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2.2.4二次函数的图像与性质一、夯实基础1与x轴有唯一的交点(2,0)，且经过(1,9)的抛物线的解析式为()Ay(x2)2 By(x2)2 Cy(x2)2 Dy(x2)22抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是 ()Ayx2x2ByCyDyx2x23已知抛物线过A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于C点，且BC=3，则这条抛物线的解析式为 ( ) Ay=x2+2x+3 Byx22x3 Cy=x2+2x3或yx2+2x+3 Dy=x2+2x+3或yx22x34如果点(2，3)和(5，3)都是抛物线y=ax2+bx+c上的点，那么抛物线的对称轴是 ( )Ax=3 Bx=3 Cx= Dx=5.（16四川泸州）已知二次函数y=ax2bx2（a0）的图象的顶点在第四象限，且过点（1，0），当ab为整数时，ab的值为（）A或1 B或1 C或D或6已知抛物线yax2bxc经过点(2,7)、(6,7)、(3，8)，则该抛物线上纵坐标为8的另一点的坐标是_7将抛物线yax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后的抛物线经过点(3，1)，那么平移后的抛物线的关系式为_二、能力提升8平时我们在跳绳时，绳摇到最高点处的形状可近似地看做抛物线，如图所示正在摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m，距地高均为1 m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 m，25 m处绳子在摇到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是15 m，则学生丁的身高为 ( )A1.5 m B1.625 m C1.66 m D1.67 m9如图，已知二次函数yx2bxc的图象经过点(1,0)、(1，2)，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是_10如图所示，已知二次函数yax2+bx+c(a0)的图象的顶点p的横坐标是4，图象与x轴交于点A(m，0)和点B，且点A在点B的左侧，那么线段AB的长是 (用含字母m的代数式表示)三、课外拓展11如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求这条抛物线的解析式12如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C、P的坐标分别为(0,2)、(3,2)、(2,3)、(1,1)(1)请在图中画出ABC，使得ABC与ABC关于点P成中心对称；(2)若一个二次函数的图象经过(1)中ABC的三个顶点，求此二次函数的关系式13在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数yx2(k1)x4的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且SOAB6.(1)求点A与点B的坐标；(2)求此二次函数的解析式14如图，ABCD中，AB4，点D的坐标是(0,8)，以点C为顶点的抛物线yax2bxc 经过x轴上的点A、B(1)求点A，B，C的坐标；(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式15如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为(1,0)、(3,0)、(0,3)过A，B，C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点(1)求抛物线的解析式；(2)求当ADCD最小时点D的坐标四、中考链接1（xx陕西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M（1，3）和N（3，5）（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况；（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由2.（xx广西百色12分）正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点（1）建立适当的平面直角坐标系，直接写出O、P、A三点坐标；求抛物线L的解析式；（2）求OAE与OCE面积之和的最大值3.（xx贵州安顺14分）如图，抛物线经过A（1，0），B（5，0），C（0，）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由答案1. 解析：由题意可设抛物线的解析式为ya(x2)2(a0)，将点(1,9)代入解析式可得99a，所以a1，所以抛物线的解析式为y(x2)2.答案：B2. 解析：将(1,0)，(2,0)代入各选项验证，结合开口方向可知选D答案：D3D提示：注意由条件不能确定抛物线的开口方向，所以此题不要漏解 4C 提示：点(2，3)与(5，3)关于直线x对称 5. A知a0，0，a+b2=0，故b0，且b=2a，ab=a（2a）=2a2，于是0a2，22a22，又ab为整数，2a2=1，0，1，故a=，1，b=，1，ab=或1，故选A.6. 解析：由题意可知解得抛物线的解析式为yx24x5.由x24x58，即x24x30，解得x3或x1.故另一点为(1，8)答案：(1，8)7. 答案：y4x216x138B提示：建立如图282所示的平面直角坐标系，由图象可知三点坐标(1，1)，(0，1.5)，(3，1)，则抛物线的解析式为yx2x，又当x1.5时，代入求出y1.625故选B9. 解析：将点(1,0)，(1，2)代入yx2bxc，可得b1，c2，因此二次函数的对称轴为x.