2019高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法课件 新人教A版选修1 -2.ppt

2 2 1综合法和分析法 1 综合法 2 分析法 做一做1 下列表述 综合法是由因导果法 综合法是顺推法 分析法是执果索因法 分析法是间接证明法 分析法是逆推法 其中正确的表述有 A 2个B 3个C 4个D 5个解析 结合综合法和分析法的定义可知 均正确 分析法和综合法均为直接证明法 故 不正确 答案 C 做一做2 要证明 可选择的方法有以下几种 其中最合理的是 A 综合法B 分析法C 类比法D 归纳法解析 因为我们很难想到从 21 25 入手 所以用综合法证明比较困难 最合理的是分析法 故选B 答案 B 3 综合法和分析法的综合应用 1 在解决问题时 我们经常把综合法和分析法结合起来使用 根据条件的结构特点去转化结论 得到中间结论Q 根据结论的结构特点去转化条件 得到中间结论P 若由P 可以推出Q 成立 即可证明结论成立 2 用P表示已知条件 定义 定理 公理等 用Q表示要证明的结论 则上述过程可用框图表示为 P P1 P1 P2 Pn P Q Qm Q2 Q1 Q1 Q 名师点拨综合法和分析法的区别与联系区别 联系 分析法便于我们去寻找证明思路 综合法便于证明过程的叙述 两种方法各有所长 因而在解决问题时 常先用分析法寻求解题思路 再用综合法有条理地表达证明过程 两种方法结合运用效果会更好 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 综合法的证明过程是合情推理的过程 2 分析法的证明过程是演绎推理的过程 3 分析法的特点是从 未知 看 需知 逐步靠拢 已知 其推理过程实际上是逐步寻求使结论成立的充分条件 4 综合法的特点是从 已知 看 未知 其推理过程实际上是逐步寻求已知条件的必要条件 5 分析法与综合法证明同一个问题时 一般思路相反 过程相逆 答案 1 2 3 4 5 探究一 探究二 探究三 规范解答 综合法的应用 例1 在 ABC中 内角A B C的对边分别为a b c 已知sinAsinB sinBsinC cos2B 1 求证 a b c成等差数列 思路分析 从已知条件中的等式出发 寻求sinA sinB sinC之间的关系 然后结合正弦定理证明结论 证明 因为sinAsinB sinBsinC cos2B 1 所以sinB sinA sinC cos2B 1 0 即sinB sinA sinC 2sin2B 0 所以sinB sinA sinC 2sinB 0 由于在 ABC中 sinB 0 因此sinA sinC 2sinB 0 由正弦定理可得 于是a c 2b 故a b c成等差数列 探究一 探究二 探究三 规范解答 反思感悟1 综合法的证明步骤 1 分析条件 选择方向 确定已知条件和结论间的联系 合理选择相关定义 定理 公理等 2 转化条件 组织过程 将条件合理转化 书写出严密的证明过程 2 综合法的适用范围 1 定义明确的题型 如证明函数的单调性 奇偶性 求证无条件的等式或不等式问题等 2 已知条件明确 且容易寻求已知条件的必要条件获得结论的题型 3 在利用综合法证明不等式的过程中 要注意不等式性质以及基本不等式的应用 在利用综合法证明三角恒等式的过程中 要注意三角函数基本公式和正余弦定理的应用 探究一 探究二 探究三 规范解答 变式训练1已知a b c是不全相等的正数 求证 a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 6abc 证明 因为a b c是正数 所以b2 c2 2bc 所以a b2 c2 2abc 同理可得b c2 a2 2abc c a2 b2 2abc 又因为a b c不全相等 所以 三式中不能同时取到 故 三式相加得a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 6abc 探究一 探究二 探究三 规范解答 分析法的应用 例2 已知函数f x x2 2x 2 若m n 1 求证 思路分析 已知条件较少 