矩阵理论复习总结.ppt

第一章 线性空间与内积空间 一 线性空间的基本概念 1 线性空间 P是一个数域 V是一个非空集合 3 线性空间的基与维数 4 基变换公式 2 线性空间v中有限个向量的线性相关性 5 子空间 对加法封闭 对数乘封闭 6 维数公式 7 线性空间的同构 数域P上的任意两个n维线性空间是同构的 1 内积空间 二 内积空间的基本概念 2 设V是n维空间 是V的一组基 求与 等价的正交单位向量组 3 正交补空间 4 内积空间的同构 所有n维内积空间是同构的 5 酉空间 1 已给不相容线性方程组求此方程组的最小二乘解 三 最小二乘法 是最小二乘解满足的代数方程 第二章 线性变换 1 线性变换 2 设T是n维线性空间的线性变换 3 线性变换的矩阵表示 4 与同构 5 线性变换在不同基下的矩阵是相似的 6 不变子空间 正交变换在V的任意一组标准正交基下的矩阵为正交矩阵 8 酉变换 9 对称变换 内积空间的线性变换是对称变换的充要条件是它在标准正交基下的矩阵为实对称矩阵 7 正交变换 10 Hermite变换 酉空间的线性变换是Hermite变换的充要条件是它在标准正交基下的矩阵为Hermite矩阵 第三章 矩阵的标准形 T是n维线性空间的线性变换 T的属于特征值的特征向量 2 设T是n维线性空间的线性变换 如何求T的特征值及与之相应的特征向量 一 矩阵的标准形 3 设T是n维线性空间V的线性变换 如何判断V中是否存在一组基 使得T在该基下的矩阵是对角阵 4 设A的行列式因子 5 设A的不变因子 6 设A的初等因子 7 求矩阵A的Jordan标准形及相似变换矩阵P 8 哈密顿 凯莱定理 9 设求A的最小多项式 若A的特征值互不相同 则最小多项式与特征多项式相同 10 多项式矩阵的斯密斯标准形 11 厄米特二次型 二 矩阵的分解 2 可逆矩阵的QR分解 3 单纯矩阵的谱分解 1 n阶方阵的三角分解 第四章 矩阵分析 一 向量范数 1 几种常用的向量范数 2 有限维线性空间的向量范数是相互等价的 二 矩阵范数 1 几种常用的矩阵范数 三 向量与矩阵的极限 1 矩阵的序列收敛于的充要条件是 四 函数矩阵的极限 微分 积分 五 函数矩阵对矩阵的微分矩阵对矩阵的导数 六 矩阵级数 1 方阵级数收敛的充要条件是对任一方阵范数 正项级数收敛 七 矩阵幂级数 1 设复变数幂级数的收敛半径为 的谱半径为 1 若则绝对收敛 2 若则发散 八 矩阵函数 1 矩阵函数定义一 2 矩阵函数定义二 九 矩阵函数在微分方程中的应用 第五章 矩阵特征值的估计 一 特征值界的估计 1 设 A的特征值为则 2 实对称矩阵的特征值全为实数 3 反实对称矩阵的特征值全零或纯虚数 4 厄米特矩阵的特征值全为实数 5 反厄米特矩阵的特征值全零或纯虚数 二 圆盘定理 1 设是的特征值 则 2 矩阵A的任一由k个盖尔圆组成的连通区域内有且仅有A的k个特征值 三 广义逆矩阵与线性方程组的解 1 设若满足 则称是的减号逆 记为 2 3 的求法 4 的性质 5 齐次线性方程组的通解 6 非齐次线性方程组的通解