线性规划例题集锦.ppt

1 若z 2x y 求z的最值 解 画出可行域如图 画出直线2x y 0并平移得点A使Z最大 点B使Z最小 2x y 0 2 若z 2x y 求z的最值 解 画出可行域如图 画直线2x y 0并平移得点A使Z最大 点C使Z最小 3 若z x2 y2 求z的最值 解 画出可行域如图 表示可行域内的点 x y 到原点的距离的平方 由图可得点A使Z最大 点B使Z最小 解 画出可行域如图 由图可得点C使Z最大 点A使Z最小 4 若求z的最值 表示可行域内的点 x y 与原点连线的斜率 5 求可行域的面积和整点个数 解 画出可行域如图 求A出为 5 2 B为 1 1 C为 1 4 4 例1 某校食堂以面食和米食为主 面食每百克含蛋白质6个单位 含淀粉4个单位 售价0 5元 米食每百克含蛋白质3个单位 含淀粉7个单位 售价0 4元 学校要给学生配制成盒饭 每盒至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉 应如何配制盒饭 才既科学又使费用最少 解析 这是一个最优化问题 应先设出目标变量和关键变量并建立目标函数 然后根据目标函数的类型 选择合适的方法求最值 目标函数往往是一元二次函数或分式函数或三角函数或二元函数 如是一元二次函数一般用配方法求最值 如是三角函数一般用化一角一函数的方法求最值 如是分式函数一般用基本不等式法求最值 如是二元函数一般用线性规划法求最值 有时也可用基本不等式法求最值 解 设每份盒饭中面食为x百克 米食为y百克 费用z元 目标函数为 z 0 5x 0 4y 线性约束条件为 画出可行域如图 画出直线0 5x 0 4y 0并平移得点A使Z最小 0 5x 0 4y 0 A 求出点A为 所以每份盒饭中有面食百克 米食为百克 费用最省 例2 某工厂生产甲 乙两种产品 每生产1t产品需要的电力 煤 劳动力及产值 如下表所示 该厂的劳动力满员150人 根据限额每天用电不超过180千度 用煤每天不得超过150t 问每天生产这两种产品各多少时 才能创造最大的经济效益 解 设每天生产甲产品x吨 乙产品y吨 可得产值z千元 目标函数为 z 7x 9y 线性约束条件为 画出可行域如图 画出直线7x 9y 0并平移得点P使Z最小 求出点P为 所以每天生产甲产品吨 乙产品吨时 效益最大 Q 已知满足不等式 求 1 的范围 2 的范围 因为 例4 关闭程序 返回首页 B C A 因为 R 1 2 连线的斜率 R 点评 此类问题转化为可行域内的点到定点的斜率 关闭程序 返回首页 B C A N 求 1 最大值和最小值 2 最大值和最小值 例3 已知满足不等式 关闭程序 返回首页 B C A P 3 2 解 的平方再减去1 由直角三角形直角边与斜边关系 容易 点评 此类问题转化为可行域内的点到定点的距离 关闭程序 返回首页 M B C A 变式训练1 某人需要补充维生素 现有甲 乙两种维生素胶囊 这两种胶囊都含有维生素A C D E和最新发现的Z 甲种胶囊每粒含有维生素A C D E Z分别是1mg 1mg 4mg 4mg 5mg 乙种胶囊每粒含有维生素A C D E Z分别是3mg 2mg 1mg 3mg 2mg 若此人每天摄入维生素A至多19mg 维生素C至多13mg 维生素D至多24mg 维生素E至少12mg 那么他每天应服两种胶囊各多少粒才能满足维生素的需要量 并能获得最大量的维生素Z 作出不等式组表示的平面区域如图所示 作出5x 2y 0 把直线向右上方平移 直线经过可行域上的点M时 z 5x 2y取得最大值 6 已知x y满足 若取得最小值的点有无穷多个 则m 1 四面湖山收眼底 6 已知x y满足 若取得最大值的点有无穷多个 则m 1 四面湖山收眼底 1 已知点A 0 0 B 1 2 C 5 1 D 2 1 其中在不等式组所表示的平面区域 内的点是 2 满足 x y 4的整点的个数是 41 9 2 7 5 3 1 41 练习 2 x o y 5 5 D C B A x y 5 0 x 2 y 2 2 1 求z x y的最值 已知 x y满足 2 求z 的最值 3 求z 的最值 1 若z 2x y 求z的最值 解 画出可行域如图 画出直线2x y 0并平移得点A使Z最大 点B使Z最小 2x y 0 1 求z x y的最值 已知 x y满足 0 x y 解 画出可行域如图 A B 画出直线 x y 0并平移得点A使Z最大 点B使Z最小 设圆P与平行的切线为x y t 0 由得t 4或t 8 所以为x y 4 0 为x y 8 0 2 2 4 4 4 8 P 解 画出可行域如图 表示可行域内的点 x y 到原点的距离的平方 由图可得点A使Z最大 点B使Z最小 已知 x y满足 2 求z 的最值 0 x y A B P 8 解 画出可行域如图 已知 x y满足 0 x y A B P 3 求z 的最值 表示可行域内的点 x y 与原点连线的斜率 由图可得点A使Z最大 点B使Z最小 设圆过原点的切线为y kx即kx y o 由可得 1 满足 x y 4的整点的个数是 2 不等式 x y 4所表示的平面区域的面积