高考数学大一轮总复习 第2篇 第8节 函数与方程课件 理 新人教A版 .ppt

第8节函数与方程 基础梳理 1 函数的零点 f x 0 实数根 x轴 零点 f a f b 0 质疑探究 当函数y f x 在 a b 内有零点时 是否一定有f a f b 0 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 1 函数f x 2x 3x的零点所在的一个区间是 A 2 1 B 1 0 C 0 1 D 1 2 解析 易知f x 2x 3x在R上是增函数 而f 2 2 2 60 f 1 f 0 0 故函数f x 在区间 1 0 上有零点 故选B 答案 B 答案 B 3 2014北京西城二模 已知函数f x e x x 若关于x的方程f x k有两个不同的实根 则实数k的取值范围是 A 0 1 B 1 C 1 0 D 1 解析 函数f x 为偶函数 当x 0时 f x ex x单调递增 故在 0 上函数f x 的最小值为f 0 1 故函数f x 在R上的最小值为1 若方程f x k有两个不同的实根 则k 1 故选B 答案 B 4 2014北京朝阳区一模 函数f x 是定义在R上的偶函数 且满足f x 2 f x 当x 0 1 时 f x 2x 若在区间 2 3 上方程ax 2a f x 0恰有四个不相等的实数根 则实数a的取值范围是 解析 由f x 2 f x 知函数f x 是以2为周期的周期函数 又f x 为偶函数 故函数在 2 3 上的图象如图所示 直线y ax 2a过定点 2 0 在区间 2 3 上方程ax 2a f x 0恰有四个不相等的实数根 等价于直线y ax 2a与函数y f x 的图象有四个不同的公共点 结合图形可得实数a满足不等式3a 2a 2 考点突破 例1 1 2012年高考天津卷 函数f x 2x x3 2在区间 0 1 内的零点个数是 A 0B 1C 2D 3 函数零点的个数问题 思维导引 1 根据函数的零点存在性定理和函数的单调性确定 2 画出函数y f x y kx k的图象 利用数形结合的方法寻找实数k满足的不等式求解 解析 1 因为函数f x 2x x3 2在R上是增函数 又f 0 1 2 10 所以根据零点的存在定理可知在区间 0 1 内函数的零点个数为1 故选B 判断函数y f x 零点个数的常用方法 1 直接法 令f x 0 则方程实根的个数就是函数零点的个数 2 零点存在性定理法 判断函数在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 再结合函数的图象与性质 如单调性 奇偶性 周期性 对称性 可确定函数的零点个数 3 数形结合法 转化为两个函数的图象的交点个数问题 画出两个函数的图象 其交点的个数就是函数零点的个数 确定函数零点所在的区间 在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点 在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性 确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理 有时可结合函数的图象辅助解题 例3 2014广东广州一模 已知e是自然对数的底数 函数f x ex x 2的零点为a 函数g x lnx x 2的零点为b 则下列不等式成立的是 A f a f 1 f b B f a f b f 1 C f 1 f a f b D f b f 1 f a 函数零点与其他问题的综合 思维导引 已知函数f x g x 均是定义域上的单调递增函数 其零点是唯一的 使用函数零点的存在定理判断a b 1之间的大小关系后 根据函数f x 的单调性确定结论 解析 函数f x g x 均为定义域上的单调递增函数 且f 0 10 g 1 10 所以a 0 1 b 1 e 即a 1 b 所以f a f 1 f b 故选A 函数零点和其他知识相互结合的问题很广泛 但其中的关键还是对函数零点或其范围的确定 在解题中 要善于使用函数零点的存在性定理 数形结合等方法确定函数零点或范围 即时突破3 2014山西大学附中模拟 规定记号 表示一种运算 即 a b a2 2ab b2 设函数f x x 2 且关于x的方程为f x lg x 2 x 2 恰有四个互不相等的实数根x1 x2 x3 x4 则x1 x2 x3 x4的值是 A 4B 4C 8D 8 解析 由题意函数f x x2 4x 4 由于函数y f x 函数y lg x 2 的图象均关于直线x 2对称 故四个根之和为 8 故选D 数形结合思想在函数零点问题中的应用 分析 作出函数f x 在一个周期 1 3 上的图象 根据周期性拓展函数图象 再作出函数y mx的图象 数形结合找出两个函数图象有5个公共点时实数m满足的不等式解之即得 数形结合思想的本质是转化 即把数的问题转化为形的问题直观解决 或者把形的问题转化为数的问题加以解决 如本题就是利用形 函数的图象 直观判断直线y mx的大致位置 建立关于m的不等式 利用代数运算 解不等式 求得m的范围 在函数与方程问题中利用数形结合思想可以把函数的零点 方程的根等问题转化为两个函数图象的交点问题加以解决