2019高考数学一轮复习 第四章 三角函数 4.4 解三角形课件 文.ppt

第四章三角函数 高考文数 4 4解三角形 考点用正 余弦定理解三角形1 正 余弦定理 知识清单 2 解三角形的类型 1 已知两角及一边 用正弦定理 有解时 只有一解 2 已知两边及其中一边的对角 用正弦定理 有解时可分为几种情况 在 ABC中 已知a b和角A时 解的情况如下 上表中A为锐角时 a bsinA无解 A为钝角时 a b a b均无解 3 已知三边 用余弦定理 有解时 只有一解 4 已知两边及夹角 用余弦定理 必有一解 3 三角形的面积设 ABC的三边为a b c 所对的三个内角为A B C 其面积为S 外接圆半径为R 1 S ah h为BC边上的高 2 S absinC acsinB bcsinA 3 S 2R2sinAsinBsinC 4 S 5 S 4 实际问题中的常用角 1 仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角 目标视线在水平线上方的角叫仰角 目标视线在水平线下方的角叫俯角 如图a 2 方位角方位角是指从某点的正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 如B点的方位角为 如图b 3 坡角 坡面与水平面所成的锐二面角 拓展延伸在 ABC中 角A B C所对的边分别是a b c 常见的结论如下 1 A B C 2 在 ABC中 大角对大边 大边对大角 如 a b A B sinA sinB 3 任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 4 在锐角三角形ABC中 sinA cosB A B 5 在斜 ABC中 tanA tanB tanC tanA tanB tanC 6 有关三角形内角的常用三角恒等式 sin A B sinC cos A B cosC tan A B tanC sin cos cos sin 正弦定理和余弦定理的应用方法在解有关三角形的题目时 要有意识地考虑用哪个定理更合适 还是两个定理都要用 要抓住能够利用定理的信息 一般地 如果式子中含有角的余弦或边的二次式 要考虑用余弦定理 如果式子中含有角的正弦或边的一次式 则考虑用正弦定理 如果以上特征都不明显 则要考虑到两个定理都要用到 例1 2017天津 15 13分 在 ABC中 内角A B C所对的边分别为a b c 已知asinA 4bsinB ac a2 b2 c2 1 求cosA的值 2 求sin 2B A 的值 方法技巧 解题导引 1 由asinA 4bsinB及正弦定理得a 2b由ac a2 b2 c2 a 2b及余弦定理求cosA 2 求sinA的值求sinB及cosB的值利用二倍角公式得sin2B及cos2B的值代入两角差的正弦公式得结果 解析 1 由asinA 4bsinB及 得a 2b 又由ac a2 b2 c2 及余弦定理 得cosA 2 由 1 及已知 可得sinA 代入asinA 4bsinB 得sinB 由 1 知 A为钝角 所以cosB 于是sin2B 2sinBcosB cos2B 1 2sin2B 故sin 2B A sin2BcosA cos2BsinA 三角形形状的判断方法1 利用正 余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数的关系 通过三角恒等变换 得出三角形内角之间的关系 从而判断出三角形的形状 2 利用正 余弦定理把已知条件转化为边之间的关系 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 从而判断出三角形的形状 例2 2016辽宁五校第一次联考 8 在 ABC中 角A B C所对的边分别是a b c 若直线bx ycosA cosB 0与ax ycosB cosA 0平行 则 ABC一定是 C A 锐角三角形B 等腰三角形C 直角三角形D 等腰或者直角三角形 解题导引由两直线平行得出边角关系利用正弦或余弦定理化成角与角或边与边之间的关系化简关系式判断三角形的形状 解析解法一 由两直线平行可得bcosB acosA 0 由正弦定理可知sinBcosB sinAcosA 0 即sin2A sin2B 又A B 0 且A B 0 所以2A 2B或2A 2B 即A B或A B 若A B 则a b cosA cosB 此时两直线重合 不符合题意 舍去 故A B 则 ABC是直角三角形 故选C 解法二 由两直线平行可得bcosB acosA 0 由余弦定理 得a b 所以a2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 所以c2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 所以 a2 b2 a2 b2 c2 0 所以a b或a2 b2 c2 若a b 则两直线重合 不符合题意 故a2 b2 c2 则 ABC是直角三角形 故选C 解三角形应用题的方法1 解三角形应用题的步骤2 解三角形应用题的两种方法 1 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 可用正弦定理或余弦定理求解 2 实际问题抽象概括后 已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形 这时需作出这些三角形 先解条件已知的三角形 然后逐步求出其他三角形的解 有时需设出未知量 从几个三角形中列出方程 解方程得出所求的解 3 解三角形应用题应注意的问题 1 要注意仰角 俯角 方位角以及方向角等名词 并能准确地找出这些角 2 要注意将平面几何中的性质 定理与正 余弦定理结合起来使用 这样可以优化解题过程 3 注意题目中的隐含条件以及解的实际意义 例3 2015湖北 15 5分 如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30 的方向上 行驶600m后到达B处 测得此山顶在西偏北75 的方向上 仰角为30 则此山的高度CD m 解题导引由已知条件及三角形内角和定理可得 ACB的值 在 ABC中 利用正弦定理求得BC 在Rt BCD中 利用锐角三角函数的定义求得CD的值 解析依题意有AB 600 CAB 30 CBA 180 75 105 DBC 30 DC CB ACB 45 在 ABC中 由 得 有CB 300 在Rt BCD中 CD CB tan30 100 则此山的高度CD 100m 答案100