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第二章 推理与证明章末检测(二)时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1根据偶函数定义可推得“函数f(x)x2在R上是偶函数”的推理过程是()A归纳推理B类比推理C演绎推理 D非以上答案解析：根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.答案：C2下面四个推理不是合情推理的是()A由圆的性质类比推出球的有关性质B由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180，归纳出所有三角形的内角和都是180C某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的解析：A是类比推理，B、D是归纳推理，C不是合情推理答案：C3用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a20”，你认为这个推理()A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D是正确的解析：这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a20”显然结论错误，原因是大前提错误答案：A4设n为正整数，f(n)1，计算得f(2)，f(4)2，f(6)，f(8)3，f(10)，观察上述结果，可推测出一般结论为()Af(2n) Bf(2n)Cf(2n) Df(n)解析：观察所给不等式，不等式左边是f(2n)，右边是，故选B.答案：B5已知数列an的前n项和为Sn，且a11，Snn2an(nN*)，计算S1，S2，S3，S4，可归纳猜想出Sn的表达式为()A. B.C. D.解析：由a11，得a1a222a2，a2，S2；又1a332a3，a3，S3；又1a416a4，得a4，S4；由S1，S2，S3，S4，可以猜想Sn.答案：A6如果两个数之和为正数，则这两个数()A一个是正数，一个是负数B两个都是正数C至少有一个是正数D两个都是负数解析：这两个数中至少有一个数是正数，否则，若这两个数都不是正数，则它们的和一定是非正数，这与“两个数之和为正数”相矛盾答案：C7已知n为正偶数，用数学归纳法证明12时，若已假设nk(k2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()Ank1时等式成立 Bnk2时等式成立Cn2k2时等式成立 Dn2(k2)时等式成立解析：因为假设nk(k2为偶数)，故下一个偶数为k2，故选B.答案：B8用数学归纳法证明1222(n1)2n2(n1)22212时，从nk到nk1时，等式左边应添加的式子是()A(k1)22k2B(k1)2k2C(k1)2D.(k1)2(k1)21解析：当nk时，左边1222(k1)2k2(k1)22212，当nk1时，左边1222(k1)2k2(k1)2k2(k1)22212，从nk到nk1，左边应添加的式子为(k1)2k2.答案：B9.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于()A. B.C.1 D.1解析：如图所示，设双曲线方程为1(a0，b0)，则F(c,0)，B(0，b)，A(a,0)(c，b)，(a，b)又，b2ac0.c2a2ac0.e2e10.e或e(舍去)，故应选A.答案：A10用数学归纳法证明不等式的过程中，由nk到nk1时，不等式左边的变化情况为()A增加B增加C增加，减少D增加，减少解析：当nk时，不等式的左边，当nk1时，不等式的左边，所以()，所以由nk到nk1时，不等式的左边增加，减少.答案：C11将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，为“梯形数”根据图形的构成，此数列an的第2 012项与5的差，即a2 0125()A2 0182 012 B2 0182 011C1 0092 012 D1 0092 011解析：由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n1时，a123(23)2；n2时，a2234(24)3由此我们可以推断：an23(n2)2(n2)(n1)a2 01252(2 0122)(2 0121)51 0082 01351 0092 011，故选D.答案：D12语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种若A同学每科成绩不低于B同学，且至少有一科成绩比B高，则称“A同学比B同学成绩好”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，并且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的问满足条件的最多有多少学生()A2 B3C4 D5解析：假设A、B两个同学的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾因此，没有任意两个同学数学成绩是相同的同理，没有任意两个同学语文成绩是相同的因为语文、数学两学科成绩各有3种，因而同学数量最大为3.即 3位同学成绩分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13已知x，yR，且xya2bab2.证明：要证a3b3a2b ab2成立，即需证(ab)(a2abb2)ab(ab)成立又因ab0，故只需证a2abb2ab成立，即需证a22abb20成立，即需证(ab)20成立而依题设ab，则(ab)20显然成立由此命题得证18(本小题满分12分)用综合法或分析法证明：(1)如果a，b0，则lg ；(2)已知m0，a，bR，求证：2.证明：(1)当a，b0时，有，lglg，lglg ab.(2) m0，1m0.所以要证原不等式成立，只需证(amb)2(1m)(a2mb2)，即证m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20显然成立，故原不等式得证19. (本小题满分12分)已知函数f(x)ax(a1)(1)证明：函数f(x)在(1，)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)0没有负数根证明：(1)任取x1、x2(1，)，不妨设x10，ax2x11且ax10，ax2ax1ax1(ax2x11)0，又x110，x210，于是f(x2)f(x1)ax2ax10，故函数f(x)在(1，)上为增函数(2)设存在x00(x01)满足f(x0)0，则ax0，且0ax01.01，即x02，与假设x00矛盾故方程f(x)0没有负数根20(本小题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解析：(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.21(本小题满分13分) 设数列a1，a2，an，中的每一项都不为0.证明an为等差数列的充分必要条件是：对任何nN*，都有.证明：先证必要性设数列an的公差为d.若d0，则所述等式显然成立若d0，则.再证充分性(直接证法)依题意有，.得，在上式两端同乘a1an1an2，得a1(n1)an1nan2.同理可得a1nan(n1)an1(n2)，得2nan1n(an2an)，即an2an1an1an，又由当n2时，得等式，两端同乘a1a2a3，即得a1a32a2，知a3a2a2a1，故对任意nN*均成立所以an是等差数列22(本小题满分13分)(xx高考北京卷)对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，(an，bn)，记T1(P)a1b1，Tk(P)bkmaxTk1(P)，a1a2ak(2kn)，其中maxTk1(P)，a1a2ak表示Tk1(P)和a1a2ak两个数中最大的数(1)对于数对序列P：(2,5)，(4,1)，求T1(P)，T2(P)的值；(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P：(c，d)，(a，b)，试分别对ma和md两种情况比较T2(P)和T2 (P)的大小；(3)在由五个数对(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值(只需写出结论)解析：(1)T1(P)257，T2(P)1maxT1(P)，241max7,68.(2)T2(P)maxabd，acd，T2(P)maxcdb，cab当ma时，T2(P)maxcdb，cabcdb.因为abdcbd，且acdcbd，所以T2(P)T2(P)当md时，T2(P)maxcdb，cabcab.因为abdcab，且acdcab，所以T2(P)T2(P)所以无论ma还是md，T2(P)T2(P)都成立(3)数对序列P：(4,6)，(11,11)，(16,11)，(11,8)，(5,2)的T5(P)值最小，T1(P)10，T2(P)26，T3(P)42，T4(P)50，T5(P)52.
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