2019版高考数学二轮复习 专题九 选做大题 2.9.2 不等式选讲课件 文.ppt

9 2不等式选讲 选修4 5 2 3 4 5 6 1 绝对值三角不等式 1 定理1 若a b是实数 则 a b a b 当且仅当ab 0时 等号成立 2 性质 a b a b a b 3 定理2 若a b c是实数 则 a c a b b c 当且仅当 a b b c 0时 等号成立 7 2 绝对值不等式的解法 1 含绝对值的不等式 x a a 0 的解法 x a x a或x0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c c ax b c ax b c ax b c或ax b c 3 x a x b c c 0 和 x a x b c c 0 型不等式的解法 利用绝对值不等式的几何意义求解 体现了数形结合的思想 利用 零点分段法 求解 体现了分类讨论的思想 通过构造函数 利用函数的图象求解 体现了函数与方程的思想 8 9 4 不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法 综合法 分析法 反证法 放缩法等 1 比较法 求差比较法 求商比较法 求差比较法 由于a b a b 0 ab 只要证明a b 0即可 求商比较法 由a b 0 1且a 0 b 0 因此当a 0 b 0时要证明a b 只要证明 1即可 2 分析法 从待证不等式出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式 已知条件 定理等 10 3 综合法 从已知条件出发 利用不等式的有关性质或定理 经过推理论证 推导出所要证明的不等式成立 即 由因寻果 的方法 这种证明不等式的方法称为综合法 5 柯西不等式 11 考向一 考向二 考向三 解不等式 求参数范围 全方位探究 例1 2018广东梅州二模 23 已知函数f x x 1 x 2 1 求不等式f x 1的解集 2 若不等式f x x2 x m的解集非空 求m的取值范围 当x2时 由f x 1解得x 2 所以f x 1的解集为 x x 1 12 考向一 考向二 考向三 13 考向一 考向二 考向三 解题心得1 解含有两个以上绝对值符号的不等式 一般解法是零点分段法 即令各个绝对值式子等于0 求出各自零点 把零点在数轴上从小到大排列 然后按零点分数轴形成的各区间去绝对值 进而将绝对值不等式转化为常规不等式 2 在不等式恒成立的情况下 求参数的取值范围 可以采取分离参数 通过求对应函数最值的方法获得 14 考向一 考向二 考向三 对点训练1已知函数f x x m 2x 1 m 0 1 当m 1时 解不等式f x 3 2 当x m 2m2 时 不等式f x x 1 恒成立 求实数m的取值范围 15 考向一 考向二 考向三 16 考向一 考向二 考向三 例2已知函数f x x2 ax 4 g x x 1 x 1 1 当a 1时 求不等式f x g x 的解集 2 若不等式f x g x 的解集包含 1 1 求a的取值范围 17 考向一 考向二 考向三 解 1 当a 1时 不等式f x g x 等价于x2 x x 1 x 1 4 0 当x 1时 式化为x2 3x 4 0 无解 当 1 x 1时 式化为x2 x 2 0 从而 1 x 1 2 当x 1 1 时 g x 2 所以f x g x 的解集包含 1 1 等价于当x 1 1 时f x 2 又f x 在 1 1 的最小值必为f 1 与f 1 之一 所以f 1 2且f 1 2 得 1 a 1 所以a的取值范围为 1 1 18 考向一 考向二 考向三 解题心得1 对于求参数范围问题 可将已知条件进行等价转化 得到含有参数的不等式恒成立 此时通过求函数的最值得到关于参数的不等式 解不等式得参数范围 2 解答此类问题应熟记以下转化 f x a恒成立 f x min a f x a有解 f x max a f x a无解 f x max a f x a无解 f x min a 19 考向一 考向二 考向三 对点训练2 2018河南濮阳三模 23 已知函数f x x 1 x 2 g x x2 x a 1 当a 5时 求不等式f x g x 的解集 2 若不等式f x g x 的解集包含 2 3 求a的取值范围 20 考向一 考向二 考向三 解 1 当a 5时 不等式f x g x 等价于 x 1 x 2 x2 x 5 当x 1时 式化为x2 x 2 0 无解 当 1 x 