90，AOE=45，OEBC， 设OM=1，则AM=1，AC=BC=2，OA=，OE=，EM=1，OEBC，。故选D。二、6. 2 解：连接OB，如图，BCD=2230，BOD=2BCD=45，ABCD，BE=AE= AB=2 =，BOE为等腰直角三角形，OB=BE=2（cm）。7. 3 解：连接OC，并过点O作OFCE于F，且ABC为等边三角形，边长为4，故高为2，即OC=，又ACB=60，故有OCF=30，在RtOFC中，可得FC=OCcos30=，OF过圆心，且OFCE，根据垂径定理易知CE=2FC=3。8. 2 解：连接O1O2、O2A、O2BO1A是切线，O2AO1A，又O1O2=2O2A，AO1O2=30，AO1B=60，AO2B=120，CPD的弧长=，APB的弧长=APB与CPD的弧长之和为2。9. 12或4 边AB所在的直线不会与O相切；边BC所在的直线与O相切时，如图，过点G作GNAB，垂足为N，EN=NF，又EGEF=2，EGEN=1，又GN=AD=8，设EN=x，则，根据勾股定理得：，解得：x=4，GE=，设O的半径为r，由OE2=EN2+ON2得：r2=16+（8r）2，r=5。OK=NB=5，EB=9，又AE= AB，AB=12。同理，当边AD所在的直线与O相切时，AB=4。三、10. （1）证明：连接AD，DAC=DEC，EBC=DEC，DAC=EBC，AC是O的直径，ADC=90，DCA+DAC=90，EBC+DCA=90，BGC=180（EBC+DCA）=18090=90，ACBH。（2）解：BDA=180ADC=90，ABC=45，BAD=45，BD=AD，BD=8，AD=8，在直角三角形ADC中，AD=8，AC=10，根据勾股定理得：DC=6，则BC=BD+DC=14，EBC=DEC，BCE=ECD，BCEECD，即CE2=BCCD=146=84，CE= =2。11. 解：（1）过点O作OHEF，垂足为点H，OHEF，AHO=90，在RtAOH中，AHO=90，PAQ=30，OH= AO，BC=10cm，BO=5cm。AO=AB+BO，AB=3cm，AO=3+5=8cm，OH=4cm，即圆心O到AQ的距离为4cm。（2）连接OE，在RtEOH中，EHO=90，EH2+HO2=EO2，EO=5cm，OH=4cm，EH= =3cm，OH过圆心O，OHEF，EF=2EH=6cm。12. 解：（1）如图1，设O的半径为r，当点A在C上时，点E和点A重合，过点A作AHBC于H，BH=ABcosB=4，AH=3，CH=4，AC= =5，此时CP=r=5。（2）如图2，若APCE，APCE为平行四边形，CE=CP，四边形APCE是菱形，连接AC、EP，则ACEP，AM=CM=，由（1）知，AB=AC，则ACB=B，CP=CE=，EF=。（3）如图3：过点C作CNAD于点N，cosB=，B45，BCG90，BGC45，BGCB=GAE，即BGCGAE，又AEG=BCGACB=B=GAE，当AEG=GAE时，A、E、G重合，则AGE不存在。即AEGGAE只能AGE=AEG，ADBC，GAEGBC，即，解得：AE=3，EN=ANAE=1，CE=。圆C的半径为。