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角平分线一课一练基础闯关题组角平分线的性质定理和判定定理1.(xx台州中考)如图,点P是AOB平分线OC上一点,PDOB,垂足为D,若PD=2,则点P到边OA的距离是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.作PEOA于点E,点P是AOB平分线OC上一点,PDOB,PEOA,PE=PD=2,即点P到边OA的距离是2.2.(xx胶州市期中)如图,OC是AOB的平分线.D,E分别是OA,OB上的点,则下列条件中不能判定OCD与OCE全等的是世纪金榜导学号10164032()A.OCD=OCEB.CDOA,CEOBC.OD=OED.CD=CE【解析】选D.当OCD=OCE时,DOC=EOC,OC=OC,OCD=OCE,OCDOCE(ASA),故A能判定OCD与OCE全等;当CDOA,CEOB时,由AAS可得到OCDOCE,故B能判定OCD与OCE全等;当OD=OE时,由SAS可得到OCDOCE,故C能判定OCD与OCE全等;D不能判定OCD与OCE全等.3.(xx崇仁月考)如图,在ABC中,ACB=90,BE平分ABC,DEAB于点D,如果AC=3cm,那么AE+DE等于()A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm【解析】选B.BE平分ABC,DEAB,ACB=90,ED=EC,AE+DE=AE+EC=AC=3cm.4.如图,AOE=BOE=15,EFOB,ECOB,若EC=2,则EF=_.世纪金榜导学号10164033【解析】作EGOA于G,如图所示:EFOB,AOE=BOE=15OEF=COE=15,EG=CE=2,AOE=15,EFG=OEF+AOE=15+15=30,EF=2EG=4.答案:4【方法指导】当题目中出现角平分线或平分某个角,且求点到直线的距离或两直线间距离时,应添加适当的辅助线,运用角平分线的性质定理求解.5.(xx濮阳期末)如图,BD是ABC的平分线,DEAB于E,ABC的面积为36cm2,AB=18cm,BC=12cm,求DE的长.【解析】作DFBC于F,BD是ABC的平分线,DEAB,DE=DF,12BCDF+12ABDE=36,DE=DF=125.6.如图,在ABC中,D是BC的中点,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证:AD是ABC的角平分线.世纪金榜导学号10164034【证明】DEAB,DFAC,BDE和CDF是直角三角形.又BD=DC,BE=CF,RtBDERtCDF(HL),DE=DF,又DEAB,DFAC,AD是ABC的角平分线.【知识归纳】角平分线的性质与判定的区别与联系内容图示符号语言作用性质在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等点P在AOB的平分线上,且PDOA,PEOB,PD=PE证明两条线段相等判定在一个角的内部,到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上PDOA,PEOB且PD=PE,AOP=BOP证明两个角相等题组作一个角的平分线1.观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是()A.OE是AOB的平分线B.OC=ODC.点C,D到OE的距离不相等D.AOE=BOE【解析】选C.根据尺规作图的画法可知:OE是AOB的角平分线,OC=OD,AOE=BOE,点C,D到OE的距离相等,故A,B,D项均正确,C项错误.2.(xx邵阳中考)如图所示,已知AOB=40,现按照以下步骤作图:在OA,OB上分别截取线段OD,OE,使OD=OE;分别以D,E为圆心,以大于12DE的长为半径画弧,在AOB内两弧交于点C;作射线OC.则AOC的大小为_.【解析】由作图知,OC平分AOB,AOC=12AOB=20.答案:203.如图,在ABC中,AB=AC,ABC=72.(1)用直尺和圆规作ABC的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹,不要求写作法).(2)在(1)中作出ABC的平分线BD后,求BDC的度数.【解析】(1)画图如下:(2)AB=AC,ABC=72,ACB=ABC=72,BD平分ABC,DBC=36,BDC=72.4.有位于公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A,B,如图.电信部门要修建一座信号发射塔,按照设计要求,发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条公路l1,l2的距离也必须相等,发射塔C应修建在什么位置?请用尺规作图找出所有符合条件的点,注明点C的位置.(保留作图痕迹,不要求写出画法)世纪金榜导学号10164035【解析】根据题意知道,点C应满足两个条件,一是在线段AB的垂直平分线上;二是在两条公路夹角的平分线上,所以点C应是它们的交点.(1)作两条公路夹角的平分线OD或OE.(2)作线段AB的垂直平分线FG;则射线OD,OE与直线FG的交点C1,C2就是所求的位置.如图,ABCD,BP和CP分别平分ABC和DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是()世纪金榜导学号10164036A.8B.6C.4D.2【解析】选C.过点P作PEBC于点E,ABCD,PAAB,PDCD,BP和CP分别平分ABC和DCB,PA=PE,PD=PE,PE=PA=PD,PA+PD=AD=8,PA=PD=4,PE=4.【母题变式】(xx诸城市期末)如图,ADBC,ABC的平分线BP与BAD的平分线AP相交于点P,作PEAB,垂足为E.若PE=3,则两平行线AD与BC间的距离为()A.3B.5C.6D.不能确定【解析】选C.作PFAD于F,PGBC于G,AP是BAD的平分线,PFAD,PEAB,PF=PE=3,BP是ABC的平分线,PEAB,PGBC,PG=PE=3,ADBC,两平行线AD与BC间的距离为PF+PG=6. 变式一如图,ABCD,BP和CP分别平分ABC和DCB,AD过点P,且ADAB,求证:BC=AB+CD.【证明】在BC上取点F,使BF=BA,连接PF,BP,CP分别是ABC和BCD的平分线,ABP=FBP,DCP=FCP.在ABP和FBP中,AB=FB,ABP=FBP,BP=BP,ABPFBP,A=BFP.ABCD,A+D=180,BFP+D=180.BFP+CFP=180,CFP=D.在CDP和CFP中,CFP=D,FCP=DCP,CP=CP,CFPCDP,CF=CD.BC=BF+CF,BC=AB+CD.变式二(xx澧县期中)如图,四边形ABDC中,D=ABD=90,点O为BD的中点,且OA平分BAC.(1)求证:OC平分ACD.(2)求证:OAOC.(3)求证:AB+CD=AC.【证明】(1)过点O作OEAC于E,ABD=90,OA平分BAC,OB=OE,点O为BD的中点,OB=OD,OE=OD,OC平分ACD.(2)在RtABO和RtAEO中,AO=AO,OB=OE,RtABORtAEO,AOB=AOE,同理求出COD=COE,AOC=AOE+COE=12180=90,OAOC.(3)RtABORtAEO,AB=AE,同理可得CD=CE,AC=AE+CE,AB+CD=AC.
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