高考数学大一轮复习 5.2平面向量基本定理及坐标表示课件 理 苏教版.ppt

5 2平面向量基本定理及坐标表示 第五章平面向量 数学苏 理 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 平面向量基本定理如果e1 e2是同一平面内两个的向量 那么对于这一平面内的任一向量a 一对实数 1 2 使a 其中 不共线的向量e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 不共线 有且只有 基底 1e1 2e2 2 平面向量的坐标运算 1 向量加法 减法 数乘及向量的模设a x1 y1 b x2 y2 则a b a b a a x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x1 y1 2 向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点 则终点坐标即为向量的坐标 设A x1 y1 B x2 y2 则 3 平面向量共线的坐标表示设a x1 y1 b x2 y2 其中b 0 a b x2 x1 y2 y1 x1y2 x2y1 0 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内的任何两个向量都可以作为一组基底 2 在 ABC中 向量夹角为 ABC 3 若a b不共线 且 1a 1b 2a 2b 则 1 2 1 2 4 平面向量的基底不唯一 只要基底确定后 平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示 5 若a x1 y1 b x2 y2 则a b的充要条件可表示成 6 已知向量a 1 sin 1 b 1 sin 若a b 则 等于45 1 3 5 解析 题型一平面向量基本定理的应用 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 题型一平面向量基本定理的应用 解析 答案 思维升华 题型一平面向量基本定理的应用 解析 答案 思维升华 题型一平面向量基本定理的应用 1 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加 减或数乘运算 解析 答案 思维升华 题型一平面向量基本定理的应用 2 用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底 并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式 再通过向量的运算来解决 解析 答案 思维升华 题型一平面向量基本定理的应用 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 1 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加 减或数乘运算 解析 答案 思维升华 2 用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底 并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式 再通过向量的运算来解决 r s 0 0 题型二平面向量的坐标运算 解析 思维升华 解由已知得a 5 5 b 6 3 c 1 8 1 3a b 3c 3 5 5 6 3 3 1 8 15 6 3 15 3 24 6 42 解析 思维升华 题型二平面向量的坐标运算 解析 思维升华 向量的坐标运算主要是利用加 减 数乘运算法则进行 若已知有向线段两端点的坐标 则应先求出向量的坐标 解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 题型二平面向量的坐标运算 例2 2 求满足a mb nc的实数m n 解析 思维升华 解 mb nc 6m n 3m 8n 解析 思维升华 例2 2 求满足a mb nc的实数m n 解析 思维升华 例2 2 求满足a mb nc的实数m n 向量的坐标运算主要是利用加 减 数乘运算法则进行 若已知有向线段两端点的坐标 则应先求出向量的坐标 解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 解析 思维升华 例2 3 求M N的坐标及向量的坐标 解析 思维升华 例2 3 求M N的坐标及向量的坐标 解设O为坐标原点 3 24 3 4 0 20 M 0 20 解析 思维升华 例2 3 求M N的坐标及向量的坐标 12 6 3 4 9 2 N 9 2 解析 思维升华 例2 3 求M N的坐标及向量的坐标 向量的坐标运算主要是利用加 减 数乘运算法则进行 若已知有向线段两端点的坐标 则应先求出向量的坐标 解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 1 2 3 5 3 5 解析 答案 思维升华 题型三向量共线的坐标表示 例3 1 已知平面向量a 1 2 b 2 m 且a b 则2a 3b 题型三向量共线的坐标表示 例3 1 已知平面向量a 1 2 b 2 m 且a b 则2a 3b 由a 1 2 b 2 m 且a b 得1 m 2 2 即m 4 从而b 2 4 那么2a 3b 2 1 2 3 2 4 4 8 解析 答案 思维升华 题型三向量共线的坐标表示 例3 1 已知平面向量a 1 2 b 2 m 且a b 则2a 3b 由a 1 2 b 2 m 且a b 得1 m 2 2 即m 4 从而b 2 4 那么2a 3b 2 1 2 3 2 4 4 8 4 8 解析 答案 思维升华 1 两平面向量共线的充要条件有两种形式 若a x1 y1 b x2 y2 则a b的充要条件是x1y2 x2y1 0 若a b b 0 则a b 题型三向量共线的坐标表示 例3 1 已知平面向量a 1 2 b 2 m 且a b 则2a 3b 4 8 解析 答案 思维升华 2 向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行 也可以由平行求参数 当两向量的坐标均非零时 也可以利用坐标对应成比例来求解 题型三向量共线的坐标表示 例3 1 已知平面向量a 1 2 b 2 m 且a b 则2a 3b 4 8 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 例3 2 2014 陕西 设0 向量a sin2 cos b cos 1 若a b 则tan 因为a b 所以sin2 cos2 2sin cos cos2 例3 2 