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平行四边形的性质一课一练基础闯关题组平行四边形的对角线性质的应用1.平行四边形的对角线一定具有的性质是()A.相等B.互相平分C.互相垂直D.互相垂直且相等【解析】选B.平行四边形的对角线互相平分,不一定相等和垂直.2.(xx广东模拟)如图所示,在平行四边形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,与AOD全等的是()A.ABCB.ADCC.BCDD.COB【解析】选D.四边形ABCD是平行四边形,ADBC,DAO=BCO,ADO=CBO,AD=BC,AODCOB(ASA).3.如图,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=16,CD=6,则ABO的周长是()世纪金榜导学号42684052A.10B.14C.20D.22【解析】选B.四边形ABCD是平行四边形,AO=CO,BO=DO,DC=AB=6,AC+BD=16,AO+BO=8,ABO的周长是14.4.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,ODA=90,OA=6cm,OB=3cm,求AD,AC的长.【解析】四边形ABCD是平行四边形,OD=OB=3cm,AC=2AO=12cm,ODA=90,AD2=OA2-OD2=62-32=27(cm2),即AD的长为33cm,AC=12cm.题组平行四边形性质的综合应用1.如图,在ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,下列结论错误的是()A.ABCDB.AB=CDC.AC=BDD.OA=OC【解析】选C.四边形ABCD是平行四边形,ABCD,AB=CD,OA=OC,但是AC和BD不一定相等.2.如图,平行四边形ABCD的对角线交于点O,且AB=5,OCD的周长为23,则平行四边形ABCD的两条对角线的和是()世纪金榜导学号42684053A.18B.28C.36D.46【解析】选C.四边形ABCD是平行四边形,CD=AB=5,OCD的周长为23,OD+OC=23-5=18,BD=2DO,AC=2OC,平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2(DO+OC)=36.3.(xx眉山中考)如图,EF过ABCD对角线的交点O,交AD于点E,交BC于点F.若ABCD的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为()A.14B.13C.12D.10【解析】选C.因为四边形ABCD是平行四边形,所以ADBC,OA=OC,所以OAE=OCF,又因为AOE=COF,所以AOECOF,所以AE=CF,OE=OF,而AB=CD,AD=BC,所以四边形EFCD的周长为AD+CD+EF=1218+21.5=12.4.如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD为对角线,BC=6,BC边上的高为4,则图中阴影部分的面积为()世纪金榜导学号42684054A.3B.6C.12D.24【解析】选C.由于在平行四边形中,对边分别平行且相等,对角线互相平分,图中的线条把平行四边形分成5组全等三角形,通过仔细观察分析图中阴影部分,可得出每组全等三角形中有一个带阴影,所以阴影部分的面积是平行四边形的面积的一半.所以S阴影=1264=12.【变式训练】(xx微山县期中)如图,平行四边形的两条对角线将平行四边形的面积分成四部分,分别记作S1,S2,S3,S4,下列关系式成立的是()A.S1S2S3S3+S4D.S1=S3S2=S4【解析】选B.四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,OB=OD,S1=S2=S3=S4.5.如图,平行四边形ABCD中,BDAD,A=45,E,F分别是AB,CD上的点,且BE=DF,连接EF交BD于O.世纪金榜导学号42684055(1)求证:BO=DO.(2)若EFAB,延长EF交AD的延长线于G,当FG=1时,求AE的长.【解题指南】(1)由平行四边形的性质和AAS证明OBEODF,得出对应边相等即可.(2)证出AE=GE,再证明DG=DO,得出OF=FG=1,即可得出结果.【解析】(1)四边形ABCD是平行四边形,DCAB,OBE=ODF.在OBE与ODF中,OBE=ODF,BOE=DOF,BE=DF,OBEODF(AAS).BO=DO.(2)EFAB,ABDC,GEA=GFD=90,A=45,G=A=45.AE=GE.BDAD,ADB=GDO=90.GOD=G=45.DG=DO,OF=FG=1,由(1)可知,OE=OF=1,GE=OE+OF+FG=3,AE=3.如图,在ABCD中,对角线AC,BD交于点O,经过点O的直线交AB于E,交CD于F.求证:OE=OF.世纪金榜导学号42684056【证明】四边形ABCD是平行四边形,AO=CO,ABCD,EAO=FCO.又AOE=COF,AOECOF(ASA),OE=OF.【母题变式】变式一如图,在ABCD中,对角线AC与BD相交于O,EF是过点O的任一直线,交AD于点E,交BC于点F,猜想OE和OF的数量关系,并说明理由.【解析】结论:OE=OF.理由:四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,ADBC,OAE=OCF,在AOE和COF中,OAE=OCF,AOE=COF,AO=OC,AOECOF,OE=OF.变式二(xx广安月考)如图所示,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点O任作一条直线分别交AB,CD于点E,F.若AB=7,BC=5,OE=2,求四边形BCFE的周长.【解析】四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,ABCD,OAE=OCF,在OAE和OCF中,OAE=OCF,OA=OC,AOE=COF,AOECOF(ASA),CF=AE,OE=OF,AB=7,BC=5,OE=2,EF=2OE=4,BE+CF=BE+AE=AB=7,四边形BCFE的周长为:EF+BE+BC+CF=4+7+5=16.变式在ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O作直线EF分别交线段AD,BC于点E,F.(1)根据题意画出图形,并标上正确的字母.(2)求证:DE=BF.【解析】(1)作图如图:(2)四边形ABCD是平行四边形,ADBC,OB=OD,EDO=FBO,在DOE和BOF中EDO=FBO,OD=OB,EOD=FOB,DOEBOF.DE=BF.
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