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2.矩形的判定1.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,则下面条件能判定平行四边形ABCD是矩形的是(A)(A)AC=BD(B)ACBD(C)AO=CO(D)AB=AD2.已知平行四边形ABCD,AC,BD是它的两条对角线,那么下列条件中,能判断这个平行四边形为矩形的是(C)(A)BAC=DCA(B)BAC=DAC(C)BAC=ABD(D)BAC=ADB3.如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O,1=2.若AC=13,BC=12,则四边形ABCD的面积是(D)(A)20 (B)30 (C)50 (D)604.在四边形ABCD中,AC和BD的交点为O,不能判断四边形ABCD为矩形的是(C)(A)AB=CD,AD=BC,AC=BD(B)AO=CO,BO=DO,A=90(C)A=C,B+C=180(D)ABCD,AB=CD,A=905.如图,四边形ABCD是平行四边形,添加一个条件:ABC=90(或AC=BD等),可使它成为矩形.6.如图,在ABC中,AB=AC,将ABC绕点C旋转180得到FEC,连结AE,BF.当ACB为60时,四边形ABFE为矩形.7.如图,在两条平行直线a和b上用直角曲尺画两条直线,则构成的四边形ABCD为矩形.8.学完矩形的判定后,小明和小丽想实际应用一下(检验教室的门是否为矩形).根据小明和小丽的对话,你认为小明和小丽谁正确:小明:“我用直尺量这个门的两条对角线,发现它们的长度相等,所以这个四边形门就是矩形.”小丽:“我用角尺量这个门的任意三个角,发现它们都是直角.所以这个四边形门就是矩形.”解:小明的不一定是矩形,只根据对角线相等不能判定四边形为矩形;因为对角线相等的平行四边形是矩形,所以小明的说法错误;小丽的一定是矩形,因为有三个角是直角的四边形是矩形.所以小丽的说法正确.9.(xx北京门头沟期末)已知,如图,在ABCD中,过点D作DEAB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连结AF和BF.(1)求证:四边形BFDE是矩形;(2)如果CF=3,BF=4,DF=5,求证:AF平分DAB.证明:(1)因为四边形ABCD是平行四边形,所以DFBE.因为DF=BE,所以四边形BFDE是平行四边形.因为DEAB,所以DEB=90.所以四边形BFDE是矩形.(2)因为四边形BFDE是矩形,所以BFD=BFC=90.所以BC=32+42=5,所以AD=BC=5.因为DF=5,所以AD=DF.所以DAF=DFA.因为ABCD,所以DFA=FAB.所以DAF=FAB.所以AF平分DAB.10.如图,在ABC中,点O是边AC上一个动点,过点O作直线EFBC分别交ACB,外角ACD的平分线于点E,F.(1)若CE=8,CF=6,求OC的长;(2)连结AE,AF.问:当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.解:(1)因为EF交ACB的平分线于点E,交ACB的外角平分线于点F,所以OCE=BCE,OCF=DCF,因为EFBC,所以OEC=BCE,OFC=DCF,所以OEC=OCE,OFC=OCF,所以OE=OC,OF=OC,所以OE=OF.因为OCE+BCE+OCF+DCF=180,所以ECF=90,在RtCEF中,由勾股定理得EF=CE2+CF2=82+62=10,所以OC=OE=12EF=5.(2)当点O在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.理由:连结AE,AF,如图所示,当O为AC的中点时,AO=CO,因为EO=FO,所以四边形AECF是平行四边形,因为ECF=90,所以平行四边形AECF是矩形.11.(拓展探究)(xx青岛)已知,如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点,连结CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连结FD.(1)求证:AB=AF;(2)若AG=AB,BCD=120,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论.(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以BFCD,AB=CD,所以AFG=DCG.因为GA=GD,AGF=CGD,所以AGFDGC.所以AF=CD.所以AB=AF.(2)解:四边形ACDF是矩形.证明如下:因为AF=CD,AFCD,所以四边形ACDF是平行四边形.所以AG=DG,FG=CG.因为四边形ABCD是平行四边形,所以BAD=BCD=120.所以FAG=60.因为AB=AF,AG=AB,所以AG=AF.所以AFG是等边三角形.所以AG=GF.所以AG=DG=FG=CG.所以AD=CF.所以四边形ACDF是矩形.12.(方程思想)如图,在直角梯形ABCD中,B=90,ADBC,AB=14 cm,AD=18 cm,BC=21 cm,点E由点A出发沿AD方向向点D匀速运动,速度为1 cm/s,点F由点C出发沿CB方向向点B匀速运动,速度为2 cm/s,如果动点E,F同时从A,C两点出发,连结EF,若设运动的时间为t s,解答下列问题:(1)当t何值时,梯形AEFB的面积是91 cm2?(2)当t何值时,四边形AEFB是矩形?解:(1)根据题意,得AE=t cm,CF=2t cm,则BF=(21-2t)cm.因为S梯形AEFB=91,所以12(t+21-2t)14=91.所以t=8.所以当t=8时,梯形AEFB的面积是91 cm2.(2)根据题意,得AE=t cm,CF=2t cm,则BF=(21-2t)cm.因为AEBF,B=90,所以当AE=BF时,四边形AEFB是矩形.所以t=21-2t.所以t=7.所以当t=7时,四边形AEFB是矩形.
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