九年级数学下册第2章二次函数2.2二次函数的图象与性质2.2.4二次函数的图象与性质同步练习新版北师大版.doc

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2.2.4二次函数的图像与性质一、夯实基础1与x轴有唯一的交点(2,0),且经过(1,9)的抛物线的解析式为()Ay(x2)2 By(x2)2 Cy(x2)2 Dy(x2)22抛物线的图象如图所示,根据图象可知,抛物线的解析式可能是 ()Ayx2x2ByCyDyx2x23已知抛物线过A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于C点,且BC=3,则这条抛物线的解析式为 ( ) Ay=x2+2x+3 Byx22x3 Cy=x2+2x3或yx2+2x+3 Dy=x2+2x+3或yx22x34如果点(2,3)和(5,3)都是抛物线y=ax2+bx+c上的点,那么抛物线的对称轴是 ( )Ax=3 Bx=3 Cx= Dx=5.(16四川泸州)已知二次函数y=ax2bx2(a0)的图象的顶点在第四象限,且过点(1,0),当ab为整数时,ab的值为()A或1 B或1 C或D或6已知抛物线yax2bxc经过点(2,7)、(6,7)、(3,8),则该抛物线上纵坐标为8的另一点的坐标是_7将抛物线yax2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,平移后的抛物线经过点(3,1),那么平移后的抛物线的关系式为_二、能力提升8平时我们在跳绳时,绳摇到最高点处的形状可近似地看做抛物线,如图所示正在摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m,距地高均为1 m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 m,25 m处绳子在摇到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是15 m,则学生丁的身高为 ( )A1.5 m B1.625 m C1.66 m D1.67 m9如图,已知二次函数yx2bxc的图象经过点(1,0)、(1,2),当y随x的增大而增大时,x的取值范围是_10如图所示,已知二次函数yax2+bx+c(a0)的图象的顶点p的横坐标是4,图象与x轴交于点A(m,0)和点B,且点A在点B的左侧,那么线段AB的长是 (用含字母m的代数式表示)三、课外拓展11如图,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为6米,底部宽度OM为12米现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;(2)求这条抛物线的解析式12如图,在平面直角坐标系中,点A、B、C、P的坐标分别为(0,2)、(3,2)、(2,3)、(1,1)(1)请在图中画出ABC,使得ABC与ABC关于点P成中心对称;(2)若一个二次函数的图象经过(1)中ABC的三个顶点,求此二次函数的关系式13在平面直角坐标系中,O为坐标原点,二次函数yx2(k1)x4的图象与y轴交于点A,与x轴的负半轴交于点B,且SOAB6.(1)求点A与点B的坐标;(2)求此二次函数的解析式14如图,ABCD中,AB4,点D的坐标是(0,8),以点C为顶点的抛物线yax2bxc 经过x轴上的点A、B(1)求点A,B,C的坐标;(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D,求平移后抛物线的解析式15如图,在直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(1,0)、(3,0)、(0,3)过A,B,C三点的抛物线的对称轴为直线l,D为对称轴l上一动点(1)求抛物线的解析式;(2)求当ADCD最小时点D的坐标四、中考链接1(xx陕西)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+5经过点M(1,3)和N(3,5)(1)试判断该抛物线与x轴交点的情况;(2)平移这条抛物线,使平移后的抛物线经过点A(2,0),且与y轴交于点B,同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形,请你写出平移过程,并说明理由2.(xx广西百色12分)正方形OABC的边长为4,对角线相交于点P,抛物线L经过O、P、A三点,点E是正方形内的抛物线上的动点(1)建立适当的平面直角坐标系,直接写出O、P、A三点坐标;求抛物线L的解析式;(2)求OAE与OCE面积之和的最大值3.(xx贵州安顺14分)如图,抛物线经过A(1,0),B(5,0),C(0,)三点(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标;(3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由答案1. 解析:由题意可设抛物线的解析式为ya(x2)2(a0),将点(1,9)代入解析式可得99a,所以a1,所以抛物线的解析式为y(x2)2.答案:B2. 解析:将(1,0),(2,0)代入各选项验证,结合开口方向可知选D答案:D3D提示:注意由条件不能确定抛物线的开口方向,所以此题不要漏解 4C 提示:点(2,3)与(5,3)关于直线x对称 5. A知a0,0,a+b2=0,故b0,且b=2a,ab=a(2a)=2a2,于是0a2,22a22,又ab为整数,2a2=1,0,1,故a=,1,b=,1,ab=或1,故选A.6. 解析:由题意可知解得抛物线的解析式为yx24x5.由x24x58,即x24x30,解得x3或x1.故另一点为(1,8)答案:(1,8)7. 答案:y4x216x138B提示:建立如图282所示的平面直角坐标系,由图象可知三点坐标(1,1),(0,1.5),(3,1),则抛物线的解析式为yx2x,又当x1.5时,代入求出y1.625故选B9. 解析:将点(1,0),(1,2)代入yx2bxc,可得b1,c2,因此二次函数的对称轴为x.