高考数学大一轮复习 6.4数列求和课件 理 苏教版.ppt

6 4数列求和 第六章数列 数学苏 理 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 求数列的前n项和的方法 1 公式法 等差数列的前n项和公式 Sn 等比数列的前n项和公式 i 当q 1时 Sn ii 当q 1时 Sn na1 2 分组转化法把数列的每一项分成两项或几项 使其转化为几个等差 等比数列 再求解 3 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和 正负相消剩下首尾若干项 4 倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加 即等差数列求和公式的推导过程的推广 5 错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和 即等比数列求和公式的推导过程的推广 6 并项求和法一个数列的前n项和中 可两两结合求解 则称之为并项求和 形如an 1 nf n 类型 可采用两项合并求解 例如 Sn 1002 992 982 972 22 12 100 99 98 97 2 1 5050 2 常见的裂项公式 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 如果数列 an 为等比数列 且公比不等于1 则其前n项和Sn 3 求Sn a 2a2 3a3 nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得 5 若数列a1 a2 a1 an an 1是首项为1 公比为3的等比数列 则数列 an 的通项公式是an 6 推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法 利用此法可求得sin21 sin22 sin23 sin288 sin289 44 5 640 200 50 解析 因为a10a11 a9a12 2a10a11 2e5 所以a10a11 e5 所以lna1 lna2 lna20 ln a1a2 a20 ln a1a20 a2a19 a10a11 ln a10a11 10 10ln a10a11 10lne5 50lne 50 思维升华 解析 解Sn 2 1 3 3n 1 1 1 1 1 n ln2 ln3 1 2 3 1 nn ln3 所以当n为偶数时 思维升华 解析 当n为奇数时 思维升华 解析 思维升华 解析 综上所述 Sn 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差 从而求得原数列的和 这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究 将数列的通项合理分解转化 特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论 解析 思维升华 跟踪训练1 1 数列 an 中 an 1 1 nan 2n 1 则数列 an 前12项和为 解析由已知an 1 1 nan 2n 1 得an 2 1 n 1an 1 2n 1 由 得an 2 an 1 n 2n 1 2n 1 取n 1 5 9及n 2 6 10 结果相加可得S12 a1 a2 a3 a4 a11 a12 78 78 解析由已知得数列 an 的通项公式为an 3n 2n 1 3n 1 2n Sn a1 a2 an 2 5 3n 1 2 22 2n 2 已知数列 an 的前n项是3 2 1 6 4 1 9 8 1 12 16 1 则数列 an 的通项公式an 其前n项和Sn 2 已知数列 an 的前n项是3 2 1 6 4 1 9 8 1 12 16 1 则数列 an 的通项公式an 其前n项和Sn 3n 1 2n 例2已知等差数列 an 的前3项和为6 前8项和为 4 1 求数列 an 的通项公式 思维点拨 解析 思维升华 题型二错位相减法求和 列方程组求 an 的首项 公差 然后写出通项an 思维点拨 解析 思维升华 例2已知等差数列 an 的前3项和为6 前8项和为 4 1 求数列 an 的通项公式 题型二错位相减法求和 解设等差数列 an 的公差为d 故an 3 n 1 1 4 n 思维点拨 解析 思维升华 例2已知等差数列 an 的前3项和为6 前8项和为 4 1 求数列 an 的通项公式 题型二错位相减法求和 1 错位相减法是求解由等差数列 bn 和等比数列 cn 对应项之积组成的数列 an 即an bn cn的前n项和的方法 这种方法运算量较大 要重视解题过程的训练 2 注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围 思维点拨 解析 思维升华 例2已知等差数列 an 的前3项和为6 前8项和为 4 1 求数列 an 的通项公式 题型二错位相减法求和 思维点拨 解析 思维升华 例2 2 设bn 4 an qn 1 q 0 n N 求数列 bn 的前n项和Sn 思维点拨 解析 思维升华 q 1时 bn为等差数列 直接求和 q 1时 用错位相减法求和 例2 2 设bn 4 an qn 1 q 0 n N 求数列 bn 的前n项和Sn 解由 1 得 bn n qn 1 于是Sn 1 q0 2 q1 3 q2 n qn 1 若q 1 将上式两边同乘以q有qSn 1 q1 2 q2 n 1 qn 1 n qn 思维点拨 解析 思维升华 例2 2 设bn 4 an qn 1 q 0 n N 求数列 bn 的前n项和Sn 两式相减得到 q 1 Sn nqn 1 q1 q2 qn 1 思维点拨 解析 思维升华 例2 2 设bn 4 an qn 1 q 