线性代数-二次型及其标准形.ppt

第六章二次型及其标准形 1 二次型的定义 定义含有个变量的二次齐次函数 称为二次型 二次齐次多项式 当系数为复数时 称为复二次型 当系 数为实数时 称为实二次型 3 二次型的矩阵表示式 令 则 于是 记 其中为对称阵 二次型的矩阵表示式 说明 对称阵与二次型一一对应 若 二次型的矩阵满足 的对角元是的系数 的元是系数的一半 则对称阵称为二次型的矩阵 二次型称为对称阵的二次型 3 二次型的矩阵表示式 例如 二次型 的矩阵为 于是 二 二次型的标准形 二次型研究的主要问题是 寻找可逆变换 使 这种只含平方项的二次型称为二次型的标准形 法式 特别地 如果标准形中的系数只在三个数中取值 那么这个标准形称为二次型的规范形 标准形的矩阵是对角阵 三 化二次型为标准型 1 经可逆变换后 新旧二次型的矩阵的关系 因为有 所以与的关系为 2 矩阵的合同关系 定义设和是阶矩阵 若有可逆矩阵 使 则称矩阵与合同 说明 合同关系是一个等价关系 设与合同 若是对称阵 则也对称阵 对称阵一定合同相似于一个对角阵 若与合同 则 经可逆变换后 二次型的矩阵由变为与合同的矩阵 且二次型的秩不变 3 化二次型为标准形 相当于对对称阵作合同变换 即寻找可逆阵 使 定理8任给二次型 总 其中是的矩阵的特征值 即任何二次型都可用正交变换化为标准形 主轴定理 P262Th6 1 存在正交变换 使化为标准形 推论任给二次型 总 有可逆变换 使为规范形 即任何二次型都可用可逆变换化为规范形 证设有二次型 由定理8知 存在正交变换 使 设二次型的秩为 则特征值中恰有个不为0 不妨设不等于0 于是 令 其中 则可逆 且变换把化为 记 则可逆变换能把化为规范形 推论任给二次型 总 有可逆变换 使为规范形 即任何二次型都可用可逆变换化为标准形 4 用正交变换化二次型为标准形的步骤 写出二次型的矩阵 求出的特征值 求出的两两正交的单位特征向量 用表示在中 求得的特征向量构成的矩阵 写出所求的正交变换和二次型的标准型 4 用正交变换化二次型为标准形的步骤 写出二次型的矩阵 求出的特征值 求出的两两正交的单位特征向量 用表示在中 求得的特征向量构成的矩阵 写出所求的正交变换和二次型的标准型 将对称阵正交相似对角化的步骤 1 求特征值 2 求两两正交的单位特征向量 3 写出正交矩阵和对角阵 例1已知二次型 用正交变换把二次型化为标准形 并写出相应的正交矩阵 解析 此题是一道典型例题 目的是熟悉用正交变换化二次型为标准形的 标准程序 写出二次型对应的矩阵 二次型对应的矩阵为 求的特征值 由 求得的特征值为 求的两两正交的单位特征向量 对应 解方程 由 得基础解系为 将其单位化 得 对应 解方程 由 得基础解系为 将其单位化 得 对应 解方程 由 得基础解系为 将其单位化 得 写出正交矩阵和二次型的标准形 令矩阵 则为正交阵 于是 经正交变换 原二次型化为标准形 例1 求一个正交变换x Py 把二次型f 2x1x2 2x1x3 2x2x3化为标准形 规范形 例1 求一个正交变换x Py 把二次型f 2x1x2 2x1x3 2x2x3化为标准形 解 二次型的矩阵有正交阵使得于是正交变换x Py把二次型化为标准形f 2y12 y22 y32 如果要把f化为规范形 令 即可得f的规范形 f z12 z22 z32 例2已知二次型 的秩为2 求参数以及此二次型对应矩阵的特征值 指出表示何种曲面 解 二次型的矩阵 因为的秩为2 所以的秩也为2 因而 当时 的特征多项式为 