2019-2020学年高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点课件 新人教A版必修1.ppt

3 1 1方程的根与函数的零点 一 二 三 一 函数的零点1 已知函数f x 2x 6 1 求方程f x 0的解 提示 由2x 6 0 解得x 3 2 求函数f x 的图象与x轴的交点坐标 提示 交点坐标A 3 0 3 方程的解与函数图象与x轴的交点的横坐标之间是怎样的关系 提示 相等 一 二 三 2 填空 函数的零点 1 定义 对于函数y f x 我们把使f x 0的实数x叫做函数y f x 的零点 2 几何意义 函数y f x 的图象与x轴交点的横坐标就是函数y f x 的零点 3 函数y f x 的零点是点吗 为什么 提示 不是 函数的零点的本质是方程f x 0的实数根 因此 函数的零点不是点 而是一个实数 当函数的自变量取这个实数时 函数值为零 4 你能说出函数 y lgx y lg x 1 y 2x y 2x 2的零点吗 提示 y lgx的零点是x 1 y lg x 1 的零点是x 0 y 2x没有零点 y 2x 2的零点是x 1 一 二 三 5 做一做 函数f x x2 1的零点是 A 1 0 B 1 0 C 0D 1解析 解方程f x x2 1 0 得x 1 因此函数f x x2 1的零点是 1 答案 D 一 二 三 二 方程 函数 图象之间的关系1 考察下列一元二次方程与对应的二次函数 方程x2 2x 3 0与函数y x2 2x 3 方程x2 2x 1 0与函数y x2 2x 1 方程x2 2x 3 0与函数y x2 2x 3 1 你能够画出关于上述方程的根 函数图象与x轴的交点及函数的零点的表格吗 一 二 三 提示 一 二 三 2 从你所列的表格中 你能得出什么结论 提示 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有零点 一 二 三 三 函数零点存在性定理1 观察二次函数f x x2 2x 3的图象 发现这个二次函数在区间 2 1 上有零点x 1 而f 2 0 f 1 0 即f 2 f 4 0 由以上两步探索 你可以得出什么样的结论 提示 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 那么函数y f x 在区间 a b 内有零点 2 填空 函数零点存在性定理 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 那么 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 一 二 三 3 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是间断的 上述定理成立吗 提示 不一定成立 由下图可知 4 反过来 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 函数y f x 在区间 a b 上存在零点 f a f b 0是否一定成立 提示 不一定成立 由二次函数f x x2 2x 1的图象可知 一 二 三 5 判断正误 函数y f x 的图象是在闭区间 a b 上连续的曲线 若f a f b 0 则f x 在区间 a b 内没有零点 答案 6 做一做 函数f x x3 2x 1的零点一定位于下列哪个区间上 A 2 1 B 1 0 C 0 1 D 1 2 解析 因为f 2 110 f 1 4 0 f 2 13 0 所以f 1 f 0 0 所以f x 的零点在区间 1 0 上 答案 B 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 探究一求函数的零点例1判断下列函数是否存在零点 如果存在 请求出零点 1 f x 8x2 7x 1 2 f x 1 log3x 3 f x 4x 16 分析 可通过解方程f x 0求得函数的零点 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 3 令4x 16 0 即4x 42 解得x 2 所以函数的零点为2 4 当x 0时 由f x 0 即x2 3x 4 0 也就是 x 1 x 4 0 解得x 1或x 4 因为x 0 所以x 4 当x 0时 由f x 0 即 1 lnx 0 解得x e 满足x 0 所以函数的零点为 4和e 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 反思感悟因为函数f x 的零点就是方程f x 0的实数根 也是函数y f x 的图象与x轴交点的横坐标 所以求函数的零点通常有两种方法 一是代数法 令f x 0 通过求方程f x 0的根求得函数的零点 二是几何法 画出函数y f x 的图象 图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 变式训练1已知函数f x x2 3 m 1 x n的零点是1和2 求函数y logn mx 1 的零点 解 由题意知函数f x x2 3 m 1 x n的零点为1和2 则1和2是方程x2 3 m 1 x n 0的实根 所以函数y logn mx 1 的解析式为y log2 2x 1 令log2 2x 1 0 得x 0 所以函数y log2 2x 1 的零点为0 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 探究二判断函数零点的个数例2判断函数f x 2x lg x 1 2的零点个数 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 解 方法一 f 0 1 0 2 10 f x 在区间 0 2 内必定存在实根 又f x 2x lg x 1 2在区间 1 上为增函数 故f x 有且只有一个零点 方法二 令h x 2 2x g x lg x 1 在同一平面直角坐标系中作出h x 与g x 的图象如图所示 由图象知g x lg x 1 和h x 2 2x的图象有且只有一个交点 即f x 2x lg x 1 2有且只有一个零点 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 反思感悟判断函数零点个数的常用方法1 解方程f x 0 方程f x 0解的个数就是函数f x 零点的个数 2 直接作出函数f x 的图象 图象与x轴交点的个数就是函数f x 零点的个数 3 f x g x h x 0 得g x h x 在同一平面直角坐标系中作出y1 g x 和y2 h x 的图象 则两个图象交点的个数就是函数y f x 零点的个数 4 若证明一个函数的零点唯一 也可先由零点存在定理判断出函数有零点 再证明该函数在定义域内单调 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 变式训练2 1 若abc 0 且b2 ac 则函数f x ax2 bx c的零点的个数是 A 0B 1C 2D 1或2 