答案:x10答案:82m【提示:点A到抛物线对称轴的距离为4m,所以线段AB的长为2(4m)82m】 11. 解:(1)M(12,0),P(6,6)(2)设抛物线的解析式为ya(x6)26(a0)抛物线ya(x6)26经过点(0,0),0a(06)26,即a.抛物线的解析式为y(x6)26.12. 解:(1)画出ABC如图所示(2)由(1)知,点A,B,C的坐标分别为(2,0),(1,0),(0,1)因为二次函数图象与y轴的交点C的坐标为(0,1),故可设所求二次函数关系式为yax2bx1(a0)将A(2,0),B(1,0)的坐标代入,得 解得 故所求二次函数关系式为y1.13. 解:(1)由解析式可知,当x0时,y4,点A的坐标为(0,4)SOABBO46,BO3.点B的坐标为(3,0)(2)把点B的坐标(3,0)代入yx2(k1)x4,得(3)2(k1)(3)40.解得k1.所求二次函数的解析式为yx24.14. 解:(1)在ABCD中,CDAB且CDAB4,点C的坐标为(4,8)设抛物线的对称轴与x轴相交于点H,则AHBH2.点A、B的坐标分别为A(2,0)、B(6,0)(2)由抛物线yax2bxc的顶点为C(4,8),设抛物线的解析式为ya(x4)28(a0),把A(2,0)代入上式,并解得a2.y2(x4)28.设平移后抛物线的解析式为y2(x4)28k,把(0,8)代入上式,并解得k32.平移后抛物线的解析式为y2(x4)240,即y2x216x8.15. 解:(1)设抛物线的解析式为yax2bxc(a0)将(1,0),(3,0),(0,3)代入上式,得解得a1,b2,c3.抛物线的解析式为yx22x3.(2)连接BC,交直线l于点D点B与点A关于直线l对称,ADBDADCDBDCDBC由“两点之间,线段最短”的原理可知:此时ADCD最小,点D的位置即为所求设直线BC的解析式为ykxb(k0),过点B(3,0),C(0,3),解得k1,b3.直线BC的解析式为yx3.点D在对称轴上,点D的纵坐标为yD132.点D的坐标为(1,2)中考链接:1解:(1)由抛物线过M、N两点,把M、N坐标代入抛物线解析式可得,解得,抛物线解析式为y=x23x+5,令y=0可得x23x+5=0,该方程的判别式为=(3)2415=920=110,抛物线与x轴没有交点;(2)AOB是等腰直角三角形,A(2,0),点B在y轴上,B点坐标为(0,2)或(0,2),可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+n,当抛物线过点A(2,0),B(0,2)时,代入可得,解得,平移后的抛物线为y=x2+3x+2,该抛物线的顶点坐标为(,),而原抛物线顶点坐标为(,),将原抛物线先向左平移3个单位,再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线;当抛物线过A(2,0),B(0,2)时,代入可得,解得,平移后的抛物线为y=x2+x2,该抛物线的顶点坐标为(,),而原抛物线顶点坐标为(,),将原抛物线先向左平移2个单位,再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线2.【分析】(1)以O点为原点,线段OA所在的直线为x轴,线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系根据正方形的边长结合正方形的性质即可得出点O、P、A三点的坐标;设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c,结合点O、P、A的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;(2)由点E为正方形内的抛物线上的动点,设出点E的坐标,结合三角形的面积公式找出SOAE+SOCE关于m的函数解析式,根据二次函数的性质即可得出结论【解答】解:(1)以O点为原点,线段OA所在的直线为x轴,线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系,如图所示正方形OABC的边长为4,对角线相交于点P,点O的坐标为(0,0),点A的坐标为(4,0),点P的坐标为(2,2)设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c,抛物线L经过O、P、A三点,有,解得:,抛物线L的解析式为y=+2x(2)点E是正方形内的抛物线上的动点,设点E的坐标为(m,+2m)(0m4),SOAE+SOCE=OAyE+OCxE=m2+4m+2m=(m3)2+9,当m=3时,OAE与OCE面积之和最大,最大值为93.【分析】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a0),再把A(1,0),B(5,0),C(0,)三点代入求出a、b、c的值即可;(2)因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为(5,0),连接BC交对称轴直线于点P,求出P点坐标即可;(3)分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论【解答】解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a0),A(1,0),B(5,0),C(0,)三点在抛物线上,解得抛物线的解析式为:y=x22x;(2)抛物线的解析式为:y=x22x,其对称轴为直线x=2,连接BC,如图1所示,B(5,0),C(0,),设直线BC的解析式为y=kx+b(k0),解得,直线BC的解析式为y=x,当x=2时,y=1=,P(2,);(3)存在如图2所示,当点N在x轴下方时,抛物线的对称轴为直线x=2,C(0,),N1(4,);当点N在x轴上方时,如图,过点N2作N2Dx轴于点D,在AN2D与M2CO中,AN2DM2CO(ASA),N2D=OC=,即N2点的纵坐标为x22x=,解得x=2+或x=2,N2(2+,),N3(2,)综上所述,符合条件的点N的坐标为(4,),(2+,)或(2,)
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