2时 式化为x2 3x 4 0 得 1 x 2 2 当x 2 3 时 f x 3 所以f x g x 的解集包含 2 3 等价于x 2 3 时g x 3 又g x x2 x a在 2 3 上的最大值为g 3 6 a 所以g 3 3 即6 a 3 得a 3 所以a的取值范围为 3 21 考向一 考向二 考向三 例3 2018湖南衡阳一模 文23 设函数f x x 2 x a x R 1 若a 1 试求f x 4的解集 2 若a 0 且关于x的不等式f x x有解 求实数a的取值范围 22 考向一 考向二 考向三 解题心得在不等式f x g x 有解或恒成立时 求不等式中所含参数的取值范围或最值 可分别作出函数f x 和g x 的图象 根据图象找到不等式f x g x 有解或恒成立的条件 从而得出参数的取值范围或最值 23 考向一 考向二 考向三 对点训练3 2018全国卷3 理23 设函数f x 2x 1 x 1 1 画出y f x 的图象 2 当x 0 时 f x ax b 求a b的最小值 24 考向一 考向二 考向三 y f x 的图象如图所示 2 由 1 知 y f x 的图象与y轴交点的纵坐标为2 且各部分所在直线斜率的最大值为3 故当且仅当a 3且b 2时 f x ax b在 0 成立 因此a b的最小值为5 25 考向一 考向二 考向三 例4 2018全国卷1 理23 已知f x x 1 ax 1 1 当a 1时 求不等式f x 1的解集 2 若x 0 1 时不等式f x x成立 求a的取值范围 26 考向一 考向二 考向三 解题心得在不等式f x g x 成立下 求不等式中所含参数的取值范围 可对参数进行讨论 看参数在哪些范围内不等式能成立 然后把使不等式成立的参数的范围合并在一起即可 27 考向一 考向二 考向三 对点训练4已知f x x a 3x 其中a R 1 当a 1时 求不等式f x 3x 2x 1 的解集 2 若不等式f x 0的解集为 x x 1 求a的值 28 考向一 考向二 考向三 解 1 a 1时 f x x 1 3x 由f x 2x 1 3x 得 x 1 2x 1 0 故 x 1 2x 1 解得 2 x 0 不等式的解集为 x 2 x 0 29 考向一 考向二 考向三 不等式的证明例5 2018山东潍坊三模 文23 已知函数f x x 4 不等式f x 8 2x 2 的解集为M 1 求M 2 设a b M 证明 f ab f 2a f 2b 30 考向一 考向二 考向三 1 解 将f x x 4 代入f x 8 2x 2 得 x 4 2x 2 8 当x 4时 不等式转化为 x 4 2x 2 8 解得x8 解得x8 解得x 2 所以此时x 2 综上 M x x2 31 考向一 考向二 考向三 2 证明因为f 2a f 2b 2a 4 2b 4 2a 4 2b 4 2a 2b 所以要证f ab f 2a f 2b 只需证 ab 4 2a 2b 即证 ab 4 2 2a 2b 2 即证a2b2 8ab 16 4a2 8ab 4b2 即证a2b2 4a2 4b2 16 0 即证 a2 4 b2 4 0 因为a b M 所以a2 4 b2 4 所以 a2 4 b2 4 0成立 所以原不等式成立 32 考向一 考向二 考向三 解题心得不等式证明的常用方法是 比较法 综合法与分析法 其中运用综合法证明不等式时 主要是运用基本不等式证明 与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式 证明过程中一方面要注意不等式成立的条件 另一方面要善于对式子进行恰当的转化 变形 33 考向一 考向二 考向三 34 考向一 考向二 考向三 35 考向一 考向二 考向三 求代数式的最值例6 2018河北唐山一模 文23 设函数f x x 1 x 的最大值为m 1 求m的值 36 考向一 考向二 考向三 37 考向一 考向二 考向三 解题心得若题设条件有 或者经过化简题设条件得到 两个正数和或两个正数积为定值 则可利用基本不等式求两个正数积的最大值或两个正数和的最小值 38 考向一 考向二 考向三 对点训练6 2018湖南衡阳二模 理23 已知a 0 b 0 c 0 若函数f x x a x b c的最小值为4 1 求a b c的值 解 1 f x x a x b c x a x b c a b c a b c 当且仅当 a x b时 等号成立 f x 的最小值为a b c a b c 4 39 考向一 考向二 考向三