梁的内力ppt课件

建筑力学 第六章梁的内力 梁的计算简图梁的内力及其求法梁的内力图弯矩 剪力与荷载集度间的关系叠加法作剪力图和弯矩图 1 建筑力学 起重机大梁 2 建筑力学 镗刀杆 3 车削工件 建筑力学 4 建筑力学 火车轮轴 弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁 5 建筑力学 工程中大多数的梁 其横截面都具有对称轴 如图所示 对称轴与梁的轴线构成的平面称为纵向对称面 若作用在梁上的外力或外力偶都作用在纵向对称面内 且外力垂直于梁的轴线 则梁在变形时 其轴线将在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线 这种弯曲变形称为平面弯曲 9 1弯曲的概念 6 建筑力学 9 2梁的类型 根据梁的支座反力能否全部由静力平衡条件确定 将梁分为静定梁和超静定梁 静定梁又可分为单跨静定梁和多跨静定梁 1 简支梁的一端为固定铰支端 另一端为活动铰支座 2 外伸梁其支座形式和简支梁相同 但梁的一端或两端伸出支座之外 3 悬臂梁梁的一端固定 另一端自由 单跨静定梁按支座情况分三种类型 7 建筑力学 9 3梁的内力及其求法 剪力与弯矩 1 计算梁支座反力 求解梁横截面内力的步骤如下 以简支梁受集中荷载为例 如右图所示 由平衡方程得 同理可得 8 建筑力学 2 用截面法求剪力及弯矩 假想用截面 将梁截开 研究左段 由 得截面内必有竖向力Fs 且Fs FA 再由得 横截面上必有弯矩M 且M FAC 当左段梁若平衡 横截面上必有两个内力分量 平行于横截面的竖向内力Fs以及位于荷载作用面的内力偶M 内力Fs称梁横截面内的剪力 而内力偶M称为梁横截面内的弯矩 若以右段梁为研究对象 由作用力与反作用力定律可知 右段梁横截面上的内力值仍为Fs和M 指向与左段梁横截面上的内力指向相反 9 建筑力学 剪力与弯矩的正负号规定 正剪力 截面上的剪力使研究对象作顺时针方向的转动 负剪力 截面上的剪力使研究对象作逆时针方向的转动 1 剪力的正负号 正弯矩 截面上的弯矩使该截面附近弯成上凹下凸的形状 负弯矩 截面上的弯矩使该截面附近弯成上凸下凹的形状 2 弯矩的正负号 10 建筑力学 计算指定截面的剪力 弯矩值 1 计算支座反力 2 用假想的截面在欲求内力处将梁截成两段 取其中一段为研究对象 3 画出研究对象的内力图 截面上的剪力和弯矩均按正方向假设 4 建立平衡方程 求解剪力和弯矩 利用截面法计算指定截面的剪力和弯矩的步骤如下 11 例 简支梁如图所示 已知P1 36kN P2 30kN 试求截面 上的剪力和弯矩 解 1 计算支座反力 以整个梁为研究对象 解之得 2 计算截面的内力 取左段为研究对象 解之得 12 例 简支梁受均布荷载q和集中力偶M ql2 4的作用 如图所示 求截面C的剪力和弯矩 解 1 计算支座反力 以整个梁为研究对象 解之得 在求截面C的内力时 由于截面C处有集中力偶 故截面C稍左和稍右两截面的内力可能不同 故分别计算截面C处左 右两个截面的内力值 13 2 计算截面C稍左处的剪力FsL 弯矩MCL 解之得 3 计算截面C稍右处的剪力FsR 弯矩MCR 解之得 14 建筑力学 1 梁内任一截面上的剪力 其大小等于该截面左侧 或右侧 梁上所有外力的代数和 梁内任一截面的弯矩 其大小等于该截面左侧 或右侧 梁上所有外力对于该截面形心之矩的代数和 2 外力对内力的符号规则 左上右下 顺时针 剪力为正 左顺右逆 上凹下凸 弯矩为正 3 代数和的正负 就是剪力或弯矩的正负 计算剪力和弯矩的规律 15 9 4梁的内力图 剪力图和弯矩图 建筑力学 剪力方程和弯矩方程 由前面的知识可知 梁的剪力和弯矩是随截面位置变化而变化的 