高考数学大一轮复习 第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性课件 理 新人教A版.ppt

第3节函数的奇偶性与周期性 结合具体函数 了解函数奇偶性的含义 会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性 了解函数周期性 最小正周期的含义 会判断 应用简单函数的周期性 整合 主干知识 1 奇函数 偶函数的概念及图象特征 原点 任意 f x f x f x f x 原点 y轴 质疑探究1 如果函数f x 是奇函数 那么是否一定有f 0 0 提示 只有在x 0处有定义的奇函数 才有f 0 0 2 周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数T 使得当x取定义域内的任何值时 都有 那么就称函数y f x 为周期函数 称T为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中 的正数 那么这个最小正数就叫做f x 的最小正周期 f x T f x 存在一个最小 质疑探究2 周期函数y f x x R 的周期唯一吗 提示 不唯一 若T是函数y f x x R 的一个周期 则nT n Z 且n 0 也是f x 的周期 即f x nT f x 1 给出下列命题 函数f x 0 x 0 既是奇函数又是偶函数 若函数y f x a 是偶函数 则函数y f x 关于直线x a对称 若函数y f x b 是奇函数 则函数y f x 关于点 b 0 中心对称 函数f x 为R上的奇函数 且f x 2 f x 则f 2016 2016 其中正确的是 A B C D 解析 错误 因为函数f x 0的定义域x 0 没有关于原点对称 所以f x 0 x 0 既不是奇函数又不是偶函数 正确 函数y f x a 关于直线x 0对称 则函数y f x 关于直线x a对称 正确 函数y f x b 关于点 0 0 中心对称 则函数y f x 关于点 b 0 中心对称 错误有已知条件可知f 2016 0 故选C 答案 C 2 2014 湖南高考 已知f x g x 分别是定义在R上的偶函数和奇函数 且f x g x x3 x2 1 则f 1 g 1 A 3B 1C 1D 3解析 因为f x 是偶函数 g x 是奇函数 所以f 1 g 1 f 1 g 1 1 3 1 2 1 1 故选C 答案 C 答案 A 4 已知f x ax2 bx是定义在 a 1 2a 上的偶函数 那么a b的值是 5 设函数f x 是定义在R上的奇函数 若当x 0 时 f x lgx 则满足f x 0的x的取值范围是 解析 画草图 由f x 为奇函数知 f x 0的x的取值范围为 1 0 1 答案 1 0 1 聚集 热点题型 判断函数的奇偶性 思路点拨 确定函数的奇偶性时 必须先判定函数定义域是否关于原点对称 若对称 再验证f x f x 或其等价形式f x f x 0是否成立 名师讲坛 判断函数奇偶性的两个方法 1 定义法 2 图象法 提醒 1 确定函数的奇偶性时 必须先判定函数定义域是否关于原点对称 若对称 再验证f x f x 或其等价形式f x f x 0是否成立 2 分段函数奇偶性的判断 要注意定义域内x取值的任意性 应分段讨论 讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简 判断f x 与f x 的关系 得出结论 也可以利用图象作判断 函数周期性的应用 解析 1 作出函数f x 的图象 由图象可知选D f 105 5 f 4 27 2 5 f 2 5 f 2 5 2 2 5 3 由题意 得f 2 5 2 5 f 105 5 2 5 答案 1 D 2 2 5 名师讲坛 1 判断函数周期性的两个方法 1 定义法 2 图象法 2 判断函数周期性的三个常用结论若对于函数f x 定义域内的任意一个x都有 1 f x a f x a 0 则函数f x 必为周期函数 2 a 是它的一个周期 提醒 应用函数的周期性时 应保证自变量在给定的区间内 3 函数周期性的重要应用利用函数的周期性 可将其他区间上的求值 求零点个数 求解析式等问题 转化为已知区间上的相应问题 进而求解 2 已知f x 是R上最小正周期为2的周期函数 且当0 x 2时 f x x3 x 则函数y f x 的图象在区间 0 6 上与x轴的交点的个数为 A 6B 7C 8D 9 2 f x 是最小正周期为2的周期函数 且0 x 2时 f x x3 x x x 1 x 1 当0 x 2时 f x 0有两个根 即x1 0 x2 1 由周期函数的性质知 当2 x 4时 f x 0有两个根 即x3 2 x4 3 当4 x 6时 f x 0有两个根 即x5 4 x6 5 x7 6也是f x 0的根 故函数f x 的图象在区间 0 6 上与x轴交点的个数为7 答案 1 D 2 B 典例赏析3 1 2015 西安模拟 已知f x 是定义在R上的奇函数 若对于x 0 都有f x 2 f x 且当x 0 2 时 f x ex 1 则f 2013 f 2014 A 1 eB e 1C 1 eD e 1 2 2015 济南模拟 若函数f x ax2 2a2 a 1 x 1为偶函数 则实数a的值为 函数奇偶性的应用 解析 1 由于f x 是定义在R上的奇函数 若对于x 0 都有f x 2 f x 且当x 0 2 时 f x ex 1 所以f 2013 f 1 e 1 f 2014 f 2014 f 0 0 故可知f 2013 f 2014 e 1 故选B 3 由已知f x 在 0 上为增函数 且f a f a f a f 2 f a f 2 a 2 即a 2或a 2 答案 1 B 2 C 3 a a 2或a 2 名师讲坛 函数奇偶性应用的常见题型及求解策略 备课札记 提升 学科素养 方程思想求函数解析式中参数的值 2015 郑州模拟 若函数f x x2 x a 为偶函数 则实数a 审题角度 一审 由f x f x 利用方程思想求解 二审 由函数图象的平移变换利用数形结合思想求解 解析 方法一 因为f x 为偶函数 所以f x f x 即x2 x a x 2 x a x a x a 恒成立 所以a 0 方法二 函数y x2为偶函数 函数y x a 是由偶函数y x 向左或向右平移了 a 个单位得到的 要使整个函数为偶函数 则需a 0 答案 0 点评 本题考查函数奇偶性的定义 及函数图形的平移变换 答案 C 1 一条规律 奇 偶函数定义域的特点奇 偶函数的定义域关于原点对称 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件 2 二个性质 奇 偶函数的两个性质 1 若奇函数f x 在x 0处有定义 则f 0 0 2 设f x g x 的定义域分别是D1 D2 那么在它们的公共定义域上 奇 奇 奇 奇 奇 偶 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 3 三条结论 与周期性和对称性有关的三条结论 1 若对于R上的任意x都有f 2a x f x 或f x f 2a x 则y f x 的图象关于直线x a对称 2 若对于R上的任意x都有f 2a x f x 且f 2b x f x 其中a b 则y f x 是以2 b a 为周期的周期函数 3 若对于定义域内的任意x都有f x a f x b a b 则函数f x 是周期函数 其中一个周期为T 2 a b