0 n N 求数列 bn 的前n项和Sn 思维点拨 解析 思维升华 所以Sn 例2 2 设bn 4 an qn 1 q 0 n N 求数列 bn 的前n项和Sn 解析 答案 思维升华 1 错位相减法是求解由等差数列 bn 和等比数列 cn 对应项之积组成的数列 an 即an bn cn的前n项和的方法 这种方法运算量较大 要重视解题过程的训练 2 注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围 例2 2 设bn 4 an qn 1 q 0 n N 求数列 bn 的前n项和Sn 跟踪训练2已知首项为的等比数列 an 是递减数列 其前n项和为Sn 且S1 a1 S2 a2 S3 a3成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 又 S1 a1 S2 a2 S3 a3成等差数列 2 S2 a2 S1 a1 S3 a3 跟踪训练2已知首项为的等比数列 an 是递减数列 其前n项和为Sn 且S1 a1 S2 a2 S3 a3成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 变形得S2 S1 2a2 a1 S3 S2 a3 即得3a2 a1 2a3 跟踪训练2已知首项为的等比数列 an 是递减数列 其前n项和为Sn 且S1 a1 S2 a2 S3 a3成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 若bn an log2an 数列 bn 的前n项和为Tn 求满足不等式的最大n值 2 若bn an log2an 数列 bn 的前n项和为Tn 求满足不等式的最大n值 2 若bn an log2an 数列 bn 的前n项和为Tn 求满足不等式的最大n值 n的最大值为4 解析 思维升华 解析 思维升华 由题意得 2a1 2 2 a1 4a1 12 解得a1 1 所以an 2n 1 利用裂项相消法求和时 应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项 也有可能前面剩两项 后面也剩两项 再就是将通项公式裂项后 有时候需要调整前面的系数 使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等 解析 思维升华 题型三裂项相消法求和 例3 2014 山东 已知等差数列 an 的公差为2 前n项和为Sn 且S1 S2 S4成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 解析 思维升华 解析 思维升华 解析 思维升华 当n为偶数时 解析 思维升华 当n为奇数时 解析 思维升华 解析 思维升华 利用裂项相消法求和时 应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项 也有可能前面剩两项 后面也剩两项 再就是将通项公式裂项后 有时候需要调整前面的系数 使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等 跟踪训练3在数列 an 中 a1 1 当n 2时 其前n项和Sn满足 1 求Sn的表达式 an Sn Sn 1 n 2 跟踪训练3在数列 an 中 a1 1 当n 2时 其前n项和Sn满足 1 求Sn的表达式 即2Sn 1Sn Sn 1 Sn 由题意得Sn 1 Sn 0 跟踪训练3在数列 an 中 a1 1 当n 2时 其前n项和Sn满足 1 求Sn的表达式 审题路线图系列4四审结构定方案 典例 14分 已知数列 an 的前n项和Sn n2 kn 其中k N 且Sn的最大值为8 1 确定常数k 并求an 规范解答 温馨提醒 审题线路图 审题线路图 温馨提醒 规范解答 Sn n2 kn及Sn最大值为8 Sn是n的函数n k时 Sn max Sk 8 根据Sn的结构特征确定k值 利用an Sn的关系an n 审题线路图 温馨提醒 规范解答 审题线路图 温馨提醒 规范解答 审题线路图 温馨提醒 规范解答 2 利用Sn求an时不要忽视n 1的情况 错位相减时不要漏项或算错项数 3 可以通过n 1 2时的特殊情况对结论进行验证 审题线路图 温馨提醒 规范解答 温馨提醒 规范解答 审题线路图 根据数列的结构特征 确定求和方法 错位相减法 温馨提醒 规范解答 审题线路图 式两边同乘以2 温馨提醒 规范解答 审题线路图 错位相减 温馨提醒 规范解答 审题线路图 温馨提醒 规范解答 审题线路图 温馨提醒 规范解答 审题线路图 温馨提醒 规范解答 审题线路图 2 利用Sn求an时不要忽视n 1的情况 错位相减时不要漏项或算错项数 3 可以通过n 1 2时的特殊情况对结论进行验证 方法与技巧 非等差 等比数列的一般数列求和 主要有两种思想 1 转化的思想 即将一般数列设法转化为等差或等比数列 这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成 2 不能转化为等差或等比的特殊数列 往往通过裂项相消法 错位相减法 倒序相加法等来求和 1 直接应用公式求和时 要注意公式的应用范围 如当等比数列公比为参数 字母 时 应对其公比是否为1进行讨论 3 在应用裂项相消法时 要注意消项的规律具有对称性 即前剩多少项则后剩多少项 2 在应用错位相减法时 注意观察未合并项的正负号 结论中形如an an 1的式子应进行合并 失误与防范 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 已知函数f n n2cosn 且an f n f n 1 则a1 a2 a3 a100 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析f