答案：x10答案：82m【提示：点A到抛物线对称轴的距离为4m，所以线段AB的长为2(4m)82m】 11. 解：(1)M(12,0)，P(6,6)(2)设抛物线的解析式为ya(x6)26(a0)抛物线ya(x6)26经过点(0,0)，0a(06)26，即a.抛物线的解析式为y(x6)26.12. 解：(1)画出ABC如图所示(2)由(1)知，点A，B，C的坐标分别为(2,0)，(1,0)，(0，1)因为二次函数图象与y轴的交点C的坐标为(0，1)，故可设所求二次函数关系式为yax2bx1(a0)将A(2,0)，B(1,0)的坐标代入，得 解得 故所求二次函数关系式为y1.13. 解：(1)由解析式可知，当x0时，y4，点A的坐标为(0,4)SOABBO46，BO3.点B的坐标为(3,0)(2)把点B的坐标(3,0)代入yx2(k1)x4，得(3)2(k1)(3)40.解得k1.所求二次函数的解析式为yx24.14. 解：(1)在ABCD中，CDAB且CDAB4，点C的坐标为(4,8)设抛物线的对称轴与x轴相交于点H，则AHBH2.点A、B的坐标分别为A(2,0)、B(6,0)(2)由抛物线yax2bxc的顶点为C(4,8)，设抛物线的解析式为ya(x4)28(a0)，把A(2,0)代入上式，并解得a2.y2(x4)28.设平移后抛物线的解析式为y2(x4)28k，把(0,8)代入上式，并解得k32.平移后抛物线的解析式为y2(x4)240，即y2x216x8.15. 解：(1)设抛物线的解析式为yax2bxc(a0)将(1,0)，(3,0)，(0,3)代入上式，得解得a1，b2，c3.抛物线的解析式为yx22x3.(2)连接BC，交直线l于点D点B与点A关于直线l对称，ADBDADCDBDCDBC由“两点之间，线段最短”的原理可知：此时ADCD最小，点D的位置即为所求设直线BC的解析式为ykxb(k0)，过点B(3,0)，C(0,3)，解得k1，b3.直线BC的解析式为yx3.点D在对称轴上，点D的纵坐标为yD132.点D的坐标为(1,2)中考链接：1解：（1）由抛物线过M、N两点，把M、N坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为y=x23x+5，令y=0可得x23x+5=0，该方程的判别式为=（3）2415=920=110，抛物线与x轴没有交点；（2）AOB是等腰直角三角形，A（2，0），点B在y轴上，B点坐标为（0，2）或（0，2），可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+n，当抛物线过点A（2，0），B（0，2）时，代入可得，解得，平移后的抛物线为y=x2+3x+2，该抛物线的顶点坐标为（，），而原抛物线顶点坐标为（，），将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线；当抛物线过A（2，0），B（0，2）时，代入可得，解得，平移后的抛物线为y=x2+x2，该抛物线的顶点坐标为（，），而原抛物线顶点坐标为（，），将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线2.【分析】（1）以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系根据正方形的边长结合正方形的性质即可得出点O、P、A三点的坐标；设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c，结合点O、P、A的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由点E为正方形内的抛物线上的动点，设出点E的坐标，结合三角形的面积公式找出SOAE+SOCE关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可得出结论【解答】解：（1）以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系，如图所示正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（4，0），点P的坐标为（2，2）设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c，抛物线L经过O、P、A三点，有，解得：，抛物线L的解析式为y=+2x（2）点E是正方形内的抛物线上的动点，设点E的坐标为（m，+2m）（0m4），SOAE+SOCE=OAyE+OCxE=m2+4m+2m=（m3）2+9，当m=3时，OAE与OCE面积之和最大，最大值为93.【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），再把A（1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），A（1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，解得抛物线的解析式为：y=x22x；（2）抛物线的解析式为：y=x22x，其对称轴为直线x=2，连接BC，如图1所示，B（5，0），C（0，），设直线BC的解析式为y=kx+b（k0），解得，直线BC的解析式为y=x，当x=2时，y=1=，P（2，）；（3）存在如图2所示，当点N在x轴下方时，抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，），N1（4，）；当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2Dx轴于点D，在AN2D与M2CO中，AN2DM2CO（ASA），N2D=OC=，即N2点的纵坐标为x22x=，解得x=2+或x=2，N2（2+，），N3（2，）综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，），（2+，）或（2，）
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