2014 陕西 设0 向量a sin2 cos b cos 1 若a b 则tan 解析 答案 思维升华 因为a b 所以sin2 cos2 2sin cos cos2 例3 2 2014 陕西 设0 向量a sin2 cos b cos 1 若a b 则tan 解析 答案 思维升华 例3 2 2014 陕西 设0 向量a sin2 cos b cos 1 若a b 则tan 解析 答案 思维升华 1 两平面向量共线的充要条件有两种形式 若a x1 y1 b x2 y2 则a b的充要条件是x1y2 x2y1 0 若a b b 0 则a b 例3 2 2014 陕西 设0 向量a sin2 cos b cos 1 若a b 则tan 2 向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行 也可以由平行求参数 当两向量的坐标均非零时 也可以利用坐标对应成比例来求解 解析 答案 思维升华 跟踪训练3 1 已知梯形ABCD 其中AB CD 且DC 2AB 三个顶点A 1 2 B 2 1 C 4 2 则点D的坐标为 设点D的坐标为 x y 跟踪训练3 1 已知梯形ABCD 其中AB CD 且DC 2AB 三个顶点A 1 2 B 2 1 C 4 2 则点D的坐标为 故点D的坐标为 2 4 2 4 2 ABC中 内角A B C所对的边分别为a b c 若p a c b q b a c a 且p q 则角C 解析因为p q 则 a c c a b b a 0 所以a2 b2 c2 ab 2 ABC中 内角A B C所对的边分别为a b c 若p a c b q b a c a 且p q 则角C 所以C 60 60 易错警示系列7忽视平面向量基本定理的条件致误 易错分析 规范解答 温馨提醒 本题利用向量共线的充要条件列出等式后 易忽视平面向量基本定理的使用条件 出现漏解 漏掉了当a b共线时 t可为任意实数这个解 易错警示系列7忽视平面向量基本定理的条件致误 易错分析 规范解答 温馨提醒 易错警示系列7忽视平面向量基本定理的条件致误 C D E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k 易错分析 规范解答 温馨提醒 易错警示系列7忽视平面向量基本定理的条件致误 3ka 2kb 整理得 t 3 3k a 2k t b 若a b共线 则t可为任意实数 易错分析 规范解答 温馨提醒 易错警示系列7忽视平面向量基本定理的条件致误 若a b不共线 易错分析 规范解答 温馨提醒 易错警示系列7忽视平面向量基本定理的条件致误 综上 可知a b共线时 t可为任意实数 易错分析 规范解答 温馨提醒 平面向量基本定理是平面向量知识体系的基石 在解题中有至关重要的作用 在使用时一定要注意两个基向量不共线这一条件 易错警示系列7忽视平面向量基本定理的条件致误 易错分析 规范解答 温馨提醒 方法与技巧 1 平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则 将向量进行分解 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示 其中坐标运算法则是运算的关键 方法与技巧 2 平面向量共线的坐标表示 1 两向量平行的充要条件若a x1 y1 b x2 y2 其中b 0 则a b的充要条件是a b 这与x1y2 x2y1 0在本质上是没有差异的 只是形式上不同 2 三点共线的判断方法判断三点是否共线 先求由三点组成的任两个向量 然后再按两向量共线进行判定 失误与防范 1 要区分点的坐标和向量的坐标 向量坐标中包含向量大小和方向两种信息 两个向量共线有方向相同 相反两种情况 2 若a x1 y1 b x2 y2 则a b的充要条件不能表示成 因为x2 y2有可能等于0 所以应表示为x1y2 x2y1 0 3 使用平面向量基本定理时一定要注意两个基向量不共线 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2013 辽宁改编 已知点A 1 3 B 4 1 则与向量同方向的单位向量为 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 6 21 6 21 3 已知向量a 1 2 b 1 0 c 3 4 若 为实数 a b c 则 2 4 5 6 7 8 9 10 1 3 解析 a b 1 2 c 3 4 2 3 5 6 7 8 9 10 1 4 M为 ABC的重心 连结AM并延长交BC于D 则D为BC的中点 2 3 5 6 7 8 9 10 1 4 答案3 2 3 4 6 7 8 9 10 1 5 2 3 4 6 7 8 9 10 1 5 2 3 4 5 7 8 9 10 1 6 依题意 有 a 2 b 2 4 0 2 3 4 5 6 8 9 10 1 7 解析若点A B C能构成三角形 2 3 4 5 6 8 9 10 1 7 1 k 1 2k 0 解得k 1 答案k 1 2 3 4 5 6 9 10 1 7 8 由 AOC 30 知 以x轴的非负半轴为始边 OC为终边的一个角为150 2 3 4 5 6 9 10 1 7 8 1 答案1 2 3 4 5 6 7 8 10 1 9 9 已知A 1 1 B 3 1 C a b 1 若A B C三点共线 求a b的关系式 2 b 1 2 a 1 0 即a b 2 2 3 4 5 6 7 8 10 1 9 点C的坐标为 5 3 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 证明一方面 由 1 得 另一方面 G是 OAB的重心 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 1 已知向量a 2 3 b 1 2 满足向量ma nb与向量a 2b共线 则 解析 ma nb 2m n 3m 2n a 2b 4 1 且 ma nb a 2b 2m n 1 4 3m 2n 即14m 7n 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 由已知得 BOC 90 AOC 30 答案6 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 答案2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解以O为坐标原点 所在的直线为x轴建立平面直角坐标系 如图所示 则A 1 0 1 2 3 4 5 则C cos sin 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5