高考数学大一轮复习 5.4平面向量应用举例课件 理 苏教版.ppt

5 4平面向量应用举例 第五章平面向量 数学苏 理 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 向量在平面几何中的应用 1 用向量解决常见平面几何问题的技巧 a b x1y2 x2y1 0 a b 0 x1x2 y1y2 0 2 平面向量在物理中的应用 1 由于物理学中的力 速度 位移都是 它们的分解与合成与向量的相似 可以用向量的知识来解决 2 物理学中的功是一个标量 这是力F与位移s的数量积 即W F s F s cos 为F与s的夹角 矢量 加法和减法 3 平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具 经常与函数 不等式 三角函数 数列 解析几何等知识结合 当平面向量给出的形式中含有未知数时 由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式 在此基础上 可以求解有关函数 不等式 三角函数 数列的综合问题 此类问题的解题思路是转化为代数运算 其转化途径主要有两种 一是利用平面向量平行或垂直的充要条件 二是利用向量数量积的公式和性质 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 若 则A B C三点共线 2 解析几何中的坐标 直线平行 垂直 长度等问题都可以用向量解决 3 实现平面向量与三角函数 平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算 y2 8x x 0 解析 题型一向量在平面几何中的应用 思维点拨 解析 思维升华 例1如图所示 四边形ABCD是正方形 P是对角线DB上的一点 不包括端点 E F分别在边BC DC上 且四边形PFCE是矩形 试用向量法证明 PA EF 思维点拨 思维升华 解析 正方形中有垂直关系 因此考虑建立平面直角坐标系 求出所求线段对应的向量 根据向量知识证明 题型一向量在平面几何中的应用 例1如图所示 四边形ABCD是正方形 P是对角线DB上的一点 不包括端点 E F分别在边BC DC上 且四边形PFCE是矩形 试用向量法证明 PA EF 题型一向量在平面几何中的应用 例1如图所示 四边形ABCD是正方形 P是对角线DB上的一点 不包括端点 E F分别在边BC DC上 且四边形PFCE是矩形 试用向量法证明 PA EF 思维升华 思维点拨 解析 证明建立如图所示的平面直角坐标系 设正方形的边长为1 DP 0 题型一向量在平面几何中的应用 例1如图所示 四边形ABCD是正方形 P是对角线DB上的一点 不包括端点 E F分别在边BC DC上 且四边形PFCE是矩形 试用向量法证明 PA EF 思维升华 思维点拨 解析 用向量方法解决平面几何问题可分三步 1 建立平面几何与向量的联系 用向量表示问题中涉及的几何元素 将平面几何问题转化为向量问题 思维升华 思维点拨 解析 题型一向量在平面几何中的应用 例1如图所示 四边形ABCD是正方形 P是对角线DB上的一点 不包括端点 E F分别在边BC DC上 且四边形PFCE是矩形 试用向量法证明 PA EF 2 通过向量运算 研究几何元素之间的关系 如距离 夹角等问题 3 把运算结果 翻译 成几何关系 思维升华 思维点拨 解析 题型一向量在平面几何中的应用 例1如图所示 四边形ABCD是正方形 P是对角线DB上的一点 不包括端点 E F分别在边BC DC上 且四边形PFCE是矩形 试用向量法证明 PA EF 跟踪训练1 1 在边长为1的菱形ABCD中 BAD 60 E是BC的中点 则 2 在 ABC所在平面上有一点P 满足则 PAB与 ABC的面积的比值是 P是线段AC的三等分点 靠近点A 题型二向量在三角函数中的应用 例2已知在锐角 ABC中 两向量p 2 2sinA cosA sinA q sinA cosA 1 sinA 且p与q是共线向量 1 求A的大小 解析 思维升华 解析 思维升华 解 p q 2 2sinA 1 sinA cosA sinA sinA cosA 0 题型二向量在三角函数中的应用 ABC为锐角三角形 A 60 例2已知在锐角 ABC中 两向量p 