2020高考数学一轮复习 第六章 不等式 推理与证明 第7讲 数学归纳法课件.ppt

不等式推理与证明 第六章 第七讲数学归纳法 知识梳理双基自测 数学归纳法一般地 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取 n0 N 时命题成立 2 归纳递推 假设当n k k n0 k N 时命题成立 证明当 时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对 都成立 上述证明方法叫做数学归纳法 第一个值n0 n k 1 从n0开始的所有正整数n 用数学归纳法证明的关键在于两个步骤 要做到 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 1 验证是基础 第一个步骤是要找一个数n0 这个数n0就是要证明的命题对象的最小自然数 这个自然数并不一定都是 1 2 递推是关键 从 k 到 k 1 的过程中 必须把归纳假设 n k 作为条件来导出 n k 1 时的命题成立 在推导过程中 归纳假设要用一次或几次 C 2 数列 an 中 已知a1 1 当n 2时 an an 1 2n 1 依次计算a2 a3 a4后 猜想an的表达式是 A 3n 2B n2C 3n 1D 4n 3 解析 计算出a1 1 a2 4 a3 9 a4 16 可猜想an n2 故选B B D 2k 1 考点突破互动探究 考点1利用数学归纳法证明等式 师生共研 例1 数学归纳法证明等式的思路和注意点 1 思路 用数学归纳法证明等式问题 要 先看项 弄清等式两边的构成规律 等式两边各有多少项 初始值n0是多少 2 在证明过程中突出两个 凑 字 即一 凑 假设 二 凑 结论 关键是在证明n k 1时要用上n k时的假设 其次要明确n k 1时证明的目标 充分考虑由n k到n k 1时 命题形式之间的区别和联系 化异为同 中间的计算过程千万不能省略 3 注意 两个步骤 一个结论 一个也不能少 切勿忘记归纳结论 变式训练1 考点2利用数学归纳法证明不等式 师生共研 例2 1 当遇到与正整数n有关的不等式证明时 若其它方法不容易证 可考虑用数学归纳法 2 用数学归纳法证不等式的关键是由n k成立 推证n k 1时也成立 证明时用上假设后 可采用比较法 分析法 综合法 放缩法等 同时证明不等式时 要注意由k到k 1变化时 左右两边项的变化 运用放缩法时要注意放缩的 度 变式训练2 2014 广东高考 设数列 an 的前n项和为Sn 满足Sn 2nan 1 3n2 4n n N 且S3 15 1 求a1 a2 a3的值 2 求数列 an 的通项公式 考点3归纳 猜想 证明 师生共研 例3 归纳 猜想 证明 的一般步骤 1 计算 根据条件 计算若干项 2 归纳猜想 通过观察 分析 综合 联想 猜想出一般结论 3 证明 用数学归纳法证明 这种方法在解决探索性问题 存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用 其关键是归纳猜想出结论 将正整数作如下分组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 分别计算各组包含的正整数的和如下 试猜测S1 S3 S5 S2n 1的结果 并用数学归纳法证明 S1 1 S2 2 3 5 S3 4 5 6 15 S4 7 8 9 10 34 S5 11 12 13 14 15 65 S6 16 17 18 19 20 21 111 变式训练3 解析 由题意知 当n 1时 S1 1 14 当n 2时 S1 S3 16 24 当n 3时 S1 S3 S5 81 34 当n 4时 S1 S3 S5 S7 256 44 猜想 S1 S3 S5 S2n 1 n4 下面用数学归纳法证明 当n 1时 S1 1 14 等式成立 假设当n k n N 时等式成立 即S1 S3 S5 S2k 1 k4 那么 当n k 1时 S1 S3 S5 S2k 1 S2k 1 k4 2k2 k 1 2k2 k 2 2k2 k 2k 1 k4 2k 1 2k2 2k 1 k4 4k3 6k2 4k 1 k 1 4 这就是说 当n k 1时 等式也成立 根据 和 可知对于任意的n N S1 S3 S5 S2n 1 n4都成立 名师讲坛素养提升 用数学归纳法证明 42n 1 3n 2能被13整除 其中n N 分析 用数学归纳法证明整除问题 关键是n k 1时 凑 出假设n k时的形式 以便顺利得解 用数学归纳法证明整除问题 例4 解析 当n 1时 42 1 1 31 2 91能被13整除 假设当n k时 42k 1 3k 2能被13整除 则当n k 1时 42 k 1 1 3k 3 42k 1 42 3k 2 3 42k 1 3 42k 1 3 42k 1 13 3 42k 1 3k 2 42k 1 13能被13整除 42k 1 3k 2能被13整除 当n k 1时命题也成立 由 当n N 时 42n 1 3n 2能被13整除 1 运用数学归纳法证明整除问题 关键是 凑项 即采用增项 减项 拆项和因式分解等手段 将n k 1时的式子凑出n k时的情形 从而利用归纳假设使问题获证 2 利用归纳法证明整除问题 在 凑项 时一定要目标明确 一般采用的方法可概括为 提出因子 构成假设 2018 西安模拟 试证 当n N 时 f n 32n 2 8n 9能被64整除 变式训练4