2020高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第4讲 函数的奇偶性与周期性课件.ppt

函数 导数及其应用 第二章 第四讲函数的奇偶性与周期性 知识梳理 1 函数的奇偶性 f x f x f x f x y轴 原点 2 函数的周期性 1 周期函数对于函数y f x 如果存在一个非零常数T 使得当x取定义域内的任何值时 都有 那么就称函数y f x 为周期函数 称T为这个函数的周期 2 最小正周期如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个 那么这个 就叫作f x 的最小正周期 f x T f x 最小的正数 最小正数 2 减 减 4 教材改编 已知函数f x 满足f x 3 f x 当x 0 1 时 f x log3 x2 3 则f 2019 5 若函数y f x x R 是奇函数 则下列坐标表示的点一定在函数y f x 图象上的是 A a f a B a f a C a f a D a f a 解析 函数y f x 为奇函数 f a f a 即点 a f a 一定在函数y f x 的图象上 1 B B A 考点突破 考点1判断函数的奇偶性 自主练透 例1 分析 先求出定义域 看定义域是否关于原点对称 在定义域内 解析式带绝对值号的先化简 计算f x 再判断f x 与f x 之间的关系 抽象函数常用赋值法判断 6 理 已知对任意x y R 都有f x y f x y 2f x f y 不妨取x 0 y 0 则有2f 0 2 f 0 2 因为f 0 0 所以f 0 1 取x 0 得f y f y 2f 0 f y 2f y 所以f y f y 又y R 所以函数f x 是偶函数 判断函数的奇偶性的方法 1 定义法 若函数的定义域不是关于原点对称的区间 则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数 若函数的定义域是关于原点对称的区间 再判断f x 是否等于f x 或 f x 据此得出结论 2 图象法 奇 偶 函数的充要条件是它的图象关于原点 或y轴 对称 3 性质法 偶函数的和 差 积 商 分母不为零 仍为偶函数 奇函数的和 差仍为奇函数 奇 偶 数个奇函数的积 商 分母不为零 为奇 偶 函数 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数 注 利用上述结论时要注意各函数的定义域 考点2函数的周期性 师生共研 已知函数f x 满足f x f x 2 13 1 求证 f x 是周期函数 2 若f 1 2 求f 99 的值 3 若当x 0 2 时 f x x 试求x 4 8 时函数f x 的解析式 例2 已知f x 是定义在R上的函数 且f x 2 f x 若当2 x 3时 f x x 则f 2019 当0 x 1时 f x 当 2 x 1时 f x 解析 由f x 2 f x 得f x f x 4 f 2019 f 3 3 当0 x 1时 f x f x 2 x 2 当 2 x 1时 f x f x 4 x 4 3 变式训练1 x 2 x 4 考点3函数性质的综合应用 多维探究 角度1函数奇偶性与单调性结合 1 已知f x 是定义在R上的奇函数 当x 0时 f x x2 2x 若f 2 a2 f a 则实数a的取值范围是 A 1 2 B 1 2 C 2 1 D 2 1 例3 C A 角度2函数奇偶性与周期性结合 2018 课标全国 12 已知f x 是定义域为 的奇函数 满足f 1 x f 1 x 若f 1 2 则f 1 f 2 f 3 f 50 A 50B 0C 2D 50 解析 本题主要考查函数的奇偶性和周期性 f x 是定义域为R的奇函数 f 0 0 且f x f x 又 f 1 x f 1 x f x f 2 x 由 得f 2 x f x f 4 x f 2 x 例4 C 由 得f x f x 4 f x 的最小正周期为4 对于f 1 x f 1 x 令x 1 得f 2 f 0 0 令x 2 得f 3 f 1 f 1 2 令x 3 得f 4 f 2 f 2 0 故f 1 f 2 f 3 f 4 2 0 2 0 0 所以f 1 f 2 f 3 f 50 12 0 f 1 f 2 0 2 0 2 故选C 角度3单调性 奇偶性和周期性结合定义在R上的函数f x 满足 对任意x R有f x 4 f x f x 在 0 2 上是增函数 f x 2 的图象关于y轴对称 则下列结论正确的是 A f 7 f 6 5 f 4 5 B f 7 f 4 5 f 6 5 C f 4 5 f 6 5 f 7 D f 4 5 f 7 f 6 5 解析 由 知函数f x 的周期为4 由 知f x 2 是偶函数 则有f x 2 f x 2 即函数f x 图象的一条对称轴是x 2 由 知函数f x 在 0 2 上单调递增 则在 2 4 上单调递减 且在 0 4 上越靠近x 2 对应的函数值越大 又f 7 f 3 f 6 5 f 2 5 f 4 5 f 0 5 由以上分析可得f 0 5 f 3 f 2 5 即f 4 5 f 7 f 6 5 故选D 例5 D 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略1 函数单调性与奇偶性结合 注意函数的单调性及奇偶性的定义 以及奇 偶函数图象的对称性 2 周期性与奇偶性结合 此类问题多考查求值问题 常利用奇偶性及周期性进行变换 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解 3 周期性 奇偶性与单调性结合 解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间 然后利用奇偶性和单调性求解 变式训练2 A A D D 名师点拨 解决此类问题通常先利用周期性将自变量转化到所知的区间 然后利用奇偶性和单调性求解 名师讲坛 函数性质的综合应用 例6 分析 要解不等式 需要知道函数的单调性和奇偶性 从而把函数值的大小转化为自变量的大小 C 已知函数f x 的定义域为R 其图象关于y轴对称 而函数f x 1 的图象关于原点对称 且f 2 3 则f 5 f 6 的值为 A 3B 2C 2D 3 解析 函数f x 的图象关于y轴对称 所以f x f x 又因为函数f x 1 的图象关于原点对称 所以f x 1 f x 1 所以f x f x 2 f x 故f x f x 2 f x 4 故函数f x 的周期为4 因为f x 1 f x 1 当x 0时 f 1 f 1 所以f 1 0 即f 1 0 则f 5 f 6 f 1 f 2 0 3 3 D 变式训练3