2 2sinA cosA sinA q sinA cosA 1 sinA 且p与q是共线向量 1 求A的大小 解析 思维升华 解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键 准确利用向量的坐标运算化简已知条件 将其转化为三角函数中的有关问题解决 题型二向量在三角函数中的应用 例2已知在锐角 ABC中 两向量p 2 2sinA cosA sinA q sinA cosA 1 sinA 且p与q是共线向量 1 求A的大小 解析 思维升华 例2 2 求函数y 2sin2B cos取最大值时 B的大小 解析 思维升华 2sin2B cos 2B 60 1 cos2B cos 2B 60 例2 2 求函数y 2sin2B cos取最大值时 B的大小 1 cos2B cos2Bcos60 sin2Bsin60 解析 思维升华 1 sin 2B 30 当2B 30 90 即B 60 时 函数取最大值2 例2 2 求函数y 2sin2B cos取最大值时 B的大小 解析 思维升华 解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键 准确利用向量的坐标运算化简已知条件 将其转化为三角函数中的有关问题解决 例2 2 求函数y 2sin2B cos取最大值时 B的大小 跟踪训练2 1 已知a b c为 ABC的三个内角A B C的对边 向量m 1 n cosA sinA 若m n 且acosB bcosA csinC 则角A B的大小分别为 又acosB bcosA 2RsinAcosB 2RsinBcosA 2Rsin A B 2RsinC c csinC 跟踪训练2 1 已知a b c为 ABC的三个内角A B C的对边 向量m 1 n cosA sinA 若m n 且acosB bcosA csinC 则角A B的大小分别为 2 ABC的三个内角A B C所对的边长分别是a b c 设向量m a b sinC n a c sinB sinA 若m n 则角B的大小为 2 ABC的三个内角A B C所对的边长分别是a b c 设向量m a b sinC n a c sinB sinA 若m n 则角B的大小为 题型三向量在解析几何中的应用 解析 思维升华 例3已知平面上一定点C 2 0 和直线l x 8 P为该平面上一动点 作PQ l 垂足为Q 且 1 求动点P的轨迹方程 解设P x y 则Q 8 y 解析 思维升华 题型三向量在解析几何中的应用 例3已知平面上一定点C 2 0 和直线l x 8 P为该平面上一动点 作PQ l 垂足为Q 且 1 求动点P的轨迹方程 解析 思维升华 题型三向量在解析几何中的应用 例3已知平面上一定点C 2 0 和直线l x 8 P为该平面上一动点 作PQ l 垂足为Q 且 1 求动点P的轨迹方程 点P在椭圆上 向量在解析几何中的 两个 作用 1 载体作用 向量在解析几何问题中出现 多用于 包装 解决此类问题的关键是利用向量的意义 运算脱去 向量外衣 导出曲线上点的坐标之间的关系 从而解决有关距离 斜率 夹角 轨迹 最值等问题 解析 思维升华 题型三向量在解析几何中的应用 例3已知平面上一定点C 2 0 和直线l x 8 P为该平面上一动点 作PQ l 垂足为Q 且 1 求动点P的轨迹方程 2 工具作用 利用a b a b 0 a b为非零向量 a b a b b 0 可解决垂直 平行问题 特别地 向量垂直 平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直 平行问题是一种比较优越的方法 解析 思维升华 题型三向量在解析几何中的应用 例3已知平面上一定点C 2 0 和直线l x 8 P为该平面上一动点 作PQ l 垂足为Q 且 1 求动点P的轨迹方程 解析 思维升华 例3 2 若EF为圆N x2 y 1 2 1的任一条直径 求的最值 解析 思维升华 例3 2 若EF为圆N x2 y 1 2 1的任一条直径 求的最值 解析 思维升华 例3 2 若EF为圆N x2 y 1 2 1的任一条直径 求的最值 解析 思维升华 例3 2 若EF为圆N x2 y 1 2 1的任一条直径 求的最值 解析 思维升华 例3 2 若EF为圆N x2 y 