且很难和要证明的不等式直接联系起来 故可考虑从要证明的不等式出发 采用分析法证明 即证2m2 2n2 m2 2mn n2 只需证m2 n2 2mn 即证 m n 2 0 因为m n 1 所以 m n 2 0显然成立 故原不等式成立 探究一 探究二 探究三 规范解答 反思感悟分析法的证明过程 书写形式及适用范围 1 证明过程 确定结论与已知条件间的联系 合理选择相关定义 定理 公理对结论进行转化 直到获得一个明显成立的条件即可 2 书写形式 要证 只需证 即证 然后得到一个明显成立的条件 所以结论成立 3 适用范围 已知条件不明确 或已知条件较少而结论式子较复杂的问题 探究一 探究二 探究三 规范解答 变式训练2如图 SA 平面ABC AB BC 过点A作SB的垂线 垂足为E 过点E作SC的垂线 垂足为F 求证 AF SC 证明 已知EF SC 要证AF SC 只需证SC 平面AEF 只需证AE SC 而AE SB 故只需证AE 平面SBC 只需证AE BC 而AB BC 故只需证BC 平面SAB 只需证BC SA 由SA 平面ABC 可知SA BC 即上式显然成立 所以AF SC成立 探究一 探究二 探究三 规范解答 综合法与分析法的综合应用 例3 已知 ABC的三个内角A B C所对的边分别为a b c 且三个内角A B C构成等差数列 求证 思路分析 本题条件较为简单 但结论中的等式较为复杂 故可首先用分析法 将要证明的等式进行转化 转化为一个较为简单的式子 然后再从已知条件入手 结合余弦定理 推导出这个式子 即可得证 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 反思感悟1 有些数学问题的证明 需要把综合法与分析法结合起来使用 根据条件的结构特点去转化结论 得到中间结论Q 根据结论的结构特点去转化条件 得到中间结论P 若由P可以推出Q成立 就可以证明结论成立 这种边分析边综合的证明方法 称为分析综合法 或者称 两头凑法 2 在证明过程中 分析法能够发现证明的思路 但解题的表述过程较为繁琐 而综合法表述证明过程则显得简洁 因此在实际解题过程中 常常将分析法和综合法结合起来运用 先利用分析法探求得到解题思路 再利用综合法有条理地表述解题过程 探究一 探究二 探究三 规范解答 变式训练3设实数a b c成等比数列 非零实数x y分别为a与b b与c的等差中项 证明 探究一 探究二 探究三 规范解答 分析法的证明过程及步骤 典例 设函数f x ax2 bx c a 0 若函数y f x 1 的图象与f x 的图象关于y轴对称 求证 为偶函数 审题策略 由于已知条件较为复杂 且不易与要证明的结论联系 故可从要证明的结论出发 利用分析法 从函数图象的对称轴找到证明的突破口 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 答题模板第1步 将证明函数为偶函数的问题转化为证明其对称轴为y轴的问题 第2步 将对称轴用系数a b表示 从而得到系数a b应满足的条件 第3步 将已知条件中对称轴满足的条件用系数a b表示 得到系数a b之间的关系 第4步 对照第2步中的条件 由分析法证明问题得证 第5步 结论成立 探究一 探究二 探究三 规范解答 失误警示通过阅卷统计分析 发现造成失分的原因主要如下 1 不能将所要证明的问题转化为对称轴的问题 2 不能将对称轴正确地用系数a b表示 3 不能将已知中的条件转化为a b之间的关系式 4 证明过程中的文字叙述不规范 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 1 用分析法证明 要使 A B 只需使 C0 sinA 1 又A 0 A ABC是直角三角形 故选C 答案 C 3 命题 函数f x x xlnx在区间 0 1 上是增函数 的证明过程 对函数f x x xlnx求导 得f x lnx 当x 0 1 时 f x lnx 0 故函数f x 在区间 0 1 上是增函数 应用了的证明方法 解析 本命题的证明 利用题设条件和导数与函数单调性的关系 经推理论证得到了结论 所以应用的是综合法的证明方法 答案 综合法