资源描述
第十七章 勾 股 定 理 1.在非直角三角形中作辅助线的方法 (1)作高(垂线)法:解一般三角形的问题常常通过作高或作某一边的垂线段,转化为直角三角形,利用勾股定理计算或证明.【例1】在ABC中,AB=25,AC=4,BC=2,以AB为边向ABC外作ABD,使ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长.【标准解答】AC=4,BC=2,AB=25,AC2+BC2=AB2,ACB为直角三角形,ACB=90.分三种情况:情况1:如图,过点D作DECB,垂足为点E.易证ACBBED,易求CD=210; 情况2:如图,过点D作DECA,垂足为点E.易证ACBDEA,易求CD=213; 情况3:如图,过点D作DECB,垂足为点E,过点A作AFDE,垂足为点F.易证AFDDEB,易求CD=32.(2)根据图形特点作辅助线构造直角三角形法:有些几何图形,比如四边形,本身就具备直角的已知条件,但没有直角三角形,此时要根据图形特点巧构直角三角形【例2】如图,B=D=90,A=60,AB=4,CD=2.求四边形ABCD的面积.【标准解答】延长AD,BC交于E点,如图.B=90,A=60,E=30.AE=2AB=8,CE=2CD=4,则BE=AE2-AB2=43.DE=CE2-CD2=23,四边形ABCD的面积=ABE的面积-CDE的面积=63.ABC中,AB=4,BC=3,BAC=30,则ABC的面积为 .2.运用数学思想处理问题 (1)分类讨论思想:在一些求值计算中,有些题目没有给出图形,当画出符合题意的图形不唯一时,要注意分情况进行讨论,避免漏解.【例1】已知三角形相邻两边长分别为20 cm 和30 cm.第三边上的高为10 cm,则此三角形的面积为cm2.【标准解答】设AB=20 cm,AC=30 cm,AD=10 cm有两种情况:一种在直角三角形ABD中利用勾股定理得BD=AB2-AD2=400-100=103 cm.同理解得CD=202 cm,则三角形ABC的面积=12BCAD=12103+20210=(1002+503)cm2.二种:在直角三角形ABD中,BD=AB2-AD2=400-100=103 cm.在直角三角形ACD中,CD=AC2-AD2=900-100=202 cm.则BC=(202-103) cm,所以三角形ABC的面积为(1002-503) cm2.答案:(1002+503)或(1002-503) (2)方程思想:勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式,求线段的长时可由此列出方程,运用方程思想分析问题、解决问题,以便简化求解.【例2】如图,长方形ABCD沿着对角线BD折叠,使点C落在C处,BC交AD于点E,AD=8,AB=4,则DE的长为.【标准解答】CBD=DBE,CBD=ADB,DBE=ADB,DE=BE.设DE的长为x,则AE=8-x,在RtABE中,AB2+AE2=BE2,即42+(8-x)2=x2,解得:x=5.答案: 51.已知直角三角形两边的长分别是3和4,则第三边的长为.2.长方形纸片ABCD中,已知AD=8,AB=6,E是边BC上的点,以AE为折痕折叠纸片,使点B落在点F处,连接FC,当EFC为直角三角形时,BE的长为.3.折叠问题及最短路径问题 几何图形的折叠问题及最短路径问题是当前中考的热点,这两类问题都需要构造直角三角形,借助勾股定理解决. (1)利用勾股定理解决图形折叠问题【例1】如图,在RtABC中,C=90,BC=6 cm,AC=8 cm,按图中所示方法将BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的C点,那么ADC的面积是 .【标准解答】C=90,BC=6 cm,AC=8 cm,AB=10 cm,将BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的C点,DC=DC,BC=BC=6 cm,AC=4 cm,设DC=x cm,则AD=(8-x) cm,在RtADC中,AD2=AC2+CD2,即(8-x)2=42+x2,解得x=3,ADC的面积=1243=6(cm2).答案:6 cm2【例2】如图,长方形纸片ABCD中,已知AD =8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为()A.3B.4C.5D.6【标准解答】选D.四边形ABCD是长方形,AD=8,BC=8,AEF是AEB翻折而成,BE=EF=3,AB=AF,CEF是直角三角形,CE=8-3=5,在RtCEF中,CF=CE2-EF2= 52-32=4,设AB=x,在RtABC中,AC2=AB2+BC2,即(x+4)2=x2+82,解得x=6. (2)最短距离问题 求立体图形表面上两点之间的最短距离问题,关键是把立体图形的侧面展开成平面图形,采用“化曲为直”的方法,利用平面上“两点之间,线段最短”的公理解题.把空间图形转化为平面图形是解数学题的重要转化思想之一.【例3】如图,已知圆柱底面的周长为4 dm,圆柱高为2 dm,在圆柱的侧面上,过点A和点C嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为()A.42 dmB.22 dmC.25 dmD.45 dm【标准解答】选A.如图,把圆柱的侧面展开,得到矩形,则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度.圆柱底面的周长为4 dm,圆柱高为2 dm,AB=2 dm,BC=BC=2 dm,AC2=22+22=4+4=8,AC=22,这圈金属丝的周长最小为2AC=42 dm.1.如图,RtABC中,AB=9,BC=6,B=90,将ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为()A.53B.52C.4D.52.如图,圆柱形容器高18 cm,底面周长为24 cm,在杯内壁离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时已知蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为cm.2题图3题图3.我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是尺.答案解析：1.在非直角三角形中作辅助线的方法【跟踪训练】【解析】根据题意画出图形可知符合要求的ABC共有两个(如图),过点B作BDAC,AB=4,BAC=30,BD=2,AD=23,CD=32-22=5,故AC=23-5或AC=23+5,SABC=12(23-5)2=23-5或SABC=12(23+5)2=23+5.答案:23-5或23+52.运用数学思想处理问题【跟踪训练】1.【解析】当3,4为直角边长时,则第三边是斜边,其长为5;当长为4的边是斜边时,第三边是直角边,其长是7.故第三边长为5或7.答案:5或72.【解析】EFC=90时,如图1,AFE=B=90,EFC=90,点A,F,C共线,长方形ABCD的边AD=8,BC=AD=8,在RtABC中,AC=AB2+BC2=62+82=10,设BE=x,则CE=BC-BE=8-x,由翻折的性质得,AF=AB=6,EF=BE=x,CF=AC-AF=10-6=4,在RtCEF中,EF2+CF2=CE2,即x2+42=(8-x)2,解得x=3,即BE=3;CEF=90时,如图2,由翻折的性质得,AEB=AEF=1290=45,四边形ABEF是正方形,BE=AB=6.综上所述,BE的长为3或6.答案:3或63.折叠问题及最短路径问题【跟踪训练】1.【解析】选C.设BN=x,则依据折叠原理可得DN=AN=9-x,又D为BC的中点,所以BD=3,在RtNBD中,利用勾股定理,可得BN2+BD2=DN2,则有32+x2=(9-x)2,解得x=4,即BN=4.2.【解析】如图,将容器侧面展开,作A关于EF的对称点A,根据两点之间线段最短可知AB的长度即为所求.由题意知EA=2 cm,BD=18-4+2=16 cm,AD=12 cm.由勾股定理得AB=162+122=20(cm).答案:203.【解析】把这个圆柱沿一条母线剪开,一条边(即枯木的高)长20尺,另一条边长为53=15(尺),因此葛藤长202+152=25(尺).答案:25
展开阅读全文