2019版高考数学一轮复习 第九章 概率与统计 第5讲 几何概型配套课件 理.ppt

第5讲 几何概型 1 几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 成比例 那么称这样的概率模型为几何概率模型 简 称为 几何概型 2 几何概型中 事件A的概率计算公式 P A 构成事件A的区域长度 面积或体积 全部结果所构成的区域长度 面积或体积 3 要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 1 无限性 在一次试验中 可能出现的结果有无限多个 2 等可能性 每个结果的发生具有等可能性 注意 在几何概型的试验中 事件A的概率P A 只与子区域A的几何度量 长度 面积或体积 成正比 而与A的位置和形状无关 求试验中几何概型的概率 关键是求得事件所占区域和 整个区域 的几何度量 然后代入公式即可求解 1 一只蚂蚁在如图9 5 1所示的地板砖 除颜色不同外 其余全部相同 上爬来爬去 它最后随意停留在灰色地板砖上的概 率是 B 图9 5 1 A 14 B 13 C 15 D 12 2 2016年湖北武汉调研 在两根相距6m的木杆上系一根绳子 并在绳子上挂一盏灯 则灯与两端距离都大于2m的概 率为 B A 12 B 13 C 14 D 16 解析 记 灯与两端距离都大于2m 为事件A 则P A 面积不小于的概率是 3 在面积为S的 ABC的边AB上任取一点P 则 PBC的 S3 A 23 B 13 C 34 D 14 空间是线段AB的长度 如图D77 取AB的三等分点P 如果在线段BP上取点 那么 PBC的 答案 A 图D77 4 向面积为S的 ABC内任投一点P 则 PBC的面积小 图D78 考点1 与长度 或角度 有关的几何概型 例1 1 2016年新课标 某公司的班车在7 00 8 00 8 30发车 小明在7 50至8 30之间到达发车站乘坐班车 且到达发车站的时刻是随机的 则他等车时间不超过10分钟的 概率是 A 13 B 12 C 23 D 34 故选B 解析 如图D79 画出时间轴 图D79小明到达的时间会随机地落在图中线段AB中 而当他的到达时间落在线段AC或DB时 才能保证他等车的时间不超过 10分钟 根据几何概型 得所求概率p 10 1040 12 答案 B 间 4 5 上随机取一个数x 则x D的概率是 解析 由6 x x2 0 即x2 x 6 0 解得 2 x 3 3 2 5 4 根据几何概型的概率计算公式得x D的概率是5 95答案 9 3 在区间 2 3 上随机选取一个数x 则x 1的概率为 A 45 B 35 C 25 D 15 解析 在区间 2 3 上符合x 1的区间为 2 1 因为区间 2 3 的长度为5 区间 2 1 的长度为3 所以根据几何概答案 B 规律方法 应用几何概型求概率的步骤 把每一次试验当作一个事件 看事件是否是等可能的且事件的个数是否是无限个 若是 则考虑用几何概型 将试验构成的区域和所求事件构成的区域转化为几何图 形 并加以度量 将几何概型转化为长度 面积 体积之比 应用几何概 型的概率公式求概率 考点2 与面积 或体积 有关的几何概型 例2 1 2017年新课标 如图9 5 2 正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 在正方形内随机取一 点 则此点取自黑色部分的概率是 图9 5 2 解析 不妨设正方形边长为a 由图形的对称性可知 太极图中黑白部分面积相等 即所各占圆面积的一半 由几何概型 答案 B 2 2016年新课标 从区间 0 1 内随机抽取2n个数x1 x2 xn y1 y2 yn 构成n个数对 x1 y1 x2 y2 xn yn 其中两数的平方和小于1的数对共有m个 则用随机 模拟的方法得到的圆周率 的近似值为 A 4nm B 2nm C 4mn D 2mn 解析 由题意 得 xi yi i 1 2 n 在如图所示方格中 而平方和小于1的点均在如图D80所示的阴影中 利用几何概 图D80答案 C 3 如图9 5 3 在长方体ABCD A1B1C1D1中 有一动点在此长方体内随机运动 则此动点在三棱椎A A1BD内的概率为 图9 5 3 规律方法 如果试验结果构成的试验区域的几何测度可用面积或体积表示 那么概率的计算公式为P A 构成事件A的区域长度 面积或体积 全部结果所构成的区域长度 面积或体积 考点3 与线性规划有关的几何概型 例3 甲 乙两人约定上午9时至12时在某地点见面 并约定任何一个人先到之后等另一个人不超过1小时 1小时之内若对方不来 则离去 如果他们两个人在9时到12时之间的任何时刻到达约定地点的概率都是相等的 求他们见到面的概率 思维点拨 1 考虑甲 乙两人分别到达某地点的时间 我们以9时为起时 在平面直角坐标系内用x轴表示甲到达约定地点的时间 y轴表示乙到达约定地点的时间 用0到3表示9时至12时的时间段 则横轴0到3与纵轴0到3的正方形中任一时的坐标 x y 就表示甲 乙两人分别在9时至12时时间段内到达的时间对 2 两人能会面的时间必须满足 x y 1 这就将问题化归为几何概型问题 解 设9时后过了x小时甲到达 9时后过了y小时乙到达 取点Q x y 则0 x 3 0 y 3 两人见到面的充要条件是 x y 1 如图9 5 4 其概率是 图9 5 4 规律方法 将随机事件转化为面积之比时 要注意哪部分代表总的基本事件表示的区域 哪部分是所求事件所表示的区域 1 由人教版教材必修3P137 例2改编 某校早上8 00开始上课 假设该校学生小张与小王在早上7 30 7 50之间到校 且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的 则小张比小王至少早5分钟到校的概率为 用数字作答 解析 如图D81 用x表示小张到校的时间 30 x 50 用y表示小王到校的时间 30 y 50 则所有可能的结果对应平面直角坐标系的正方形ABCD区域 小张比小王至少早5分钟到校 即y x 5 所对应的区域为 DEF 互动探究 图D81 答案 932 2 2015年湖北 在区间 0 1 上随机取两个数x y 记p1为 A p1 p2 p3B p2 p3 p1C p3 p1 p2D p3 p2 p1 1 2 3 图D82答案 B 易错 易混 易漏 几何概型中容易混淆几何量的比例题 1 在Rt ABC中 A 30 过直角顶点C作射 线CM交线段AB于点M 则使 AM AC 的概率为 正解 如图9 5 5 取AD AC A 30 此时 ACD 图9 5 5答案 B 2 在Rt ABC中 A 30 在斜边AB上任取一点M 则使 AM AC 的概率为 正解 如图9 5 6 取AD AC A 30 欲使 AM AC 点M必须在线段BD内 其概率为 图9 5 6答案 C 失误与防范 请注意两题的区别 过直角顶点C作射线CM交线段AB于点M 在斜边AB上任取一点M 前者CM在直角内等可能 结果应该为角度的比 后者M为斜边AB上任一点 结果应该为斜边AB上的长度比