如果将x轴建立在梁的轴线上 原点建立在梁左端 x表示截面位置 则剪力和弯矩就随截面位置x的变化而变化 剪力和弯矩是关于x的函数 这个函数表达式就是剪力方程和弯矩方程 即 剪力图和弯矩图 为了形象地表示剪力和弯矩随着截面位置的变化规律 从而找出最大弯矩 最大剪力在梁上的位置 仿照轴力图或扭矩图的做法 绘制出剪力 弯矩图 16 建筑力学 绘制剪力图和弯矩图的步骤 1 求支座反力 以梁整体为研究对象 根据梁上的荷载和支座情况 由静力平衡方程求出支座反力 2 将梁分段 以集中力和集中力偶作用处 分布荷载的起讫处 梁的支承处以及梁的端面为界点 将梁进行分段 3 列出各段的剪力方程和弯矩方程 各段列剪力方程和弯矩方程时 所取的坐标原点与坐标轴x的正向可视计算方便而定 不必一致 4 画剪力图和弯矩图 先根据剪力方程 或弯矩方程 判断剪力图 或弯矩图 的形状 确定其控制截面 再根据剪力方程 或弯矩方程 计算其相应截面的剪力值 或弯矩值 然后描点并画出整个全梁的剪力图 或弯矩图 17 例 下图为梁结构 在全梁上受分布荷载作用 试作此梁的剪力图和弯矩图 解 1 计算支座反力由于荷载对称 支座反力也对称 就有 2 列剪力方程和弯矩方程坐标原点取在左端A点处 距原点A点处为x处的任意截面 其剪力方程和弯矩方程为 18 3 画剪力图和弯矩图 由上式可见 Fs x 是x的一次函数 所以剪力图是一条斜直线 M x 是x的二次函数 所以弯矩图是一条二次抛物线 如下图所示 l 2 弯矩图 从所作的剪力图和弯矩图可知 最大剪力发生在梁端而最大弯矩发生在剪力为零的跨截面 其值分别是 Fmax ql 2 Mmax ql2 8 19 下图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载P作用 试作此梁的剪力图和弯矩图 例 解 1 计算支座反力由静力平衡方程求出支座反力 可得 2 列剪力方程和弯矩方程坐标原点取在左端B点处 其剪力方程和弯矩方程为 3 画剪力图和弯矩图 剪力图 弯矩图 剪力在全梁的所有截面都相等 且处处为最大剪力 弯矩的最大值发生在固定端 20 例 简支梁受集中力P作用如图所示 试画出梁的剪力图和弯矩图 解 1 计算支座反力由静力平衡方程求出支座反力 可得 2 列剪力方程和弯矩方程梁在C点处有集中荷载P作用 AC和BC两段所受力不同 故需分段考虑 取梁A端为坐标原点 解之得 21 AC段 解之得 BC段 解之得 3 画剪力图和弯矩图 剪力图 弯矩图 22 9 5弯矩 剪力与荷载集度间的关系 建筑力学 设梁上有任意分布的荷载q x 规定向上为正 x轴坐标原点取在梁的左端 在x截面处取一微段梁dx 由于梁整体处于平衡状态 则微段梁也处于平衡状态 由平衡方程得 9 1 23 建筑力学 由平衡方程得 略去二阶微量 得 几何意义 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小 9 2 将式 9 1 两端在AB梁段上积分 得 将式 9 2 两端在AB梁段上几分 得 上式表明 若AB段梁上无集中力偶作用时 梁两端横截面上弯矩之差等于该段梁上剪力图的面积 上式表明 若AB段梁上无集中力偶作用时 梁两端横截面上剪力之差等于该段梁上分布荷载的图形的面积 24 建筑力学 梁的荷载图 剪力图及弯矩图之间的规律 25 建筑力学 快速绘制剪力图和弯矩图 剪力图 结构图 弯矩图 26 建筑力学 结构图 剪力图 弯矩图 27 例 如图所示 试画出该梁的剪力图和弯矩图 解 1 计算支座反力以整梁为研究对象 由平衡方程得 解之得 2 画剪力图 从左向右作图 根据分段和分截面的原则 梁依次分为A端 AB段 B端 BC段和C端 28 A端有集中力FA作用 