2019高考数学二轮复习 专题三 第六讲 三角恒等变换与解三角形课件 文.ppt

第六讲三角恒等变换与解三角形 总纲目录 2018江苏 16 14分 已知 为锐角 tan cos 1 求cos2 的值 2 求tan 的值 解析 1 因为tan tan 所以sin cos 因为sin2 cos2 1 所以cos2 所以cos2 2cos2 1 2 因为 为锐角 所以 0 又因为cos 所以sin 因此tan 2 因为tan 所以tan2 因此tan tan 2 方法归纳三角恒等变换的 4大策略 1 常值代换 特别是 1 的代换 1 sin2 cos2 tan45 等 2 项的分拆与角的配凑 如sin2 2cos2 sin2 cos2 cos2 等 3 降次与升次 正用二倍角公式升次 逆用二倍角公式降次 4 弦 切互化 一般是切化弦 提醒 要特别注意二倍角余弦公式升降幂的作用 1 2018课标全国 15 5分 已知tan 则tan 答案 解析tan 解得tan 2 2018浙江 18 14分 已知角 的顶点与原点O重合 始边与x轴的非负半轴重合 它的终边过点P 1 求sin 的值 2 若角 满足sin 求cos 的值 解析 1 由角 的终边过点P得sin 所以sin sin 2 由角 的终边过点P得cos 由sin 得cos 由 得cos cos cos sin sin 所以cos 或cos 考点二正 余弦定理在解三角形中的应用 1 正弦定理及其变形在 ABC中 2R R为 ABC的外接圆半径 变形 a 2RsinA sinA a b c sinA sinB sinC等 2 余弦定理及其变形在 ABC中 a2 b2 c2 2bccosA 变形 cosA 3 三角形面积公式S ABC absinC bcsinA acsinB 已知 ABC的内角A B C所对的边分别为a b c 且bcosC bsinC a 1 求角B的大小 2 若BC边上的高等于a 求cosA的值 命题角度一 求解三角形中的角 解析 1 由bcosC bsinC a 得sinBcosC sinBsinC sinA 因为A B C 所以sinBcosC sinBsinC sin B C 即sinBcosC sinBsinC sinBcosC cosBsinC 因为C 0 所以sinC 0 所以sinB cosB 因为B 0 所以B 2 设BC边上的高为AD 则AD a 因为B 所以BD AD a 所以CD a 所以AC a AB a 由余弦定理得cosA 方法归纳利用正 余弦定理求三角形的角 常见形式 1 已知两边及其夹角 先由余弦定理求第三边 再由正弦定理求角 2 已知三边 直接由余弦定理求角 3 已知两边及其中一边的对角 先由正弦定理求另一边的对角 再由三角形内角和求第三角 注意此类问题有一解 两解或无解的情况 命题角度二 求解三角形的边与面积如图所示 在 ABC中 点D为BC边上一点 且BD 1 E为AC的中点 AE cosB ADB 1 求AD的长 2 求 ADE的面积 解析 1 在 ABD中 cosB B 0 sinB sin BAD sin B ADB 由正弦定理知 得AD 2 2 由 1 知AD 2 依题意得AC 2AE 3 在 ACD中 由余弦定理得AC2 AD2 DC2 2AD DCcos ADC 即9 4 DC2 2 2 DCcos DC2 2DC 5 0 解得DC 1 负值舍去 S ACD AD DCsin ADC 2 1 从而S ADE S ACD 方法归纳利用余弦定理求边 一般是已知三角形的两边及其夹角 利用正弦定理求边 必须知道两角及其中一边 如该边为其中一角的对边 要注意解的多样性与合理性 而三角形的面积主要是利用两边与其夹角的正弦值求解 1 在锐角三角形ABC中 内角A B C所对的边分别为a b c 若满足 a b sinA sinB c b sinC 且a 则b2 c2的取值范围是 A 5 6 B 3 5 C 3 6 D 5 6 2 已知点O是 ABC的内心 BAC 60 BC 1 则 BOC面积的最大值为 命题角度三 求解三角形中的最值与范围问题 答案 1 A 2 解析 1 a b sinA sinB c b sinC 由正弦定理可得 a b a b c b c 可化为b2 c2 a2 bc 由余弦定理可得cosA