2019版高中数学第一章立体几何初步1.2点线面之间的位置关系1.2.3第1课时直线与平面垂直课件新人教B版必修2 .ppt

1 2 3空间中的垂直关系第一课时直线与平面垂直 目标导航 新知探求 课堂探究 新知探求 素养养成 点击进入情境导学 知识探究 1 两条直线互相垂直如果两条直线相交于一点或 并且 则称这两条直线互相垂直 2 空间直线与平面垂直如果一条直线和一个平面相交于一点 并且和这个平面内过交点的 我们说这条直线和这个平面互相垂直 这条直线叫 这个平面叫 交点叫 垂线上任意一点到垂足间的线段 叫这个点到平面的 垂线段的长度叫这个点到平面的距离 经过平移后相交于一点 交角为直角 任何 直线都垂直 平面的垂线 直线的垂面 垂足 垂线段 3 直线与平面垂直的判定定理定理 如果 则这条直线与这个平面垂直 推论1 如果在两条平行直线中 有一条垂直于平面 那么 推论2 如果两条直线垂直于同一个平面 那么 一条直线与平面内的两条相交直线垂直 另一条直线也垂直 于这个平面 这两条直线平行 4 直线与平面垂直的性质定理如果一条直线垂直于一个平面 那么它就和平面内的 任意一条直线垂直 拓展延伸 直线和平面的垂直1 直线与平面垂直定义的理解 1 定义中的 任何直线 是必不可少的 它与 所有直线 是有相同的含义 但与 无数直线 表达的意义不相同 要注意区分 2 由定义可知 直线与平面垂直时 这条直线与平面内的每一条直线都垂直 这也是在立体几何中证明线线垂直常用的而且是重要的判定方法 3 直线与平面垂直时 直线与平面必相交 2 直线与平面垂直的判定 1 判定方法 线面垂直的定义 判定定理 判定定理的推论 其中主要方法是判定定理 即在平面内 找两条相交直线与已知直线垂直 从而转化为证明直线与直线的垂直 2 与线面垂直有关的两个结论 垂直于同一平面的两条直线平行 证明线线平行的方法 垂直于同一直线的两个平面平行 证明面面平行的方法 自我检测 1 若直线l不垂直于平面 那么平面 内 A 不存在与l垂直的直线 B 只存在一条与l垂直的直线 C 存在无数条直线与l垂直 D 以上都不对 C 解析 直线与平面不垂直也可以垂直于平面内的无数条直线 这些直线都相互平行 故选C 2 如果一条直线垂直于一个平面内的 三角形的两条边 梯形的两条边 圆的两条直径 正六边形的两条边 不能保证该直线与平面垂直的是 A B C D C 解析 因为三角形两边是两条相交线 可得直线与平面垂直 梯形两边 若是平行的两边则直线不一定与平面垂直 圆的两条直径一定是相交线 故可得直线与平面垂直 正六边形的两边若是一组平行线则不一定垂直 故选C 3 若m l m 则l与 的位置关系是 A l B l C l D l 或l 解析 通过作图 图略 可知 l 或l 故选D D 4 设O为平行四边形ABCD对角线交点 P为平面AC外一点 且满足PA PC PB PD 则PO与平面ABCD的关系是 解析 因为PA PC PB PD O为AC BD中点 所以PO AC PO BD 又AC BD O 所以PO 平面ABCD 答案 垂直 类型一 直线与平面垂直的判定 课堂探究 素养提升 例1 已知PA O所在的平面 AB是 O的直径 C是 O上任意一点 过A点作AE PC于点E 求证 AE 平面PBC 证明 因为PA 平面ABC 所以PA BC 又因为AB是 O的直径 所以BC AC 而PA AC A 所以BC 平面PAC 又因为AE在平面PAC内 所以BC AE 又因为PC AE 且PC BC C 所以AE 平面PBC 变式训练1 1 如图 PA 平面ABC ABC中 BC AC 则图中直角三角形有 A 4个 B 3个 C 2个 D 1个 解析 因为PA 平面ABC 所以PA AC PA BC PA AB 因为BC AC AC PA A 所以BC 平面PAC 所以BC PC 所以 PAC PAB ABC PBC均是直角三角形 选A 类型二 直线与平面垂直的性质 例2 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 点E F分别在A1D AC上 且EF A1D EF AC 求证 EF BD1 证明 如图所示 连接AB1 B1C BD B1D1 因为DD1 平面ABCD AC 平面ABCD 所以DD1 AC 又因为AC BD且BD DD1 D 所以AC 平面BDD1B1 因为BD1 平面BDD1B1 所以BD1 AC 同理可证BD1 B1C 又B1C AC C 所以BD1 平面AB1C 因为EF A1D A1D B1C 所以EF B1C 又EF AC且AC B1C C 所以EF 平面AB1C 所以EF BD1 方法技巧线面垂直的性质常用来证明线线垂直以及线线平行 由此要重视线面垂直与线线垂直及平行的内在联系 能够进行它们之间的相互转化 变式训练2 1 如图 已知点P为平面ABC外一点 PA BC PC AB 求证 PB AC 证明 过P作PO 平面ABC于O 连接OA OB OC 因为BC 平面ABC 所以PO BC 又因为PA BC PA PO P 所以BC 平面PAO 又因为OA 平面PAO 所以BC OA 同理 可证AB OC 所以O是 ABC的垂心 所以OB AC 又因为PO AC OB PO O 所以AC 平面PBO 又PB 平面PBO 所以PB AC 类型三 线面垂直关系的综合应用 例3 2016 全国 卷 如图 已知正三棱锥P ABC的侧面是直角三角形 PA 6 顶点P在平面ABC内的正投影为点D D在平面PAB内的正投影为点E 连接PE并延长交AB于点G 1 证明G是AB的中点 1 证明 因为P在平面ABC内的正投影为D 所以AB PD 因为D在平面PAB内的正投影为E 所以AB DE 又PD DE D 所以AB 平面PED 故AB PG 又由已知可得PA PB 从而G是AB的中点 2 作出点E在平面PAC内的正投影F 说明作法及理由 并求四面体PDEF的体积 方法技巧与空间中垂直关系有关的综合问题要根据已知条件和有关性质定理 判定定理 定义等综合判别 利用它们之间的相互转化关系进行证明 变式训练3 1 如图所示 ABC中 B为直角 P是 ABC外一点 且PA PB PB BC 若M是PC的中点 试确定AB上点N的位置 使得MN AB 解 因为CB AB CB PB AB PB B 所以CB 平面APB 过M作ME CB 则ME 平面APB 所以ME AB 若MN AB 因为ME MN M 则AB 平面MNE 所以AB EN 取AB中点D 连接PD 因为PA PB 所以PD AB 所以NE PD 又M为PC的中点 ME BC 所以E为PB的中点 因为EN PD 所以N为BD的中点 故当N为AB的四等分点 AN 3BN 时 MN AB 谢谢观赏