于是 的特征值为 由定理8知 必存在正交变换 其中为正交矩阵 不必具体求出 使二次型 于是 曲面 这表示准线是平面上椭圆 母线平行于轴的椭圆柱面 在新变量下称为标准形 一 情形1 配方法 例3用拉格朗日配方法化二次型 成标准形 并求所用的变换矩阵 解 用到的线性变换为 即 用到的线性变换为 即 配方法 配方法 33 所用的变换矩阵为 于是 的标准形为 配方法 二 情形2 例4用拉格朗日配方法化二次型 成规范形 并求所用的变换矩阵 解 先用下面可逆变换 使二次型中 即 配方法 用到的线性变换为 即 配方法 用到的线性变换为 即 配方法 配方法 配方法 于是 配方法 于是 所用的变换矩阵为 因此 的规范形为 配方法 三 惯性定理 设有二次型 它 的秩为 有两个可逆变换 及 使 及 则 正数的个数相等 证明 P275Th6 3 中正数的个数与 中 说明 二次型的标准形正系数的个数称为二次型的 负系数的个数称为负惯性指数 正惯性指数 若二次型的正惯性指数为 秩为 则 的规范形变可确定为 只有用正交变换把二次型化为标准形 标准形的系数才是二次型矩阵的特征值 例5下列矩阵中 与矩阵 合同的矩阵是哪一个 为什么 解析 此题的目的是熟悉惯性定理 用惯性定理解题 容易求得的特征值 于是可知 所对应的二次型的正惯性指数 为 负惯性指数为 合同的二次型应有相同的正 负惯性指数 故选 B 应选 B 理由是 例5下列矩阵中 与矩阵 合同的矩阵是哪一个 为什么 一 正定二次型的概念 定义设有二次型 如果对任何 都有 如果对任何 都有 则称为负定二次型 并称对称阵是负定的 阵是正定的 显然 0 则称为正定二次型 并称对称 说明 按定义 当变量取不全为零的值时 二次型若是正定 二次型 则它的对应值总是正数 负定 负数 若是正定二次型 则 就是负定二次型 二 正定二次型的性质与判别法 定理10二次型为正定的充要条件 是 它的标准形的个系数全为正数 即它的 正惯性指数等于 推论1正定二次型 正定矩阵 的秩为 推论2对称阵为正定矩阵的充要条件是 的特征值全为正 证明 定理10的证明 证已知 有可逆变换 使 先证充分性 设 任给 则 故 再证必要性 用反证法 假设有 取 单位坐标向量 这与为正定相矛盾 这就证明了 则有 且 定理11 霍尔维茨定理 对称阵为正定的充要条件是 的各阶主子式都为正 即 对称阵为负定的充要条件是 的奇数阶主子式为负 偶数阶主子式为正 即 正定 的正惯性指数 的个特征值全为正 的规范形为 合同于单位阵 的各阶主子式全为正 例6判定二次型 的正定性 解析 此题的目的是熟悉定理11 用定理11判定二次型的正定性 的矩阵为 1阶主子式 2阶主子式 3阶主子式 根据定理11知 为负定 三 本章小结 个变量的二次齐次函数称为二次型 只含平方项的二次型称为二次型的标准形 将二次型化为标准形相当于把二次型的矩阵合同对角化 对于任何一个二次型一定存在正交变换将它化为标准形 配方法是化二次型成标准形 或规范形 的一种较方便的方法 惯性定理 如果 总有 或 则称二次型是正定 或负定 的 并称的矩阵是正定 或负定 的 矩阵的三大关系 它们的定义 存在阶可逆阵和阶可逆阵 使 存在可逆阵 使 存在正交阵 使 存在可逆阵 使 等价 相似 正交相似 合同 关系不变量 等价关系的不变量 相似关系的不变量 秩 即 秩 即 特征多项式 即 特征值 合同关系的不变量 秩 即 对称性 即若是对称阵 则也是对称阵 对称阵对应的二次型的正惯性指数和负惯性指数 对称阵对应的二次型的规范形