剪力图向上突变 FA 9 4qa AB段有向下的均布荷载q作用 剪力图为一条斜直线 斜率为负值 FB左 FA q 4a 7 4qa B端有向上的集中力FB作用 剪力图向上突变 FB 3 4qa BC段没有均布荷载作用 剪力图为一条水平线 FC qa 3 画弯矩图 从左向右作图 根据分段和分截面的原则 梁依次分为AB段和BC段 AB段 有向下的均布荷载q作用 弯矩图为一条下凸的二次抛物线 由于该段内有Fs 0的截面 需确定MA MB和极值弯矩 为计算极值弯矩 首先确定F 0的截面位置 距离左端A为x的任意截面F x FA qx 令F x 0 有 9 4qa qx 0 可得 x 9 4a 该截面上的弯矩 即为极值弯矩 Mx FAx qx2 2 81 32qa2BC段 没有均布荷载作用 弯矩图是一条斜直线 需确定MB和MC 29 剪力图与弯矩图 30 例 如图所示 试画出该梁的剪力图和弯矩图 解 1 计算支座反力以整梁为研究对象 由平衡方程得 解之得 2 画剪力图 从左向右作图 全梁分为A端 AC段 C端 CD段 DB段和B端 31 FA 30kN AC段 没有均布荷载作用 剪力图为一条水平线 FC左 FA右 30kNC端 有向下的集中力F作用 剪力图向下突变F 20kN FC右 30 20 kN 10kN CD段 没有均布荷载作用 剪力图为一条水平线 FD FC右 10kNDB段 有向下的均布荷载q作用 剪力图为一条斜直线 斜率为负 FB左 FB 30kNB截面 有向上的集中力FB作用 剪力图向上突变 FB 30kN 3 画弯矩图 AC段 没有均布荷载作用 弯矩图是一条斜直线 需确定MA和MC MA 0 MC FA 2 30 2kN m 60kN m CD段 没有均布荷载作用 弯矩图是一条斜直线 需确定MC和MD左 MD左 FA 4 F 2 30 4 20 2 kN m 80kN mD截面 有逆时针方向的集中力偶M作用 弯矩图向上突变M 40kN m MD右 MD左 M 80 40 kN m 40kN m 32 DB段 有向下的均布荷载q作用 弯矩图为一条下凸的二次抛物线 由于该段内有Fs 0的截面 需确定MD右 MB和极值弯矩 MB 0 为计算极值弯矩 首先确定F 0的截面位置 设E截面的剪力Fs 0 由F图中相似三角形的比例关系有 10 30 DE EB 得EB 3m E截面上的弯矩 即为极值弯矩 其值 ME FB 3 q 3 1 5 30 3 10 3 1 5 kN m 45kN m 剪力图与弯矩图 33 9 6叠加法作剪力图和弯矩图 建筑力学 1 在P q共同作用时 P x P qx M x Px 1 2qx2 2 在P单独作用时 P x P M x Px 3 在q单独作用时 q x qx M x 1 2qx2 34 建筑力学 比较上面三种情况的计算结果有 Q x QP x Qq x M x MP x Mq x 即在P q共同作用时所产生的剪力P 或弯矩M 等于P与q单独作用时所产生的剪力P 或弯矩M 的代数和 叠加原理 如果需要确定的某一参数与荷载成线性关系 则由n个荷载共同作用时所引起的某一参数 反力 内力 应力 变形 等于各个荷载单独作用时所引起的该参数值的代数和 这个结论称为叠加原理 35 建筑力学 根据叠加原理来绘制剪力图和弯矩图的方法称为叠加法 用叠加法画剪力图和弯矩图 绘图时先把作用在梁上的复杂的荷载分成几组简单的荷载 分别作出各简单荷载单独作用下的剪力图和弯矩图 然后将它们相应的纵坐标叠加 就得到梁在复杂荷载作用下的剪力图和弯矩图 用叠加法画剪力图合弯矩图时 一般先画直线形的剪力图和弯矩图 再叠画上曲线形的剪力图和弯矩图 叠加法画弯矩图 36 例 如图所示 试用叠加法画出该梁的弯矩图 37