1 2 1的任一条直径 求的最值 向量在解析几何中的 两个 作用 1 载体作用 向量在解析几何问题中出现 多用于 包装 解决此类问题的关键是利用向量的意义 运算脱去 向量外衣 导出曲线上点的坐标之间的关系 从而解决有关距离 斜率 夹角 轨迹 最值等问题 解析 思维升华 例3 2 若EF为圆N x2 y 1 2 1的任一条直径 求的最值 2 工具作用 利用a b a b 0 a b为非零向量 a b a b b 0 可解决垂直 平行问题 特别地 向量垂直 平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直 平行问题是一种比较优越的方法 4 k k 5 6 7 0 解得k 2或k 11 跟踪训练3已知向量 k 12 4 5 10 k 且A B C三点共线 当k 0时 若k为直线的斜率 则过点 2 1 的直线方程为 跟踪训练3已知向量 k 12 4 5 10 k 且A B C三点共线 当k 0时 若k为直线的斜率 则过点 2 1 的直线方程为 当k 0时可知k 2 则过点 2 1 且斜率为k 2的直线方程为y 1 2 x 2 即2x y 3 0 2x y 3 0 解析 答案 思维升华 题型四平面向量在物理中的应用 例4在长江南岸渡口处 江水以km h的速度向东流 渡船的速度为25km h 渡船要垂直地渡过长江 则航向为 解析 答案 思维升华 题型四平面向量在物理中的应用 例4在长江南岸渡口处 江水以km h的速度向东流 渡船的速度为25km h 渡船要垂直地渡过长江 则航向为 解析 答案 思维升华 题型四平面向量在物理中的应用 例4在长江南岸渡口处 江水以km h的速度向东流 渡船的速度为25km h 渡船要垂直地渡过长江 则航向为 解析 答案 思维升华 题型四平面向量在物理中的应用 例4在长江南岸渡口处 江水以km h的速度向东流 渡船的速度为25km h 渡船要垂直地渡过长江 则航向为 BOD 30 航向为北偏西30 解析 答案 思维升华 题型四平面向量在物理中的应用 例4在长江南岸渡口处 江水以km h的速度向东流 渡船的速度为25km h 渡船要垂直地渡过长江 则航向为 北偏西30 BOD 30 航向为北偏西30 解析 答案 思维升华 在使用向量解决物理问题时要注意 1 认真分析物理问题 深刻把握物理量之间的相互关系 2 通过抽象 概括 把物理问题转化为与之相关的向量问题 题型四平面向量在物理中的应用 例4在长江南岸渡口处 江水以km h的速度向东流 渡船的速度为25km h 渡船要垂直地渡过长江 则航向为 北偏西30 解析 答案 思维升华 3 利用向量知识解决这个向量问题 并获得这个向量的解 4 利用这个结果 对原物理现象作出合理解释 即用向量知识圆满解决物理问题 题型四平面向量在物理中的应用 例4在长江南岸渡口处 江水以km h的速度向东流 渡船的速度为25km h 渡船要垂直地渡过长江 则航向为 北偏西30 跟踪训练4质点受到平面上的三个力F1 F2 F3 单位 牛顿 的作用而处于平衡状态 已知F1 F2成60 角 且F1 F2的大小分别为2和4 则F3的大小为 跟踪训练4质点受到平面上的三个力F1 F2 F3 单位 牛顿 的作用而处于平衡状态 已知F1 F2成60 角 且F1 F2的大小分别为2和4 则F3的大小为 审题路线图系列3三审图形抓特点 典例 如图所示 把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起 若 则x y 审题路线图 解析 温馨提醒 审题路线图 解析 温馨提醒 审题路线图 解析 温馨提醒 方法一结合图形特点 审题路线图 解析 温馨提醒 审题路线图 解析 温馨提醒 又 BED 60 审题路线图 解析 温馨提醒 审题路线图 解析 温馨提醒 突破本题的关键是 要抓住图形的特点 图形由一副三角板构成 根据图形的特点 利用向量分解的几何意义 求解方便快捷 方法二较方法一略显繁杂 审题路线图 解析 温馨提醒 方法与技巧 1 向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来 这就为向量和函数的结合提供了前提 运用向量的有关知识可以解决某些函数问题 2 以向量为载体求相关变量的取值范围 是向量与函数 不等式 三角函数等相结合的一类综合问题 