n n2cosn 由an f n f n 1 1 n n2 1 n 1 n 1 2 1 n n2 n 1 2 1 n 1 2n 1 得a1 a2 a3 a100 3 5 7 9 199 201 50 2 100 答案 100 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 数列a1 2 ak 2k a10 20共有十项 且其和为240 则a1 ak a10的值为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析a1 ak a10 240 2 2k 20 240 110 130 130 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4 已知数列 an 的前n项和Sn n2 6n 则 an 的前n项和Tn 解析 由Sn n2 6n得 an 是等差数列 且首项为 5 公差为2 an 5 n 1 2 2n 7 n 3时 an3时 an 0 5 数列an 其前n项之和为 则在平面直角坐标系中 直线 n 1 x y n 0在y轴上的截距为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析数列的前n项和为 n 9 直线方程为10 x y 9 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 令x 0 得y 9 在y轴上的截距为 9 答案 9 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 6 数列 an 满足an an 1 n N 且a1 1 Sn是数列 an 的前n项和 则S21 an 2 an 则a1 a3 a5 a21 a2 a4 a6 a20 S21 a1 a2 a3 a4 a5 a20 a21 6 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 公差为 1的等差数列 偶数项构成了首项为1 公差为1的等差数列 通过分组求和可得 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 答案1007 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2 求数列 cn 的前n项和Sn 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 两式相减 得 10 2013 江西 正项数列 an 的前n项和Sn满足 S n2 n 1 Sn n2 n 0 1 求数列 an 的通项公式an 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 得 Sn n2 n Sn 1 0 由于 an 是正项数列 所以Sn 1 0 所以Sn n2 n n N 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 n 2时 an Sn Sn 1 2n n 1时 a1 S1 2适合上式 an 2n n N 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2 3 4 5 1 1 已知数列2008 2009 1 2008 2009 这个数列的特点是从第二项起 每一项都等于它的前后两项之和 则这个数列的前2014项之和S2014 解析由已知得an an 1 an 1 n 2 an 1 an an 1 故数列的前8项依次为2008 2009 1 2008 2 3 4 5 1 2009 1 2008 2009 由此可知数列为周期数列 周期为6 且S6 0 2014 6 335 4 S2014 S4 2008 2009 1 2008 2010 2 3 4 5 1 答案2010 2 1 4 9 16 1 n 1n2 解析当n为偶数时 1 4 9 16 1 n 1n2 3 7 2n 1 当n为奇数时 1 4 9 16 1 n 1n2 3 7 2 n 1 1 n2 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 3 2013 湖南 设Sn为数列 an 的前n项和 Sn 1 nan n N 则 1 a3 2 S1 S2 S100 解析 an Sn Sn 1 2 3 4 5 1 根据以上 an 的关系式及递推式可求 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 4 已知数列 an 的前n项和Sn 满足 Sn 2an 2n n N 1 求数列 an 的通项an 解当n N 时 Sn 2an 2n 则当n 2时 Sn 1 2an 1 2 n 1 两式相减得an 2an 2an 1 2 即an 2an 1 2 2 3 4 5 1 当n 1时 S1 2a1 2 则a1 2 an 2 是以a1 2 4为首项 2为公比的等比数列 an 2 4 2n 1 an 2n 1 2 2 3 4 5 1 证明bn log2 an 2 log22n 1 n 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 又a1 1 所以an 2n 1 2 3 4 5 1 解当n为偶数时 Tn b1 b3 bn 1 b2 b4 bn 1 5 2n 3 2 23 2n 1 当n为奇数时 n 1为偶数 2 3 4 5 1 而Tn 1 Tn bn 1 Tn 2n 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1