A A 又 a 由正弦定理可得 2 b2 c2 2sinB 2 3 2sin2B sin2B 4 2sin 易知B 2B sin b2 c2 5 6 2 O是 ABC的内心 BAC 60 BOC 180 120 由余弦定理可得BC2 OC2 OB2 2OC OB cos120 即OC2 OB2 1 OC OB 又OC2 OB2 2OC OB 当且仅当OC OB时 等号成立 OC OB S BOC OC OB sin120 则 BOC面积的最大值为 方法归纳解三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法 一是利用基本不等式求得最大值或最小值 二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式 结合角的范围确定所求式的范围 1 2018北京 15 13分 在 ABC中 a 7 b 8 cosB 1 求 A 2 求AC边上的高 解析 1 在 ABC中 因为cosB 所以sinB 由正弦定理得sinA 由题设知 B 所以0 A 所以 A 2 在 ABC中 因为sinC sin A B sinAcosB cosAsinB 所以AC边上的高为asinC 7 2 2018河南郑州质量预测 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 且2ccosB 2a b 1 求角C 2 若 ABC的面积S c 求ab的最小值 解析 1 解法一 由2ccosB 2a b及余弦定理 得2c 2a b 得a2 c2 b2 2a2 ab 即a2 b2 c2 ab cosC 又0 C C 解法二 由已知可得2sinCcosB 2sinA sinB 则有2sinCcosB 2sin B C sinB 2sinBcosC sinB 0 B为三角形的内角 sinB 0 cosC C为三角形的内角 C 2 S absinC c c ab 又c2 a2 b2 2abcosC a2 b2 ab a2 b2 ab 3ab ab 12 当且仅当a b时取等号 故ab的最小值为12 考点三正 余弦定理的实际应用解三角形应用题的常考类型 1 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 可用正弦定理或余弦定理求解 2 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形 这时需作出这些三角形 先解条件都具备的三角形 然后逐步求解其他三角形 有时需设出未知量 从几个三角形中列出方程 组 解方程 组 得出所要求的解 如图 小明在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶 小明在A处测得公路上B C两点的俯角分别为30 45 且 BAC 135 若山高AD 100m 汽车从B点到C点历时14s 则这辆汽车的速度约为m s 精确到0 1 参考数据 1 414 2 236 答案22 6 解析因为小明在A处测得公路上B C两点的俯角分别为30 45 所以 BAD 60 CAD 45 设这辆汽车的速度为vm s 则BC 14v 在Rt ADB中 AB 200 在Rt ADC中 AC 100 在 ABC中 由余弦定理 得BC2 AC2 AB2 2AC AB cos BAC 所以 14v 2 100 2 2002 2 100 200 cos135 所以v 22 6 所以这辆汽车的速度约为22 6m s 方法归纳解三角形中的实际问题的四个步骤 1 分析题意 准确理解题意 分清已知与所求 尤其要理解题中的有关名词 术语 如坡度 仰角 俯角 方位角等 2 根据题意画出示意图 并将已知条件在图形中标出 3 将所求解的问题归结到一个或几个三角形中 通过合理运用正弦定理 余弦定理等有关知识正确求解 4 检验解出的结果是否具有实际意义 对结果进行取舍 得出正确答案 答案 1 解析由 DAC 15 DBC 45 可得 BDA 30 DBA 135 BDC 90 15 30 45 由三角形内角和定理可得 DCB 180 45 45 90 根据正弦定理可得 即DB 100sin15 100 sin 45 30 25 1 又 即 得cos 1