通过向量的坐标运算 将问题转化为解不等式或求函数值域 是解决这类问题的一般方法 失误与防范 1 注意向量夹角和三角形内角的关系 两者并不等价 2 注意向量共线和两直线平行的关系 3 利用向量解决解析几何中的平行与垂直 可有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点 所以点M是AC和BD的中点 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 所以平行四边形ABCD是菱形 菱形 2 4 5 6 7 8 9 10 1 3 2 4 5 6 7 8 9 10 1 3 所以目标函数为2 2 x 2y x y x 3y 作出不等式组对应的平面区域 由图可知当目标函数经过图中点 1 2 时取得最大值5 答案5 2 3 5 6 7 8 9 10 1 4 4 已知点A 2 0 B 3 0 动点P x y 满足 x2 则点P的轨迹是 y2 x 6 抛物线 2 3 4 6 7 8 9 10 1 5 2 3 4 6 7 8 9 10 1 5 2 3 4 5 7 8 9 10 1 6 150 2 3 4 5 6 8 9 10 1 7 7 已知三个力f1 2 1 f2 3 2 f3 4 3 同时作用于某物体上一点 为使物体保持平衡 再加上一个力f4 则f4 解析由物理知识知 f1 f2 f3 f4 0 故f4 f1 f2 f3 1 2 1 2 2 3 4 5 6 9 10 1 7 8 2 3 4 5 6 9 10 1 7 8 求z 2x 3y的最大值 由线性规划知识 当x 0 y 1时 zmax 3 答案3 2 3 4 5 6 7 8 10 1 9 9 已知 ABC中 C是直角 CA CB D是CB的中点 E是AB上一点 且AE 2EB 求证 AD CE 证明建立如图所示的直角坐标系 设A a 0 则B 0 a E x y 2 3 4 5 6 7 8 10 1 9 即 x a y 2 x a y 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 10 已知A B C三点的坐标分别为A 3 0 B 0 3 C cos sin 其中 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 得 cos 3 cos sin sin 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 min a b a b min a b min a b a b min a b max a b 2 a b 2 a 2 b 2 max a b 2 a b 2 a 2 b 2 1 2 3 4 5 解析由于 a b a b 与 a b 的大小关系与夹角大小有关 故 错 当a b夹角为锐角时 a b a b 此时 a b 2 a 2 b 2 当a b夹角为钝角时 a b a 2 b 2 当a b时 a b 2 a b 2 a 2 b 2 答案 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析设BC中点为M 1 2 3 4 5 即P0M AB 则CN AB AC BC 1 2 3 4 5 答案 1 2 3 4 5 ABC为锐角 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 4 已知直角梯形ABCD中 AD BC ADC 90 AD 2 BC 1 P是腰DC上的动点 则的最小值为 解析方法一以D为原点 分别以DA DC所在直线为x y轴建立如图所示的平面直角坐标系 设DC a DP x 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 答案5 1 2 3 4 5 解设点P x y 则Q 1 y 1 2 3 4 5 x 1 0 2 y x 1 y 2 y 化简得P的轨迹C的方程为y2 4x 1 2 3 4 5 解设直线AB的方程为x my 1 m 0 1 2 3 4 5 得y2 4my 4 0 4m 2 16 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5