2 判断函数f x x 3 lnx的零点个数 1 解析 b2 ac 方程ax2 bx c 0的判别式 b2 4ac b2 4b2 3b2 abc 0 b 0 因此 0 故函数f x ax2 bx c的零点个数为0 答案 A 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 2 解 方法一 令f x x 3 lnx 0 则lnx 3 x 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y lnx与y x 3的图象 如图所示 由图可知函数y lnx与y x 3的图象只有一个交点 即函数f x x 3 lnx只有一个零点 方法二 因为f 3 ln3 0 f 2 1 ln2 ln 0 所以f 3 f 2 0 说明函数f x x 3 lnx在区间 2 3 内有零点 又f x x 3 lnx在区间 0 上是增函数 所以原函数只有一个零点 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 探究三判断函数的零点所在的大致区间例3 1 方程log3x x 3的解所在的区间为 A 0 2 B 1 2 C 2 3 D 3 4 2 根据表格中的数据 可以判定方程ex x 2 0的一个实根所在的区间为 k k 1 k N 则k的值为 分析 1 构造函数f x log3x x 3 转化为确定函数f x 的零点所在的区间 2 构造与方程对应的函数 然后根据表格判断函数值的符号 从而确定零点所在的区间 再求k值 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 解析 1 令f x log3x x 3 则f 1 log31 1 3 20 f 4 log34 4 3 log312 0 则函数f x 的零点所在的区间为 2 3 所以方程log3x x 3的解所在的区间为 2 3 2 记f x ex x 2 则该函数的零点就是方程ex x 2 0的实根 由题表可知f 1 0 37 10 f 3 20 09 5 0 由零点存在性定理可得f 1 f 2 0 故函数的零点所在的区间为 1 2 所以k 1 答案 1 C 2 1 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 反思感悟1 依据函数零点存在性定理判断函数y f x 在区间 a b 内是否有零点 关键看两点 一是曲线是否连续不断 二是f a 与f b 是否异号 就是说这种方法只能判断变号零点 即在零点左右两侧附近函数值的符号发生改变的零点 2 判断函数零点所在区间的三个步骤 1 代 将区间端点代入函数求出函数的值 2 判 把所得函数值相乘 并进行符号判断 3 结 若符号为正且函数在该区间内是单调函数 则函数在该区间内无零点 若符号为负且函数图象连续 则函数在该区间内至少有一个零点 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 答案 1 B 2 A 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 函数与方程思想在一元二次方程根的分布问题中的应用典例关于x的方程ax2 2 a 1 x a 1 0 求a为何值时 1 方程有一个正根和一个负根 2 方程的两个根都大于1 审题视角 题意 画草图 转换为数量关系 求解 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 解 令f x ax2 2 a 1 x a 1 1 当方程有一个正根和一个负根时 f x 对应的草图可能如图 所示 解得0 a 1 所以当0 a 1时 方程有一个正根和一个负根 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 2 当方程的两个根都大于1时 f x 对应的草图可能如图 所示 解得a 所以不存在实数a 使方程的两个根都大于1 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 方法点睛解决有关根的分布问题应注意以下几点 1 首先画出符合题意的草图 转化为函数问题 2 结合草图考虑四个方面 开口方向 与0的大小关系 对称轴与所给端点值的关系 端点的函数值与零的关系 3 写出由题意得到的不等式 组 4 由得到的不等式 组 的解去验证图象是否符合题意 这类问题充分体现了函数与方程的思想 也体现了方程的根就是函数的零点 在写不等式 组 时要注意条件的完备性 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 变式训练本例已知条件不变 求a为何值时 1 方程有唯一实数根 2 方程的一个根大于1 一个根小于1 解 1 令f x ax2 2 a 1 x a 1 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 2 因为方程的一个根大于1 一个根小于1 f x 的草图可能如图 所示 所以当a 0时 方程的一个根大于1 一个根小于1 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 1 函数f x log5 x 1 的零点是 A 0B 1C 2D 3解析 令log5 x 1 0 解得x 2 所以函数f x log5 x 1 的零点是2 故选C 答案 C2 若x0是方程lnx x 4的解 则x0所在的区间是 A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 解析 设f x lnx x 4 则f 1 30 f 4 ln4 0 则x0 2 3 答案 C 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 3 已知函数y ax2 x 1只有一个零点 则实数a的值为 解析 当a 0时 函数为y x 1 显然该函数的图象与x轴只有一个交点 即函数只有一个零点 当a 0时 函数y ax2 x 1为二次函数 函数y ax2 x 1只有一个零点 方程ax2 x 1 0有两个相等的实数根 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 4 函数y 2 x x 2的零点的个数为 解析 令2 x x 2 0 得2 x 2 x 在同一平面直角坐标系中作出函数y 2 x 与函数y 2 x的图象 如图 图象有2个交点 即方程2 x x 2 0有2个实数根 也就是函数有2个零点 答案 2 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 5 判断下列函数在给定区间上是否存在零点 1 f x x2 3x 18 x 4 7 2 f x x2 2x 1 x 0 解 1 令x2 3x 18 0 解得x 3或x 6 又 3 4 7 6 4 7 f x x2 3x 18在 4 7 上有两个零点 所以函数f x 在 0 上存在零点 且仅有一个零点