2019届高考数学二轮复习 第一篇 思想、方法与技巧 1.2 数形结合思想课件.ppt

第二讲数形结合思想 微题型一利用数形结合思想研究函数的零点 方程的根 图象的交点问题 典例1 1 函数f x lnx x a有两个零点 则实数a的取值范围是 A 1 B 1 C 1 D 1 2 已知函数若存在2个零点 则a的取值范围是 世纪金榜导学号 思路点拨 解析 1 选B 函数f x lnx x a的零点 即关于x的方程lnx x a 0的实根 将方程lnx x a 0化为方程lnx x a 令y1 lnx y2 x a 由导数知识可知 直线y2 x a与曲线y1 lnx相切时有a 1 如图所示 若关于x的方程lnx x a 0有两个不同的实根 则实数a的取值范围是 1 2 选C 因为g x f x x a存在2个零点 即y f x 与y x a有两个交点 图象如下 要使得y x a与f x 有两个交点 则有 a 1即a 1 方法点睛 利用数形结合探究方程解的问题应注意两点 1 讨论方程的解 或函数的零点 一般可构造两个函数 使问题转化为讨论两曲线的交点问题 但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性 全面性 否则会得到错解 2 正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键 数形结合应以快和准为原则 不要刻意去用数形结合 跟踪训练 1 已知函数函数g x 是周期为2的偶函数且当x 0 1 时 g x 2x 1 则函数y f x g x 的零点个数是世纪金榜导学号 A 5B 6C 7D 8 解析 选B 在同一坐标系中作出y f x 和y g x 的图象如图所示 由图象可知当x 0时 有4个零点 当x 0时 有2个零点 所以一共有6个零点 微题型二利用数形结合思想解决不等式 参数问题 典例2 1 实系数一元二次方程x2 ax 2b 0的一个根在区间 0 1 上 另一个根在区间 1 2 上 则的取值范围是 A 1 4 B 1 4 2 若存在实数a 对任意的x 0 m 都有 sinx a cosx a 0恒成立 则实数m的最大值为 思路点拨 解析 1 选D 设f x x2 ax 2b 因为x2 ax 2b 0的一个根在 0 1 内 另一个根在区间 1 2 内 所以可得 作出满足上述不等式组对应的点 a b 所在的平面区域 得到 ABC及其内部 即如图所示的阴影部分 不含边界 其中A 3 1 B 2 0 C 1 0 设点E a b 为区域内的任意一点 则k 表示点E a b 与点D 1 2 连线的斜率 因为结合图形可知 kAD k kCD 所以的取值范围是 2 选C 在同一坐标系中 作出y sinx和y cosx的图象 当m 时 要使不等式恒成立 只有a 当m 时 在x 0 m 上 必须要求y sinx和y cosx的图象不在y a 的同一侧 所以m的最大值是 方法点睛 利用数形结合思想解不等式或求参数范围问题的技巧求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象 根据不等式中量的特点 选择适当的两个 或多个 函数 利用两个函数图象的上 下位置关系转化为数量关系来解决问题 跟踪训练 2 若不等式的解集为区间 a b 且b a 2 则k 世纪金榜导学号 解析 如图 分别作出直线y k x 2 与半圆由题意 知直线在半圆的上方 由b a 2 可知b 3 a 1 所以直线y k x 2 过点 1 2 则k 答案 微题型三利用数形结合思想解决平面向量中的问题 典例3 1 2017 全国卷 已知 ABC是边长为2的等边三角形 P为平面ABC内一点 则的最小值 是 2 2018 泰安一模 已知a b是平面内两个互相垂直的单位向量 若向量c满足 a c b c 0 则 c 的最大值是 思路点拨 解析 1 选B 取BC的中点O 以BC为x轴 BC的垂直平分线AO为y轴 O为坐标原点建立平面直角坐标系 如图所示 则B 1 0 C 1 0 设P x y 所以 1 x y 1 x y 所以 2x 2y 当时 取得最小值 最小值为 2 因为 a c b c 0 所以 a c b c 如图所示 所以O A C B四点共圆 当且仅当OC为圆的直径时 c 最大 且最大值为 答案 方法点睛 平面向量的数形结合的关注点 1 在解答平面向量问题时 根据题目条件建立相应的平面直角坐标系 2 利用平面向量的坐标 结合向量的坐标运算 数量积公式等求解 具有很强的操作性 解答过程流畅 解题方法巧妙 跟踪训练 3 2016 四川高考 已知正三角形ABC的边长为2 平面ABC内的动点P M满足的最大值是 解析 选B 因为正三角形ABC的边长为2 我们以A为原点建立直角坐标系 B C D三点坐标分别为B 3 C 3 D 2 0 由设P点的坐标为 cos sin 其中 0 2 而即M是PC的中点 可以写出M的坐标为 微题型四利用数形结合思想解决解析几何相关问题 典例4 1 已知圆C x 3 2 y 4 2 1和两点A m 0 B m 0 m 0 若圆C上存在点P 使得 APB 90 则m的最大值为 A 7B 6C 5D 4 2 已知抛物线的方程为x2 8y F是其焦点 点A 2 4 在此抛物线上求一点P 使 APF的周长最小 此时点P的坐标为 世纪金榜导学号 思路点拨 解析 1 选B 根据题意 画出示意图 如图所示 则圆心C的坐标为 3 4 半径r 1 且 AB 2m 因为 APB 90 连接OP 易知 要求m的最大值 即求圆C上的点P到原点O的最大距离 因为所以 OP max OC r 6 即m的最大值为6 2 因为 2 2 8 4 所以点A 2 4 在抛物线x2 8y的内部 如图 设抛物线的准线为l 过点P作PQ l于点Q 过点A作AB l于点B 连接AQ 由抛物线的定义可知 APF的周长为 PF PA AF PQ PA AF AQ AF AB AF 当且仅当P B A三点共线时 APF的周长取得最小值 即 AB AF 因为A 2 4 所以不妨设 APF的周长最小时 点P的坐标为 2 y0 代入x2 8y 得故使 APF的周长最小的抛物线上的点P的坐标为答案 方法点睛 数形结合在解析几何中的解题策略 1 数形结合思想中一个非常重要的方面是以数解形 通过方程等代数方法来研究几何问题 也就是解析法 解析法与几何法结合来解题 会有更大的功效 2 此类题目的求解要结合该曲线的定义及几何性质 将条件信息和结论信息结合在一起 观察图形特征 转化为代数语言 即方程 组 或不等式 组 从而将问题解决 跟踪训练 4 已知P是直线l 3x 4y 8 0上的动点 PA PB是圆x2 y2 2x 2y 1 0的两条切线 A B是切点 C是圆心 则四边形PACB面积的最小值为 世纪金榜导学号 解析 从运动的观点看问题 当动点P沿直线3x 4y 8 0向左上方或右下方无穷远处运动时 直角三角形PAC的面积越来越大 从而S四边形PACB也越来越大 当点P从左上 右下两个方向向中间运动 S四边形PACB变小 显然 当点P到达一个最特殊的位置 即 CP垂直于直线l时 S四边形PACB应有唯一的最小值 此时答案 2